Đề thi thử đại học chuyên ĐHSP năm 2013 môn toán (5)

Page 1 ĐỀ SỐ 4 Đề thi thử Đại học lần IV năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2) Đường thẳng ∆ đi qua điểm cực đại của (C) và hệ số góc bằng 2 1 m 4  . Tìm các giá trị của m để khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C) đến đường thẳng ∆ lớn nhất. Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình 1 – 3cosx + cos2x =     1 cot x cot 2x .sin x   Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình:   4 y 19 20 x y x x 2y 2            Câu 4. (1 điểm) Tính tích phân I =     2 1 2 0 2 x.ln x 1 x1    dx. Câu 5. (1 điểm) Hình chóp S.ABC có AB = BC = CA = SA = a, góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0 30 , H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) thuộc đường thẳng BC. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Câu 6. (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: a b c d 2 b c c d d a a b         Câu 7. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (1; 3) và hai đường thẳng d 1 : x – y + 1 = 0, d 2 : 2x + y + 2 = 0. Viết phương trình dạng tổng quát của đường thẳng l đi qua A và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại các điểm B và C cho 2AB = 3AC. Câu 8. (1 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P 1 ): x + y − 2z + 9 = 0 và (P 2 ): 2x – y + z + 2 = 0. Hãy lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x – 4y + z + 5 = 0,    : 2x + 2y – 3z – 5 = 0 và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P 1 ), (P 2 ). Câu 9. (1 điểm) Số phức z = x + 2yi (x, y  R) thay đổi thỏa mãn z = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x – y. Page 2 ĐỀ SỐ 4 Đề thi thử Đại học lần IV năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) 1. (1 điểm): Học sinh tự giải 2. (1 điểm) Điểm cực đại là A(0 ; 2) và cực tiểu là B (2 ; – 2) Pt của 2 1 : y (m )x 2 4     Gọi h là khoảng cách từ B đến  . Ta luôn có h  AB. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB  . (0,5 điểm) Ta có AB (2; 4) và vectơ chỉ phương của  là 2 1 u(1; m ) 4  Khi đó AB  22 1 1 1 AB.u 0 2 4(m ) 0 m m 4 4 2            (0,5 điểm) Câu 2. (1 điểm) Điều kiện: sin2x  0 Pt đã cho tương đương với pt : 1 – 3cosx + cos2x = 1 1 .sin x sin 2x  2 1 3cosx cos2x 2cosx 2cos x cosx 0        cosx(2cosx 1) 0   (0,5 điểm) Do sin2x 0 cosx 0 nên 2cosx – 1 = 0 1 cosx x 2k (k Z) 23          . Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: x 2k 3      (k Z) (0,5 điểm) Câu 3. (1 điểm) Điều kiện x 0, x 2y 0   Ta có x x 2y 2 2x 2y 2 x(x 2y) 2 x(x 2y) 1 (x y)             2 2 2 2 x y 1 x y 1 x 2y 1 2(x y) x 2xy y 2(x y) 1 y                     Thay vào 2(x + y) = 1 + y 2 và pt y 4 + 19 = 20(x + y), ta được: y 4 + 19 = 10(1 + y 2 ) 2 42 2 y1 y 10y 9 0 y9           Với y 2 = 9 2 10 1 y 2(x y) 2      vô lý. Trường hợp này vô nghiệm. Với 2 y 1 x 0 y1 y 1 x 2           (thỏa mãn điều kiện) Page 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (0 ; 1), (2 ;  1) (0,5 điểm) Câu 4. (1 điểm) Ta có   2 2 2 1 2x x1 x1        22 11 2 2 2 2 00 1 1 1 ln(x 1) 1 dln(x 1) 1 ln(x 1)d 0 2 x 1 2(x 1) 2 x 1                = 1 2 2 2 0 1 ln2 1 2xdx ln2 1 1 1 ln2 0 4 2 (x 1) 4 2 x 1 4          (1,0 điểm) Câu 5. (1 điểm)  SAH vuông tại H có SA = a, 0 SAH 30 nên SH = a 2 và AH = a3 2 Trong ABC đều, kẻ đường cao AH ' , ta có ' AH AH (đường vuông góc không lớn hơn đường xiên). Mặt khác AH ' = a3 2 , suy ra ' HH . Vậy H là trung điểm của BC. Gọi P là điểm đối xứng của S qua H, thì ASP là tam giác đều có đường cao là AH, kẻ đường trung trực của SA cắt AH tại G là trọng tâm của ASP . Ta có GS = GA = GB = GC. Suy ra G là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = a3 3 . Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là V = 2 4 a 3 27  Câu 6. (1 điểm) Ta có VT = a(d a) c(b c) b(a b) d(c d) (b c)(d a) (a b)(c d)                22 4 a(d a) d(b c) 4 b(a b) d(a d) VT (a b c d) (a b c d)              2 2 2 2 2 4(a b c d ab bc cd da) VT (a b c d)            2 2 2 2 22 2 2(a b c d) 2(a c) 2(b d) (a b c d) 2(a c) 2(b d) 22 (a b c d)                     Đẳng thức xảy ra khi a = c và b = d. Bất đẳng thức được chứng minh (1 điểm) Câu 7. (1 điểm) Do B 12 d , C d nên B (t; t + 1) và C (t ’ ; −2t’ − 2) AB (t 1;t 2)    và AC  (t’ − 1 ; −2t’ − 5)Từ đẳng thức 2AB = 3AC, ta có hai trường hợp sau: S A C B P H G Page 4 *) 2(t 1) 3(t' 1) 2AB 3AC 2(t 2) 3( 2t' 5)             2t 3t' 1 2t 6t ' 11           13 t 19 25 6 AB ( ; ). 10 66 t' 9               Chọn u (19;25) làm vectơ chỉ phương của l. Ta có pt của l là : 25x – 19y + 32 = 0 (0,5 điểm) *) '' '' 2(t 1) 3(t 1) 2t 3t 5 2AB 3AC 2(t 2) 3( 2t 5) 2t 6t 19                     29 t 23 17 6 AB ( ; ). 14 66 t' 9             Chọn u (23;17) làm vectơ chỉ phương của l. Ta có pt của l là: 17x – 23y + 52 = 0 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là : l 1 : 25x – 19y + 32 = 0 và l 2 : 17x – 23y + 52 = 0. (0,5 điểm) Câu 8. (1 điểm) Gọi n (1; 4;1), n (2;2; 3)      thứ tự là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó vectơ chỉ phương của d cùng phương với vectơ 4 1 1 1 1 4 n ,n , , (10;5;10) 2 3 3 2 2 2            . Ta nhận thấy điểm M ( 2;0; 3) nằm trên d, nên phương trình của d là: x 2 2t yt z 3 2t             (0,5 điểm) Gọi I ( 2 2t;t; 3 2t)    là tâm mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng (P 1 ), (P 2 ) Ta có d (I, (P 1 )) = d (I, (P 2 )) 2 2t t 6 4t 9 4 4t t 3 2t 2 66              t3 t 13 5t 5 t2            Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn bài toán: 2 2 2 1 2 2 2 2 50 (S ): (x 4) (y 3) (z 3) 3 75 (S ): (x 6) (y 2) (z 7) 2             Page 5 (0,5 điểm) Câu 9. (1 điểm) Ta có 2 2 2 2 z 1 x 4y 1 x 4y 1       (1) Từ P = x – y y x P   , thay vào (1) ta được 5x 2 – 8Px + 4P 2 – 1 = 0 (2) (0,5 điểm) Pt (2) có nghiệm ' 2 2 55 16P 5(4P 1) 0 P 22           Với 5 2 5 5 P z .i 2 5 10       ; Với P = 5 2 5 5 z .i 2 5 10    Suy ra : minP = 5 2  khi 2 5 5 z .i 5 10    ; maxP = 5 2 khi 2 5 5 z .i 5 10  (0,5 điểm) . Page 2 ĐỀ SỐ 4 Đề thi thử Đại học lần IV năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) 1. (1 điểm): Học sinh tự giải 2. (1 điểm) Điểm cực đại là A(0 ; 2) và cực. Page 1 ĐỀ SỐ 4 Đề thi thử Đại học lần IV năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 (1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của. 3x 2 + 2 (1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (2) Đường thẳng ∆ đi qua điểm cực đại của (C) và hệ số góc bằng 2 1 m 4  . Tìm các giá trị của m để khoảng cách từ điểm cực tiểu