SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số = − − + 4 2 y x x 2 . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng + + =x 6y 3 0 . Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trình: = 4 4 cos x - sin x + cosx 2 . b) Giải phương trình: + + = x x x 1 24 12 6 . Câu 3 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol = − 2 y x 2x , đường thẳng = −y x 2 và trục tung. Câu 4 (1,0 điểm). a) Cho số phức = +w 3 4i . Tìm số phức z biết =zw+w w . b) Cho khai triển = + + + + n 2 n 0 1 2 n (3x - 4) a a x a x a x ∈ ≥(n N, n 5) . Tìm hệ số 5 a biết + + + + = 2 n 0 1 2 n a 2a 2 a 2 a 1024 . Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng − + ∆ = = − x 1 y 1 z : 1 2 1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ , vuông góc với mặt phẳng (Oxy) và viết phương trình đường thẳng ∆' là hình chiếu vuông góc của ∆ lên mặt phẳng (Oxy). Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(1;1), hai đường thẳng AB và CD lần lượt đi qua các điểm M(-2;2) và N(2;-2). Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết C có tung độ âm. Câu 8 (1,0 điểm). Giải phương trình: 3 1 1 3x 2x (x R). 2 + + = ∈ Câu 9 (1,0 điểm). Tìm m để hệ phương trình 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 0 x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = có nghiệm thực. Hết S GD&T THANH HO TRNG THPT NH XUN P N THI TH THPT QUC GIA NM 2015 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu Ni dung im 1a (1,0) a) = + 4 2 y x x 2 . * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên: - Giới hạn: lim ; lim x x y y + = = . 0,25 - Bng biến thiên: 3 ' 4 2y x x= . ' 0 0y x= = . 0,25 - Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) ; nghịch biến trên khoảng (0; ).+ - Hàm số đạt cực đại tại 0x = và (0) 2 CD y y= = . 0,25 * Đồ thị: - Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 2) , cắt trục hoành tại (-1 ;0) và (1;0). - th nhn tục tung làm trục đi xng. -3 -2 -1 1 2 3 -4 -2 2 x y O 0,25 1b (1,0) Ta cú: + + = = 1 1 x 6y 3 0 y x 6 2 Suy ra tip tuyn cú h s gúc =k 6 . 0,25 Gi tip im l M(x 0 ;y 0 ) thỡ y(x 0 ) = 6 = = 3 0 0 0 4x 2x 6 x 1 . 0,25 Suy ra M(-1;0). 0,25 Vy phng trỡnh tip tuyn l y = 6(x+1) hay y = 6x + 6. 0,25 x y y 2 0 0 + + 2a (0,5) Ta có: = 4 4 cos x - sin x + cosx 2 ⇔ + 2 2 2 2 (cos x sin x)(cos x -sin x) + cosx = 2 ⇔ cos2x+cosx = 2 ⇔ 2 2cos x+cosx - 3 = 0 0,25 ⇔ = − cosx = 1 3 cosx 2 π ⇔ =x k2 ∈(k Z). 0,25 2b (0,5) + + = x x x 1 24 12 6 ⇔ + = x x 4 2 6 (Chia hai vế cho x 6 ) ( ) ⇔ + − = 2 x x 2 2 6 0 0,25 = ⇔ = − x x 2 2 2 3 ⇔ =x 1 Vậy phương trình có nghiệm =x 1 . 0,25 3 (1,0) Ta có: − ⇔ − 2 2 x 2x = x - 2 x 3x + 2 = 0 = ⇔ = x 1 x 2 Diện tích cần tìm là: = − + ∫ 2 2 0 S x 3x 2 dx . 0,25 = − + + − + ∫ ∫ 1 2 2 2 0 1 x 3x 2 dx x 3x 2 dx = − + + − + ∫ ∫ 1 2 2 2 0 1 (x 3x 2)dx (x 3x 2)dx 0,25 = − + + − + ÷ ÷ 1 2 3 2 3 2 0 1 1 3 1 3 x x 2x x x 2x 3 2 3 2 0,25 = + = 5 1 1 6 6 (đvdt). 0,25 4a (0,5) = ⇔ + + − = +zw+w w (3 4i)z 3 4i 9 16 + ⇔ + = + ⇔ = + 2 4i (3 4i)z 2 4i z 3 4i 0,25 + − ⇔ = + (2 4i)(3 4i) z 9 16 + ⇔ = ⇔ = + 22 4i 22 4 z z i 25 25 25 . 0,25 4b (0,5) = + + + + n 2 n 0 1 2 n (3x - 4) a a x a x a x (*) Thay x = 2 vào (*) ta có: = + + + + n 2 n 0 1 2 n 2 a 2a 2 a 2 a ⇔ = ⇔ = n 2 1024 n 10 . 0,25 Khi đó: − = = − ∑ 10 10 k k 10 k 10 k 0 (3x - 4) C (3x) ( 4) − = = − ∑ 10 k k 10 k k 10 k 0 C 3 ( 4) x . Suy ra = − 5 5 5 5 10 a C 3 ( 4) = - 62 705 664. 0,25 5 (1,0) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương ( ) 1;2; 1u = − ur , đi qua M(1;-1;0); mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến ( ) 0;0;1k = ur . Suy ra (P) có vectơ pháp tuyến ( ) [ , ] 2; 1;0n u k= = − r ur r và đi qua M. 0,25 Vậy (P) có phương trình 2( 1) ( 1) 0x y− − + = hay 2x – y – 3 = 0. 0,25 (Oxy) có phương trình z = 0. '∆ là giao tuyến của (P) và (Oxy). Xét hệ 2x 3 0 0 y z − − = = . 0,25 Đặt x = t thì hệ trên trở thành 3 2 0 x t y t z = = − + = . Vậy '∆ có phương trình 3 2 0 x t y t z = = − + = . 0,25 6 (1,0) Ta có tam giác SAB đều cạnh a. Gọi H là trung điểm AB thì SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD). Suy ra SH là chiều cao của hình chóp S.ABCD và SH = 3 2 a . 0,25 Diện tích hình vuông ABCD là 2 D S ABC a= . Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là V = 3 D 1 3 . 3 6 ABC a SH S = (đvtt). 0,25 Gọi I là tâm của hình vuông ABCD, G là trọng tâm tam giác ABC. Qua I vẽ đường thẳng d song với SH thì d ⊥ (ABCD) nên d là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Qua G vẽ đường thẳng d’ song song với HI thì d’ ⊥ (SAB) (vì dễ thấy HI ⊥ (SAB)). Suy ra d’ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. 0,25 Gọi O là giao điểm của d và d’ thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bán kính R của mặt cầu là R = OA = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 4 3 4 3 2 a a a AI OI SH + = + = + ÷ ÷ ÷ = 21 6 a . 0,25 A B C D H G O I S 7 (1,0) 0,25 0,25 0,25 0,25 8 (1,0) Giải phương trình: 3 1 1 3x 2x (1). 2 + + = Điều kiện: 1 3 x ≥ − (*). Đặt 1 1 3x 2 y = + 1 3x 2y⇔ + = (2) (1) trở thành 1 3 2y x+ = (3) 0,25 Từ (2) và (3) ta có hệ 1 3x 2 1 3 2x y y + = + = 2 2 0, 0 1 3x 4 (4) 1 3 4x (5) x y y y ≥ ≥ ⇔ + = + = . 0,25 Trừ vế với vế (4) và (5) ta có 2 2 3( ) 4( )x y x y− = − − ( )(3 4 4 ) 0x y x y y x⇔ − + + = ⇔ = (vì 0, 0x y≥ ≥ ). 0,25 Thế y = x vào (5) ta có 2 1 4x 3x 1 0 1 4 x x = − − = ⇔ = − . Kết hợp với 0x ≥ , suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1. 0,25 9 (1,0) Điều kiện: 2 2 1 0 1 1 0 2 2 0 x x y y y − ≥ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ − ≥ (*). Đặt t = x + 1, khi đó t ∈ [0; 2] và (1) trở thành t 3 − 3t 2 = y 3 − 3y 2 . Hàm số f(u) = u 3 − 3u 2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: (1) ⇔ f(t) = f(y) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1 0,25 Thay y = x + 1 vào (2) ta có 2 2 2 1 0x x m− − + = (3). Đặt 2 1v x= − , khi đó v∈[0; 1] và (3) trở thành v 2 + 2v − 1 = m (4). 0,25 Hàm số g(v) = v 2 + 2v − 1 liên tục trên [0;1] và có 0;1 0;1 min ( ) 1; m ( ) 2 [ ] [ ] axg v g v= − = . Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (4) có nghiệm trên [0;1] 0,25 ⇔ −1 ≤ m≤ 2. Vậy m cần tìm là −1 ≤ m≤ 2. 0,25 Hết . THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của. NH XUN P N THI TH THPT QUC GIA NM 2015 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu Ni dung im 1a (1,0) a) = + 4 2 y x x 2 . * Tập xác định: D = R * Sự biến thi n: - Giới. Tập xác định: D = R * Sự biến thi n: - Giới hạn: lim ; lim x x y y + = = . 0,25 - Bng biến thi n: 3 ' 4 2y x x= . ' 0 0y x= = . 0,25 - Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) ;