SỞ GD&ĐT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CẨM LÝ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 MÔN: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm). ). Cho hàm số = + − 3 2 3 2y x x (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Giải biện luận số nghiệm của phương trinh 3 2 3 2 0x x m+ − + = theo m Câu 2 (1,0 điểm). a) Cho sin 2cos 1 α α + = − với 2 π α π < < Tính giá trị sin 2 α . b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 2 (5 )z i i z+ − = + . Tính mô đun của số phức (3 )w i z z= + + . Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình: 3 log (9 90) 3 x x− = + . Trên tập số thực Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình . y x x x x x y y y y 2 1 2 1 2 2 3 1 ( , ) 2 2 3 1 − − + − + = + ∈ + − + = + ¡ Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân ( ) 2 1 ln d . e x x I x x − = ∫ Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = AC = 2.a . Tam giác SCB là tam giác đều và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 0 90 Tính theo a diện tích toàn phần hình chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC Biết ( ) 3;3B và điểm ( ) 3;1H là trực tâm tam giác và điểm ( ) 1; 1G − là trọng tâm tam giác. Tìm các đỉnh còn lại với A có hoành độ dương. Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( ) 2;3;1A và mặt phẳng ( ) : 3 2 1 0P x y z+ − + = . Và đường thẳng (d): 1 1 1 2 2 x y z− + = = − . Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ đi qua điểm A song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng . ( ) d và tìm khoảng cách giữa 2 đường thắng d và ∆ Câu 9 (0,5 điểm). Cho đa thức ( ) 100 3 1 2f x x x = − ÷ tìm số hạng không chứa x trong khai triển theo nhị thức NiuTơn của đa thức trên. Câu 10 (1,0 điểm). Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 . Chứng minh rằng: a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 2 1 1 1 1 + + + ≥ + + + + Hết Họ và tên thí sinh: ………………………………Phòng thi …… …số báo danh ………… HƯỚNG DẪN GIẢI Câu HƯỚNG DẪN Điểm Câu 4 Đặt 1 1 = − = − u x v y . Hệ PT ⇔ 2 2 1 3 1 3 + + = + + = v u u u v v ⇒ 2 2 3 1 3 1 ( ) ( )+ + + = + + + ⇔ = u v u u v v f u f v , với 2 ( ) 3 1= + + + t f t t t Ta có: 2 2 1 ( ) 3 ln3 0 1 + + ′ = + > + t t t f t t ⇒ f(t) đồng biến với t∀ ⇒ =u v ⇒ 2 2 3 1 3 log ( 1) 0 (2) + + = ⇔ − + + = u u u u u u Xét hàm số: ( ) 2 3 ( ) log 1 '( ) 0= − + + ⇒ >g u u u u g u ⇒ g(u) đồng biến u∀ Mà (0) 0g = ⇒ 0u = là nghiệm duy nhất của (2). KL: 1= =x y là nghiệm duy nhất của hệ PT. Câu 6 Chú ý: SA SB SC= = Và Sử dụng thể tích tìm khoảng cách Câu 7 Biết B và G tìm được điểm M (GB =2GM) là trung điểm của AC, lập PT đường thẳng AC qua M và vuông góc với BH, Tìm diểm D đối xứng vời H qua đt AC Sau đó sử dụng tính chất AH =AD tìm được A lấy đối xứng qua M được C (Hoặc lấy điểm A theo tọa độ tham số của AC đối xứng qua M có tọa độ C và sử dụng AB vuông góc với HC) Câu 10 Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: 2 a ab c ab c ab c ab c ab abc a a a a a b c 1+b c b c 2 2 2 (1 ) (1) 2 4 4 4 2 1 + = − ≥ − = − ≥ − = − − + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1 ( ) 2 bc d b bc d bc d bc d bc bcd b b b b b c d 1+c d c d 2 2 2 1 (2) 2 4 4 4 2 1 + = − ≥ − = − ≥ − = − − + ( ) 2 cd a c cd a cd a cd a cd cda c c c c c d a 1+d a d a 2 2 2 1 (3) 2 4 4 4 2 1 + = − ≥ − = − ≥ − = − − + ( ) 2 da b d da b da b da b da dab d d d d d a b 1+a b a b 2 2 2 1 (4) 2 4 4 4 2 1 + = − ≥ − = − ≥ − = − − + Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab b c c d d a a b 2 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 + + + + + + + + + ≥ − − + + + + Mặt khác: • ( ) ( ) a c b d ab bc cd da a c b d 2 4 2 + + + + + + = + + ≤ = ÷ . Dấu "=" xảy ra ⇔ a+c = b+d • ( ) ( ) ( ) ( ) a b c d abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a 2 2 2 2 + + + + + = + + + ≤ + + + ÷ ÷ ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) a b c d abc bcd cda dab a b c d a b c d 4 4 + + + + + ≤ + + + = + + ÷ a b c d abc bcd cda dab 2 4 2 + + + ⇔ + + + ≤ = ÷ . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = d = 1. Vậy ta có: a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 4 4 4 4 4 1 1 1 1 + + + ≥ − − + + + + a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ⇔ + + + ≥ + + + + ⇒ đpcm. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1. . SỞ GD&ĐT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CẨM LÝ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 MÔN: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm). ). Cho hàm số = +. thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm). ). Cho hàm số = + − 3 2 3 2y x x (1) a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Giải biện luận số nghiệm của phương trinh 3 2 3 2 0x x m+. chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = AC = 2.a . Tam giác SCB là tam giác đều và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 0 90 Tính theo a diện tích toàn phần