Page 1 ĐỀ SỐ 6 Đề thi thử Đại học lần II năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = 42 11 x x 1 42 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Đường thẳng ∆ đi qua điểm cực đại của (C) và có hệ số góc k. Tìm k để tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của (C) đến ∆ nhỏ nhất. Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình: 2sin 3 x + cos2x + cosx = 0 Câu 3. (1 điểm) Giải phương trình: 2 2 2 2 3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4 Câu 4. (1 điểm) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x (1 sin x)e 1 cosx Câu 5. (1 điểm) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a và đáy ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn bán kính r, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Câu 6. (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm 5 2 3 x 3x 2 m( x x 1) Câu 7. (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A (2; 2) và hai đường trung tuyến của tam giác là d 1 : 2x + 5y – 8 = 0 và d 2 : x – 3y + 2 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Câu 8. (1 điểm) Trong không gian Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có S (5; 4; 6), A (−1; 4; 3), C (5; −2; 3). Gọi K là trung điểm của AC và điểm H là trực tâm của tam giác SAB. Tính độ dài đoạn thẳng KH. Câu 9. (1 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3x 2y 8x 4y 8 x 4y 5 2x y 4x 4 2 2 33.2 2x y 2 0 Page 2 ĐỀ SỐ 6 Đề thi thử Đại học lần II năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) Câu 1. (1 điểm). Học sinh tự giải Câu 2. (1 điểm) Tọa độ điểm cực đại A (0 ; 1), tọa độ các điểm cực tiểu B (1 ; 3 4 ) và C ( 3 1; 4 ) Pt của : kx y 1 0 . Khoảng cách từ B và C lần lượt là : 1 2 1 k 4 h k1 và 2 2 1 k 4 h k1 Suy ra H = (h 1 + h 2 ) 2 = 22 2 11 2k 2 k 8 16 k1 (*). Xét hàm số f(t) = 11 2t 2 1 8 16 t1 với t 0 (0,5 điểm) Nếu 1 t 16 thì f(t) = 4t t1 ' 2 4 f (t) 0 f(t) (t 1) đồng biến 14 f(t) f( ) 16 17 Nếu 1 0t 16 thì f(t) = ' 2 12 f (t) 0 f(t) 4(t 1) 4(t 1) nghịch biến 14 f(t) f( ) 16 17 Suy ra f(t) nhỏ nhất khi 1 t 16 Áp dụng vào (*) ta được H nhỏ nhất 12 (h h ) nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 11 kk 16 4 (0,5 điểm) Câu 2. (1 điểm) Pt 2 sinx.2sin x cos2x cosx 0 sinx(1 cos2x) cos2x cosx 0 22 (sinx cosx) (1 sin x)(cos x sin x) 0 (sinx cosx) 1 (1 sinx)(cosx sin x) 0 2 (sin x cosx)(1 cosx sinx sinx.cosx sin x) 0 (0,5 điểm) Page 3 (sinx cosx) (1 cosx) sin x(1 cosx) (1 cosx)(1 cosx) 0 (sinx cosx)(1 cosx)(2 sinx cosx) 0 x 2k xk 4 với kZ (0,5 điểm) Câu 3. (1 điểm) Điều kiện x2 5 37 x 6 phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 2 3x 5x 1 3x 7x 3 x 2 x 3x 4 0 2 2 2 2 2x 4 3x 6 0 3x 5x 1 3x 7x 3 x 2 x 3x 4 2 2 2 2 23 (x 2) 0 3x 5x 1 3x 7x 3 x 2 x 3x 4 x2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình. (0,5 điểm) Câu 4. (1 điểm) Đặt u = xx 2 1 sinx 1 cosx sin x du dx, v e dx e 1 cos x (1 cosx) Ta có I = xx 2 1 sinx 1 cosx sin x e e dx 1 cosx (1 cosx) xx x 2 1 sin x e dx e sin xdx e 1 cosx 1 cos x (1 cosx) (1) (0,5 điểm) Với J = x 2 e sin xdx (1 cosx) , đặt u = e x x du e dx , 22 sinxdx d(cosx) 1 v (1 cosx) (1 cosx) 1 cosx xx e e dx J 1 cosx 1 cosx (2) Thay (2) vào (1) ta được I = x x x x 1 sinx e dx e e dx eC 1 cos x 1 cos x 1 cosx 1 cosx Vậy I = x e sinx C 1 cosx (0,5 điểm) Câu 5. (1 điểm) Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm ' O ngoại tiếp tứ giác ABCD kẻ đường kính qua ' O vuông góc với AC tại I. Ta có IA = IC, ' OI BD Page 4 và ' OI (SAC) . Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Gọi M là trung điểm của SC thì MI SA MI (ABCD) và a MI 2 . Từ M kẻ đường thẳng d’ // O’I cắt d tại O. (0,5 điểm) Vì ' d (SAC) tại M nên OC = OS = R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ta có R = OC = 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 2 a OO OC MI OC r 2 Vậy R = 22 a 4r 2 Câu 6. (1 điểm) Điều kiện : x 1 Bpt đã cho tương đương với bất phương trình 5 5 2 3 3 x 3x 2 m (x 3x 2)( x x 1) m (*) ( x x 1) (0,5 điểm) Ta nhận thấy, hàm số f(x) = (x 5 + 3x 2 – 2)( x x 1 ) 3 đồng biến trên 1; . Suy ra f(x) f(1) 2 x 1 . Do đó, tồn tại x1 thỏa mãn (*), hay bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m2 . (0,5 điểm) Câu 7. (1 điểm) Nhận thấy A không thuộc d 1 và d 2 . Giả sử 1 Bd , 2 Cd ; gọi M, N là trung điểm của AC và AB, khi đó M 1 d , N 2 d và '' 8 5t M ;t ; N (3t 2; t ) 2 . Từ đó suy ra C (6 – 5t; 2t – 2), B (6t ’ – 6; 2t ’ – 2) và do 1 Bd , 2 Cd nên ta có: 6 – 5t – 3(2t – 2) + 2 = 0 và (6t’ – 6) + 5(2t’ – 2) – 8 = 0 ' 14 15 t ; t 11 11 (0,5 điểm) Vậy A(2; 2), 24 8 4 6 B ; , C ; 11 11 11 11 . Từ đó phương trình các cạnh của ABC là: 7x + y – 16 = 0, 8x – 13y + 10 và 11x – 154y + 88 = 0 (0,5 điểm) Câu 8. (1 điểm) Gọi M là trung điểm của AB, thì H SM. Do AB (SKM) nên AB KH (1). Mặt khác BK (SAC) nên BK SA , H là trực tâm của SAB nên BH SA. Suy ra SA (KBH) KH SA (2) S A B C D H K M I S A B C O S D M d d ’ Page 5 Từ (1) và (2) suy ra KH (SAB) KH SM . Do đó KH là đường cao trong tam giác vuông SKM, nên 2 2 2 1 1 1 == KH SK KM (*) Ta có K (2; 1; 3), S (5; 4; 6) suy ra KS (3; 3; 3) KS 3 3 , AC(6; 6; 0) AK 3 2 KM 3 Từ (*) suy ra KH = 33 2 (0,5 điểm) Câu 9. (1 điểm) Pt(1) 2 2 2 2 2(x y 4x 4y 4) x y 4x 4y 4 2 33.2 32 0 2 t 33t 32 0 (*) Với 22 x y 4x 4y 4 t2 Pt (*) có hai nghiệm t = 1 và t = 32 (0,5 điểm) Với t = 1 22 x y 4x 4y 4 0 , kết hợp với pt (2) của hệ đã cho, ta có hệ phương trình: 22 x y 4x 4y 4 0 2x y 2 0 giải hệ này ta được (x; y) = 10 2 5 10 4 5 ; 55 (0,25 điểm) Với t = 32 22 x y 4x 4y , kết hợp với pt (2) của hệ đã cho, ta có hệ pt: 22 x y 4x 4y 2x y 2 0 giải hệ này ta được (x; y) = 10 3 5 10 6 5 ; 55 Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm: (x; y) = 10 2 5 10 4 5 ; 55 , 10 3 5 10 6 5 ; 55 . Page 2 ĐỀ SỐ 6 Đề thi thử Đại học lần II năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) Câu 1. (1 điểm). Học sinh tự giải Câu 2. (1 điểm) Tọa độ điểm cực đại A (0 ; 1),. Page 1 ĐỀ SỐ 6 Đề thi thử Đại học lần II năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = 42 11 x x 1 42 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C). trình các cạnh của tam giác ABC. Câu 8. (1 điểm) Trong không gian Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có S (5; 4; 6), A (−1; 4; 3), C (5; −2; 3). Gọi K là trung điểm của AC và điểm H là