Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT (25)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút Câu 1 a) Tìm m để đường thẳng y = (2m – 1)x + 3 song song với đường thẳng y = 5x – 1. b) Giải hệ phương trình: 2 5 3 2 4 x y x y + =   − =  Câu 2 Cho biểu thức: 1 1 1 1 1 1 P a a a     = − +  ÷ ÷ − +     với a >0 và 1a ≠ a) Rút gọn biểu thức P. b) Với những giá trị nào của a thì P > 1 2 . Câu 3 a) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số: y = x 2 và y = - x + 2. b) Xác định các giá trị của m để phương trình x 2 – x + 1 – m = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn đẳng thức: 1 2 1 2 1 1 5 4 0x x x x   + − + =  ÷   . Câu 4 Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm P, Q sao cho P thuộc cung AQ. Gọi C là giao điểm của tia AP và tia BQ; H là giao điểm của hai dây cung AQ và BP. a) Chứng minh tứ giác CPHQ nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh CBP ∆ HAP ∆ . c) Biết AB = 2R, tính theo R giá trị của biểu thức: S = AP.AC + BQ.BC. Câu 5 Cho các số a, b, c đều lớn hơn 25 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 5 2 5 2 5 a b c Q b c a = + + − − − . Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2011-2012 Môn Toán Ngày thi 24 tháng 6 năm 2011 Mã đề 02 Câu Nội dung Điểm 1 a) Để đường thẳng y =(2m – 1)x+3 song song với đường thẳng y =5x – 1 ⇔ 2m – 15= 5 (do 3 1 ≠ − ) 0,5đ ⇔ 2 6 3m m = ⇔ = 0,5đ b) Ta có: 2 5 4 2 10 3 2 4 3 2 4 x y x y x y x y + = + =   ⇔   − = − =   0,5đ 7 14 2 2 5 1 x x x y y = =   ⇔ ⇔   + = =   0,5đ 2 a) Với 0 1a < ≠ thì ta có: ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 . 1 1 1 1 a a P a a a a a a   +     = − + =  ÷  ÷ ÷  ÷ − + − +       0,5đ 2 1 a = − 0,5đ b) Với 0 1a < ≠ thì P > 1 2 ⇔ 2 1 0 2 1 a − > − ⇔ ( ) 3 0 2 1 a a + > − 0,5đ ⇔ 1 0 1a a − > ⇔ < . Kết hợp với điều kiện a >0, ta được 0 < a < 1. 0,5đ a) Hoành độ giao điểm các đồ thị hàm số y = x 2 và y = - x + 2 là nghiệm của phương trình: x 2 = - x+2 ⇔ x 2 + x – 2 = 0 0,5đ Giải ra được: x 1 = 1 hoặc x 2 = - 2. Với x 1 = 1 ⇒ y 1 = 1 ⇒ tọa độ giao điểm A là A(1; 1) Với x 2 =-2 ⇒ y 2 = 4 ⇒ tọa độ giao điểm B là B(-2; 4) 0,5đ b) Ta có : 2 4 1 4(1 ) 4 3b ac m m ∆ = − = − − = − . Để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì ta có 3 0 4 3 0 4 m m ∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ (*) 0,25đ Theo định lí Vi-et, ta có: 1 2 1 b x x a + = − = và 1 2 . 1 c x x m a = = − 0,25đ Ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 5 5 4 5 . 4 (1 ) 4 0 . 1 x x x x x x m x x x x m     + + − + = − + = − − + =  ÷  ÷ −     ( ) ( ) 2 2 2 2 8 0 5 1 4 1 0 4 1 1 m m m m m m m m  =  + − =  − − + − =  ⇔ ⇔ ⇔    = − ≠ ≠     0,25đ Kết hợp với đk (*) ta có: m = 2 là giá trị cần tìm. 0,25đ 4 a) Ta có: · · 90APB AQB = = o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 0,5đ · · 90CPH CQH ⇒ = = o . Suy ra tứ giác CPHQ nội tiếp đường tròn. 0,5đ b) CBP ∆ và HAP ∆ có: · · 90BPC APH= = o (suy ra từ a)) 0,5đ · · CBP HAP= (góc nội tiếp cùng chắn cung » PQ CBP ⇒ ∆ HAP ∆ (g – g) 0,5đ c) Gọi K là giao điểm của tia CH và AB. Từ giả thiết suy ra K thuộc cạnh AB (1) 0,25đ ABC ∆ có ;AQ BC BP AC ⊥ ⊥ . Suy ra H là trực tâm của ABC ∆ CH AB ⇒ ⊥ tại K 0,25đ Từ đó suy ra: + APB ∆ AKC ∆ . .AP AC AK AB ⇒ = (2) + BQA ∆ BKC ∆ . .BQ BC BK BA ⇒ = (3) 0,25đ - Cộng từng vế của (2) và (3) và kết hợp với (1), ta được: S = AP. AC + BQ. BC = AB 2 = 4R 2 . 0,25đ 5 Do a, b, c > 25 4 (*) nên suy ra: 2 5 0a − > , 2 5 0b − > , 2 5 0c − > 0,25đ O K H Q P C B A Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: 2 5 2 2 5 a b a b + − ≥ − (1) 2 5 2 2 5 b c b c + − ≥ − (2) 2 5 2 2 5 c a c a + − ≥ − (3) 0,25đ Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: 5.3 15Q ≥ = . Dấu “=” xẩy ra 25a b c ⇔ = = = (thỏa mãn điều kiện (*)) 0,25đ Vậy Min Q = 15 25a b c ⇔ = = = 0,25đ Chú ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa, điểm toàn bài không quy tròn. . KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút Câu 1 a) Tìm m để đường thẳng. biểu thức: 2 5 2 5 2 5 a b c Q b c a = + + − − − . Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2011-2012 Môn Toán Ngày thi 24 tháng 6 năm 2011 Mã đề 02 Câu Nội dung Điểm 1 a) Để đường thẳng. đường thẳng y =5x – 1 ⇔ 2m – 15= 5 (do 3 1 ≠ − ) 0,5đ ⇔ 2 6 3m m = ⇔ = 0,5đ b) Ta có: 2 5 4 2 10 3 2 4 3 2 4 x y x y x y x y + = + =   ⇔   − = − =   0,5đ 7 14 2 2 5 1 x x x y y = =   ⇔