website http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn 1 SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1 ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC : 2012 -2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài I (2 điểm) Cho hàm số: y = x 3 – 3mx 2 + 3(m 2 – 1)x – (m 2 – 1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt với hoành độ dương. Bài II (2 điểm) a. Giải bất phương trình: 257log155log 2 3 2 2 xxxx b. Tìm m để phương trình : ( cosx + 1)(cos2x – m cosx) = m sin 2 x có đúng hai nghiệm x thuộc đoạn 3 2 ;0 Bài III (2 điểm) a. Gieo liên tiếp ba lần một con xúc xắc. Tìm xác suất của biến cố: tổng số chấm không nhỏ hơn 16. b. Cho ABC . Giả sử G là giao điểm các đường trung tuyến của tam giác. Kí hiệu GAB = , GBC = , GCA = . Chứng minh rằng: cot + cot + cot = S cba 4 3 222 ; trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh và S là diện tích của tam giác. Bài IV (2 điểm) a. Tính : I = dxaxx 1 0 , với a là tham số dương. b. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng: ( d 1 ) 062 02 zx yx ; ( d 2 ) 1 1 2 2 1 4 zyx ; ( d 3 ) 1 1 1 1 2 5 zyx Chứng minh rằng (d 1 ) chéo (d 2 ) và viết phương trình đường thẳng (d) cắt (d 1 ) cắt (d 2 ) và song song với (d 3 ). Bài V (2 điểm) Cho: x, y, z > 0, x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz (x + y)(y + z)(z + x). website http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn 2 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN Bài Nội dung Điểm Bài 1 ( 2 điểm) + Tập xác định : D= R + y’ = 3x 2 – 6mx + 3(m 2 – 1) ; y’ = 0 1 1 2 1 mx mx + Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương x 3 – 3mx 2 + 3(m 2 -1)x –(m 2 -1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt dương khi: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. 0. 0, 0. D da xx yy CTCD CTC 212 m 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ Bài 2 ( 2 điểm) a) Giải bất phương trình log 2 ( 155 2 xx ) + log 3 ( x 2 + 7 – 5x) 2 (1) Đk : x 2 – 5x +5 0 x 2 55 hoặc x 2 55 (*) Đặt t = 55 2 xx ( t 0) Bất PT (1) f(t) = log 2 (t +1) + log 3 (t 2 + 2) 2 ( với t )0 f’(t) = 0 3ln2 2 2ln1 1 2 t t t t 0, nên f(t) tăng khi t 0 f(t) 2 = f(1) t 1 (1) 0 55 2 xx 1 0 x 2 – 5x + 5 1 0 x 2 55 hoặc 4 2 55 x b) (cosx + 1)(cos2x – mcosx) = msin 2 x (2) (cosx + 1)(cos2x – m) = 0 02cos 01cos mx x Pt (2a) có nghiệm không thuộc 3 2 ;0 nên (2) có đúng 2 nghiệm thuộc 3 2 ;0 (2b) có đúng 2 nghiệm thuộc 3 2 ;0 . Đặt f(x) = cos2x ; x 3 2 ;0 , f’(x) = - 2sin2x f’(x) = 0 sin2x = 0 x = Zk k 2 f’(x) = 0 có x = 0; 2 3 2 ;0 BBT: 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ a2 b2 website http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn 3 Bài Nội dung Điểm 0 2 3 2 f’(x) 0 - 0 + f(x) 1 - 2 1 -1 Pt (2) có đúng 2 nghiệm 3 2 ;0 - 1 < m < - 2 1 0,25 đ Bài 3 ( 2điểm) a) Gọi X 1 , X 2 , X 3 là số chấm của các lần gieo xúc xắc, ta có: X 1 + X 2 + X 3 16 5;5;6;; 4;6;6;; 5;6;6;; 6;6;6;; 321 321 321 321 XXX XXX XXX XXX Trừ trường hợp đầu có 1 hoán vị, các trường hợp còn lại có 3 hoán vị. Gọi X là không gian mẫu, X = 6,5,4,3,2,1/,, 321 i XXXX n(X) = 3 6 Goi A biến cố : tổng số chấm không nhỏ hơn 16; A = 16/,, 321321 XXXXXX n (A) = 1 + 3+ 3 + 3 =10 Ta có P(A) = 108 5 6 10 )( )( 3 n n . b) Trong AA’B có: BA’ 2 = AB 2 + AA’ 2 – 2AB.AA’.cos cos = cm a mc a a 2 4 22 S ABA’ = 2 1 AB.AA’.sin sin = cm S a cot = S amc a 8 44 222 , tương tự cot S bma b 8 44 222 và cot S cmb c 8 44 222 cot + cot + cot = S cba 4 3 222 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 4 ( 2 điểm) a) Vì a > 0 nên với a > 1 ta có I = dxxax 1 0 = 3 1 2 a với 0 < a < 1 , ta có : I = dxxax a 0 + dxaxx a 1 = 3 1 2 3 22 aa b) (d 1 ) đi qua M 1 (0; - 2; - 6), VTCP 1 U = (1; 1 ; 2) (d 2 ) đi qua M 2 (4; 2 ; 1) , VTCP 2 U = (1; 2 ; 1) 21 MM = (4; 4 ; 7) ; 1 2 1 2 ; . 0 U U M M (d 1 ) chéo (d 2 ) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ B ' A A ' B C 'C G website http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn 4 Bài Nội dung Điểm (d 3 ) VTCP 3 U = (2; -1; -1) + MP( ) (d 1 ) và ( )// (d 3 ) n = (1; 5; -3) PT ( ) : x + 5y -3z -8 = 0 + MP( ) chứa (d 2 ) và ( )// (d 3 ) PT ( ) : x - 3y +5z - 3 = 0 (d) = ( ) ( ) PT (d) : 0353 0835 zyx zyx 0,25 đ 0,25 đ Bài 5 (2 điểm) x, y, z > 0 và x + y + z = 1 + Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dương: 1 = x + y + z 3 3 xyz (1) 2 = (y + x) + (y + z) + (z + x) 3. 3 xzzyxy (2) Nhân từng vế (1) và (2) ta được: 2 9 3 S S 729 8 9 2 3 Đẳng thức xảy ra khi đẳng thức ở (1) và (2) xảy ra x = y = z = 3 1 Giá trị lớn nhất: S = 729 8 khi x = y = z = 3 1 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Chú ý: Trên đây chỉ là một gợi ý về đáp án. Bài làm có cách giải khác đúng vẫn được tính điểm tương ứng với thang điểm và đáp án trên. . http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn 1 SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1 ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC : 2 012 -2 013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 15 0 phút. y)(y + z)(z + x). website http://thptthuanthanh1.bacninh.edu.vn 2 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN Bài Nội dung Điểm Bài 1 ( 2 điểm) +. dxaxx 1 0 , với a là tham số dương. b. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng: ( d 1 ) 062 02 zx yx ; ( d 2 ) 1 1 2 2 1 4 zyx ; ( d 3 ) 1 1 1 1 2 5 zyx