Đề số 7 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: (4 điểm) 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức y x xsin2 3 cos2 1= − − . 2) Giải các phương trình sau: a) x2sin 3 0+ = b) x x x 2 2 3 4sin sin2 cos 0 2 − − = c) x x x x 2 cos 2(1 sin ) sin cos(7 ) π = + + + Câu 2: (3 điểm) 1) Trên một kệ sách có 12 quyển sách khác nhau, gồm 4 quyển tiểu thuyết, 6 quyển truyện tranh và 2 quyển truyện cổ tích. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển từ kệ sách. a) Tính xác suất để lấy được 3 quyển đôi một khác loại. b) Tính xác suất để lấy được 3 quyển trong đó có đúng 2 quyển cùng một loại. 2) Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển P x x x 5 3 2 2 ( ) 3 = − ÷ . Câu 3: (1,5 điểm) Trên đường tròn (O; R) lấy điểm A cố định và điểm B di động. Gọi I là trung điểm của AB. Tìm tập hợp các điểm K sao cho ∆OIK đều. Câu 4: (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. 1) Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBD). 2) Tìm giao điểm I của MN và (SBD). 3) Tính tỉ số MI MN . Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 7 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: 1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x xsin2 3 cos2 1= − − Ta có: y x xsin2 3 cos2 1= − − = x x 1 3 2 sin2 cos2 1 2 2 − − ÷ = x2sin 2 1 3 π − − ÷ ⇒ y3 1− ≤ ≤ (vì x1 sin 2 1 3 π − ≤ − ≤ ÷ ) ⇒ ymin 3= − khi x k 12 π π = − + ; ymax 1= khi x k 5 12 π π = + . 2) Giải phương trình: a) x2sin 3 0+ = ⇔ x k x x k 2 3 3 sin 4 2 2 3 π π π π = − + = − ⇔ = + b) x x x 2 2 3 4sin sin2 cos 0 2 − − = ⇔ x x x x 2 2 4sin 3sin .cos cos 0− − = (*) + Với xcos 0 = thì (*) ⇔ xsin 0 = (vô lí) ⇒ xcos 0 = không thoả (*) + Với xcos 0 ≠ . Chia 2 vế của (*) cho x 2 cos , ta được: (*) ⇔ x x 2 4tan 3tan 1 0− − = ⇔ x x tan 1 1 tan 4 = = − ⇔ x k x k 4 1 arctan 4 π π π = + = − + ÷ Vậy PT có nghiệm: x k x k 1 ; arctan 4 4 π π π = + = − + ÷ c) x x x x 2 cos 2(1 sin ) sin cos(7 ) π = + + + ⇔ x x x x 2 1 sin 2(1 sin ) sin cos − = + − (*) Điều kiện: x x x msin cos 0 4 π π − ≠ ⇔ ≠ + (1) Với điều kiện (1) thì (*) ⇔ x x x(1 sin )(1 3sin 2cos ) 0+ − + = ⇔ x x x sin 1 (2) 3sin 2cos 1 (3) = − − = • (2) ⇔ x k2 2 π π = − + (thoả (1)) • (3) ⇔ x x 3 2 1 sin cos 13 13 13 − = ⇔ ( ) x 1 sin 13 α − = (với 2 3 sin ; cos 13 13 α α = = ) ⇔ x k x k 1 arcsin 2 13 1 arcsin 2 13 α π α π π − = + − = − + ⇔ x k x k 1 arcsin 2 13 1 arcsin 2 13 α π α π π = + + = + − + (thoả (1)) Vậy PT có nghiệm: x k2 2 π π = − + ; x k x k 1 1 arcsin 2 ; arcsin 2 13 13 α π α π π = + + = + − + (với 2 3 sin ; cos 13 13 α α = = ) 2 Câu 2: 1) Số cách chọn 3 quyển sách tè kệ sách: C 3 12 = 220 ⇒ n( ) 220 Ω = . a) Gọi A là biến cố "Lấy được 3 quyển sách đôi một khác loại" Số cách chọn 3 quyển sách đôi một khác loại: C C C 1 1 1 4 6 2 . . 48= ⇒ n A( ) 48= . ⇒ Xác suất của biến cố A: P(A) = 48 12 220 55 = . b) Gọi B là biến cố "Lấy được 3 quyển sách, trong đó có đúng 2 quyển cùng loại" + Số cách chọn có đúng 2 quyển tiểu thuyết: C C 2 1 4 8 . 48= + Số cách chọn có đúng 2 quyển truyện tranh: C C 2 1 6 6 . 90= + Số cách chọn có đúng 2 quyển cổ tích: C C 2 1 2 10 . 10= ⇒ Số cách chọn có đúng 2 quyển cùng loại: 48 + 90 + 10 = 148 ⇒ n B( ) 148= ⇒ Xác suất của biến cố B: P(B) = 148 37 220 55 = . 2) P x x x 5 3 2 2 ( ) 3 = − ÷ Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: k k k k k k k k k k x T C x C x x 15 3 3 5 5 1 5 5 2 2 2 (3 ) ( 1) 3 .2 − − − + = − = − ÷ Để số hạng chứa x 10 thì k k15 3 2 10− − = ⇔ k 1= Vậy hệ số của số hạng chứa x 10 là: C 1 5 1 1 1 5 ( 1) 3 .2 810 − − = − . Câu 3: + Ta có · AIO v1= ⇒ Tập hợp các điểm I là đường tròn (C) nhận AO làm đường kính. + Vì ∆OIK đều nên phép quay O Q I K 0 ( ,60 ) : a hoặc O Q I K 0 ( , 60 ) : − a Vậy tập hợp các điểm K là hai đường tròn (C′) và (C′′) lần lượt là ảnh của (C) qua các phép quay O Q 0 ( ,60 ) và O Q 0 ( , 60 )− . Câu 4: a) Giao tuyến của (SMN) và (SBD) Ta có: S ∈ (SMN) ∩ (SBD) (1) Trong mp(ABCD), gọi E = MC ∩ BD ⇒ E ∈ (SMN) ∩ (SBD) (2) Từ (1) và (2) ⇒ (SMN) ∩ (SBD) = SE b) Giao điểm của MN và (SBD) Trong mp(SMN), gọi I = MN ∩ SE ⇒ I = MN ∩ (SBD) c) Xét hai tam giác BME và DCE, ta có MB // DC ⇒ EB EM BM ED EC DC 1 2 = = = Gọi F là trung điểm của EC ⇒ NF // SE và E là trung điểm của MF ⇒ IE là đường trung bình của ∆MNF ⇒ I là trung điểm của MN ⇒ MI MN 1 2 = . =========================== 3 O A B I K S A B C D M N E I F . . . 1 Đề số 7 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2 010 – 2 011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 12 0 phút Câu 1: 1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x xsin2 3 cos2 1= −. Đề số 7 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2 010 – 2 011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 12 0 phút Câu 1: (4 điểm) 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức y x xsin2 3 cos2 1= . 3 3 5 5 1 5 5 2 2 2 (3 ) ( 1) 3 .2 − − − + = − = − ÷ Để số hạng chứa x 10 thì k k15 3 2 10 − − = ⇔ k 1= Vậy hệ số của số hạng chứa x 10 là: C 1 5 1 1 1 5 ( 1) 3 .2 810 − − =