Đề số 6 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: (4 điểm) 1) Tìm tập xác định của hàm số: y x x 1 tan sin = + . 2) Giải các phương trình sau: a) x xtan cot 3 0 3 6 π π + + − = ÷ ÷ . Từ đó tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; ) π . b) x x x 2 2 5sin 4sin2 6cos 2+ + = . c) x x x 3 3 cos sin cos2+ = . Câu 2: (3 điểm) 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) Có 3 chữ số khác nhau. b) Có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn số 235. 2) Một túi đựng 11 viên bi chỉ khác nhau về màu, gồm 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để: a) Lấy được 2 viên bi cùng màu. b) Lấy được 2 viên bi khác màu. 3) Một túi đựng 11 viên bi chỉ khác nhau về màu, gồm 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy lần lượt 2 viên bi, lấy xong viên 1 thì bỏ lại vào túi. Tính xác suất để: a) Cả hai lần lấy cả 2 viên bi đều màu đỏ. b) Trong 2 lần lấy, có ít nhất 1 viên bi xanh. Câu 3: (1,5 điểm) 1) Cho đường tròn (C): x y x y 2 2 4 6 12 0+ + − − = . Viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ u (2; 3)= − r . 2) Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng 2 . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE 1= . Tìm phép dời hình biến AO thành BE. Câu 4: (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. 1) Tìm giao điểm của SO với mp(MNB). Suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNB). 2) Tìm các giao điểm E, F của AD, CD với mp(MNB). 3) Chứng minh rằng E, F, B thẳng hàng. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 6 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: 1) Tập xác định của hàm số: y x x 1 tan sin = + ĐKXĐ: x m x x m m n x x n sin 0 ( , ) cos 0 2 2 π π π π ≠ ≠ ⇔ ⇔ ≠ ∈ ≠ ≠ + ¢ ⇒ Tập xác định của hàm số là: D = m m\ ; 2 π ∈ ¢¡ 2) Giải phương trình: a) PT ⇔ x xtan tan 3 0 3 3 π π + + + = ÷ ÷ ⇔ x xtan 3 tan 3 3 π π + = − − ÷ ÷ ⇔ x x k3 3 3 π π π + = − − + ⇔ x k k( ) 6 4 π π = − + ∈ ¢ Để nghiệm của PT thoả x0 π < < thì k0 6 4 π π π < − + < ⇔ k 7 6 4 6 π π π < < ⇔ k 2 14 3 3 < < ⇔ k 1; 2; 3; 4= Vậy các nghiệm thuộc khoảng (0; ) π là: x x x x 7 5 ; ; ; 12 3 12 6 π π π π = = = = . b) x x x 2 2 5sin 4sin2 6cos 2+ + = ⇔ x x x x 2 2 3sin 8sin .cos 4cos 0+ + = (1) + Với xcos 0= , ta thấy không thoả PT (1) + Với xcos 0≠ , chia 2 vế của (*) cho x 2 cos , ta được: (1) ⇔ x x 2 3tan 8tan 4 0+ + = ⇔ x x tan 2 2 tan 3 = − = − ⇔ x k x k arctan( 2) 2 arctan 3 π π = − + = − + ÷ Vậy PT có nghiệm: x k x k 2 arctan( 2) ; arctan 3 π π = − + = − + ÷ c) PT ⇔ x x x x 3 3 2 2 cos sin cos sin+ = − ⇔ x x x x x x x x x x 2 2 (cos sin )(cos cos sin sin ) (cos sin )(cos sin )+ − + = − + ⇔ x x x x x x(cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0+ − + − = ⇔ x x x x(cos sin )(1 cos )(sin 1) 0+ − + = ⇔ x x x x sin cos 0 1 cos 0 sin 1 0 + = − = + = ⇔ x k x k k x k 4 2 ( ) 2 2 π π π π π = − + = ∈ = − + ¢ Câu 2: 1) a) Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. ⇒ Số các số cần tìm là: A 3 5 = 60 (số) b) Gọi x abc= là số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Nếu x 235≥ thì có các trường hợp như sau: + Nếu a b2, 3= = thì c 5= ⇒ có 1 số + Nếu a b2, 3= > thì b có 2 cách chọn, c có 3 cách chọn ⇒ có 2.3 = 6 (số) 2 + Nếu a > 2 thì a có 3 cách chọn, b có 4 cách chọn, c có 3 cách chọn ⇒ có 3.4.3 = 36 (số) ⇒ Tất cả có: 1 + 6 + 36 = 43 số x 235 ≥ . ⇒ Có 60 – 43 = 17 số x 235 < . 2) Số phần tử của không gian mẫu là: n C 2 11 ( ) Ω = = 55 a) Gọi A là biến cố "Lấy được 2 viên bi cùng màu" ⇒ n A C C 2 2 4 7 ( ) = + = 27 ⇒ P(A) = n A n ( ) 27 ( ) 55 Ω = b) Gọi B là biến cố "Lấy được 2 viên bi khác màu" ⇒ B A= ⇒ P(B) = 1 – P(A) = 27 28 1 55 55 − = . 3) Số phần tử của không gian mẫu là: n C C 1 1 11 11 ( ) . Ω = = 121 a) Gọi A là biến cố "Cả 2 lần lấy đều được 2 viên bi đỏ" ⇒ n A C C 1 1 7 7 ( ) .= = 49 ⇒ P(A) = n A n ( ) 49 ( ) 121 Ω = b) Gọi B là biến cố "Trong 2 lần lấy có ít nhất 1 viên bi xanh" ⇒ B A= ⇒ P(B) = 1 – P(A) = 49 72 1 121 121 − = Câu 3: 1) Biểu thức toạ độ của phép u T r là: x x y y 2 3 ′ = + ′ = − ⇔ x x y y 2 3 ′ = − ′ = + x y C( ; ) ( )∈ ⇔ x y x y 2 2 4 6 12 0+ + − − = ⇔ x y x y 2 2 ( 2) ( 3) 4( 2) 6( 3) 12 0 ′ ′ ′ ′ − + + + − − + − = ⇔ x y 2 2 25 ′ ′ + = ⇔ x y C( ; ) ( ) ′ ′ ′ ∈ ⇒ PT của (C′): x y 2 2 25+ = . 2) • Vì hình vuông có cạnh bằng 2 nên AO = BE = 1 Gọi H là trung điểm của AB. • Xét phép quay tâm H, góc 90 0 , ta có: H Q A O O B 0 ( ,90 ) : ; a a ⇒ AO → OB • Xét phép quay tâm B, góc 45 0 , ta có: B Q B B O E 0 ( ,45 ) : ; a a ⇒ BO → BE Như vậy bằng cách thực hiện tiếp hai phép dời hình là: phép H Q 0 ( ,90 ) và B Q 0 ( ,45 ) sẽ biến AO thành BE. Câu 4: a) Trong mp(SAC), gọi I = SO ∩ MN ⇒ I = SO ∩ (MNB) Vì MN là đường trung bình của ∆SAC nên I là trung điểm của SO. Trong mp(SBD), gọi P = BI ∩ SD ⇒ P = (MNB) ∩ SD Vậy, thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mp(MNB) là tứ giác MBNP. b) Trong mp(SAD), gọi E = PM ∩ DA ⇒ E = (MNB) ∩ DA Trong mp(SDC), gọi F = PN ∩ DC ⇒ F = (MNB) ∩ DC c) Từ câu b) ta suy ra được: B, E, F là các điểm chung của hai mặt phẳng (MNB) và (ABCD). Suy ra E, B, F thẳng hàng. 3 A B C D O E H . :. . . . . . . . . . 1 Đề số 6 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2 010 – 2 011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 12 0 phút Câu 1: 1) Tập xác định của hàm số: y x x 1 tan sin = + ĐKXĐ: x. Đề số 6 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2 010 – 2 011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 12 0 phút Câu 1: (4 điểm) 1) Tìm tập xác định của hàm số: y x x 1 tan sin = + . 2) Giải. P(B) = 1 – P(A) = 27 28 1 55 55 − = . 3) Số phần tử của không gian mẫu là: n C C 1 1 11 11 ( ) . Ω = = 12 1 a) Gọi A là biến cố "Cả 2 lần lấy đều được 2 viên bi đỏ" ⇒ n A C C 1 1 7