TRNG THPT S 3 BO THNG THI THPT QUC GIA NM 2015 Ngy Thi : 19-03-2015 Mụn: TON THI TH LN 1 Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu 1 (2,0 im) Cho hm s 2 1 1 x y x - = - + cú th (C) 1. Kho sỏt v v th ca hm s (C) 2. Tỡm m ng thng 2y x m= - + ct th (C) ti hai im phõn bit cú honh 1 2 , x x sao cho 1 2 1 2 7 4( ) 2 x x x x- + = Cõu 2 (1,0 im) Gii phng trỡnh 2 x sinx 2 3 os + 3 2 0 2sin 3 c x - = + Cõu 3 (1,0 im) Tớnh tớch phõn ( ) 2 1 ln 1 2ln e x I dx x x = + ũ Cõu 4(1,0 im) 1. Cho s phc z tha món iu kin 1 3 (1 2 ) 2 1 i i z i i - - + = - + . Tớnh mụ un ca z . 2. Tỡm h s khụng cha x trong khai trin 15 3 2 ( )f x x x ổ ử = + ỗ ữ ố ứ Cõu 5 (1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ( 1;2; 1)A - - v mt phng ( ) : 2 2 1 0x y za + - - = . Vit phng trỡnh mt phng ( ) b song song vi mt phng ( ) a sao cho khong cỏch t im A ti mt phng ( ) a bng khong cỏch t im A ti mt phng ( ) b Cõu 6 (1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh bng a . SAB l tam giỏc vuụng cõn ti S v n m trong mt phng vuụng gúc vi ỏy , gúc gi a cng SC v m t phng (ABCD) bng 0 60 ,cnh AC = a . Tớnh theo a th tớch khi chúp S.ABCD v khong cỏch t A n mt phng (SBC). Cõu 7 ( 1 ,0 im) Gi i h ph ng trỡnh: 3 3 2 2 1 3 1 2 3 2 2 x y y x x y x x y y ỡ - - + + = + + ù ớ - + = - ù ợ Cõu 8 ( 1,0 i m) Trong mt phng ta Oxy c ho hỡnh vuụng ABCD cú tõm 7 3 ; 2 2 O ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . i m ( ) 6;6M thuc cnh AB v ( ) 8; 2N - thuc cnh BC . Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng. Cõu 9 (1,0 im) Cho x, y, z l cỏc s thc thuc ( ) 0;1 tha món iu kin ( ) 3 3 ( ) (1 )(1 )x y x y xy x y+ + = - - .Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : 2 2 2 2 1 1 3 ( ) 1 1 P xy x y x y = + + - + + + HT GV Nguyn Khc Hng - THPT Qu Vừ s 2 - http://nguyenkhachuong.tk ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Đáp án Điểm I 1 1,0 − TXĐ : D = R − Sự biến thiên + Chiều biến thiên ( ) 2 1 ' 0, 1 1 y x x = > " ¹ - + Vậy: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ¥ ;1) và (1 ; + ¥ ) 0,25 + Cực trị : Hàm số không có cực trị + Giới hạn : lim 2; lim 2 2 x x y y y ®-¥ ®+¥ = - = - => = - là đường tiệm cận ngang 1 1 lim ;lim 1 x x y y x - + ® ® = +¥ = -¥ => = là đường tiệm cận đứng 0.25 + Bảng biến thiên : 0,25 · Đồ thị: − Đồ thị : Đồ thị hàm số giao với Ox: ( 1 2 ;0) Đồ thị hàm số giao với Oy: (0;-1) 0,25 2 1,0 2 2 ( 4) 1 0 (1) 2 1 2 1 1 x m x m x x m x x ì - + + + = - = - + Û í - + ¹ î Đường thằng 2 y x m = - + cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 0,25 ( ) 2 2 4 8( 1) 0 8 0, 1 0 m m m m ì + - + > ï Û Û + > " í - ¹ ï î 0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk Vậy m " đường thẳng y x m = + luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 1 2 , , x x x x ¹ Theo vi-et : 1 2 1 2 4 1 , . 2 2 m m x x x x + + + = = 0.25 1 2 1 2 7 1 4 7 22 4( ) 4( ) 2 2 2 2 3 m m x x x x m + + - + = Û - = Û = - Vậy 22 3 m = - thì đường thẳng 2 y x m = - + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x và 1 2 1 2 7 4( ) 2 x x x x - + = 0,25 2 1.0 ĐK : 3 sin 2 x ¹ ; 2 x sinx 2 3 os + 3 2 0 sinx 3 osx=0 2sin 3 c c x - = Û - + 0.25 1 3 sinx osx=0 os x + 0 2 2 6 c c p æ ö Û - Û = ç ÷ è ø 0.25 x = , 3 k k Z p p Û + Î 0.25 Kết hợp ĐK ta có x k2 ,k Z 3 p = + p Î là nghiệm của phương trình 0.25 3 1.0 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2ln 1 1 4ln 1 1 1 1 4 1 2ln 4 4 1 2ln e e e x dx x dx I dx x x x x x - - + = = + + + ò ò ò 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2ln 1 1 1 2ln 1 2ln 1 8 8 1 2ln e e d x x d x x + = - - + + ò ò 0.25 ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2ln 1 ln 1 2ln 16 8 e e x x æ ö = - + + ç ÷ è ø 0.25 1 ln3 8 = 0.35 4 1.0 1 3 1 7 (1 2 ) 2 1 5 5 i i z i z i i - - + = - Û = + + 0,25 2 z=> = 0,25 15 15 5 15 15 5 3 3 62 15 15 0 0 2 ( ) . .2 .2 . ,(0 15, ) k kk k k k k k k f x x C x x C x k k Z x - = = æ ö = + = = £ £ Î ç ÷ è ø å å 0,25 Hệ số không chứa x ứng với k thỏa mãn : 5 5 0 6 6 k k - = Û = => hệ số : 320320 0,25 5 1,0 ( ) 4 ( , ) 3 d A a = 0,25 Vì ( ) b // ( ) a nên phương trình ( ) b có dạng : 2 2 0, 1 x y z d d + - + = ¹ - 0,25 ( ) ( ) 5 4 ( , ) ( , ) 3 3 d d A d A + a = b Û = Û 0,25 1 9 9 d d d = - é Û = - ê - ë (d = -1 loại) => ( ) b : 2 2 9 0 x y z + - - = 0,25 6 1,0 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk Gi I l trung im ca on AB => ,( ) ( ) ( ) SI AB SAB ABCD SI ABCD ^ ^ => ^ nờn ã ( ) ã 0 , ( ) 60 , SCI SC ABCD= = 0 3 3 tan60 2 2 a a CI SI CI= => = = Gi M l trung im ca on BC , N l trung im ca on BM 3 3 2 4 a a AM IN= => = Ta cú 2 2 3 . 3 1 3 3 3 2 . . 2 3 2 2 4 ABCD ABC S ABCD a a a a S S V D = = => = = 0.5 ta cú , ( ) BC IN BC SI BC SIN ^ ^ => ^ Trong mt phng (SIN) k ( ), IK SN K SN ^ ẻ . Ta cú ( ) ( ,( )) IK SN IK SBC d I SBC IK IK BC ^ ỡ => ^ => = ớ ^ ợ Li cú : 2 2 2 1 1 1 3 13 3 13 3 13 ( ,( )) ( ,( )) 26 26 13 IS a a a IK d I SBC d A SBC IK IN = + => = => = => = 0.5 7 1.0 K : 2 1 0 2 0 0 1 3 x y x y x y - - ỡ ù + ù ù > ớ ù ù - ù ợ (1) 2 1 3 1 2 0 1 1 0 2 1 3 1 2 x y x y x y x y x y x y x y x y - - - + + - + = - - - - - = - - + + + + ( ) 1 1 1 2 1 3 1 2 x y x y x y x y ổ ử - - - ỗ ữ ỗ ữ - - + + + + ố ứ 1 (3) 2 1 3 1 2 (4) y x x y x y x y = - ộ ờ - - + = + + + ờ ở 0,25 1 (4) 2 1 3 1 2 3 1 (5) 3 x x y x y x y x y y - - - + = + + + = + = 0,25 A B C D S I M N K GV Nguyn Khc Hng - THPT Qu Vừ s 2 - http://nguyenkhachuong.tk T (3) v (2) ta cú : ( ) 2 3 2 2 1 ( 1) ( 2) 2( 1) ( 1) ( 1) 5 0 5 x x x x x x x x = ộ - + = - - - - - = ờ = ở 1 0; 5 4 x y x y = => = = => = 0,25 T (5) v (2) ta cú : ( ) 2 3 2 2 2 1 ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) 25 59 0 1 27 9 x x x x x x x - + = - - - - + = = (do x > 0) Vy h ó cho cú nghim : ( ; ) (1;0);( ; ) (5;4) x y x y = = 0,25 8 1 1,0 Gi G l im i xng ca M qua O (1; 3) G CD => = - ẻ Gi I l im i xng ca N qua O ( 1;5) I AD => = - ẻ 0,25 Phng trỡnh cnh MO qua M v cú VTCP MO uuuur l : 9 5 24 0 x y - - = => Phng trỡnh cnh NE qua N v vuụng gúc MO l : 5 9 22 0 x y + - = Gi E l hỡnh chiu ca N trờn MG => 163 39 ; 53 53 E NE MG E ổ ử = ầ => = ỗ ữ ố ứ 0,25 Li cú ( 0, ) ( 1;3) NJ MG NE MG k k R J NE k NJ = ỡ ù ^ => ạ ẻ => - ớ = ù ợ uuur uuur ;(Vỡ , NE NJ uuur uuur cựng chiu ) Suy ra phng trỡnh cnh AD : 9 1 0 2 x OK + = => = . Vỡ KA = KO = KD nờn K,O,D thuc ng trũn tõm K ng kớnh OK ng trũn tõm K bỏn kớnh OK cú phng trỡnh : ( ) 2 2 3 81 1 2 4 x y ổ ử + + - = ỗ ữ ố ứ 0,25 Vy ta im A v D l nghim ca h : ( ) 2 2 1 3 81 6 1 2 4 1 1 0 3 x y x y x x y ộ = - ỡ ỡ ớ ờ ổ ử = + + - = ù ợ ờ ỗ ữ ớ ố ứ ờ = - ỡ ù ờ + = ớ ợ = - ờ ợ ở Suy ra ( 1;6); ( 1; 3) (8; 3); (8;6) A D C B - - - => - . Trng hp ( 1;6); ( 1; 3) D A - - - loi do M thuc CD . 0,25 GV Nguyn Khc Hng - THPT Qu Vừ s 2 - http://nguyenkhachuong.tk 9 1,0 ( ) 2 2 3 3 ( ) (1 )(1 ) ( ) (1 )(1 ) (1) x y x y x y xy x y x y x y y x æ ö ÷ ç ÷ + + = - - Û + + = - - ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø Ta có : 2 2 ( ) 4 x y x y xy y x æ ö ÷ ç ÷ + + ³ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø và (1 )(1 ) 1 ( ) 1 2x y x y xy xy xy- - = - + + £ - + 1 1 2 4 0 9 xy xy xy xy=> - + ³ Û < £ 0.25 Dễ chứng minh : ( ) 2 2 1 1 1 ; ; (0;1) 1 1 1 x y xy x y + £ Î + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 xy x y xy x y æ ö æ ö + £ + £ = ç ÷ ç ÷ + + + + è ø + + è ø 0. 2 5 2 2 2 3 ( ) ( ) xy x y xy x y xy - + = - - £ 2 2 1 , ,0 9 1 1 P xy t t xy t xy t æ ö => £ + = + = < £ ç ÷ + + è ø 0.25 Xét hàm số 2 1 1 6 10 1 1 ( ) , 0 max ( ) ( ) , 0; 9 9 10 9 9 1 f t t t f t f t t æ ö æ ù = + < £ => => = = + Î ç ÷ ç ú + è ø è û 0.25 __________HẾT__________ GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk . TRNG THPT S 3 BO THNG THI THPT QUC GIA NM 2015 Ngy Thi : 19-03 -2015 Mụn: TON THI TH LN 1 Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu 1 (2,0 im) Cho hm. HT GV Nguyn Khc Hng - THPT Qu Vừ s 2 - http://nguyenkhachuong.tk ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Đáp án Điểm I 1 1,0 − TXĐ : D = R − Sự biến thi n + Chiều biến thi n ( ) 2 1 '. = là đường tiệm cận đứng 0.25 + Bảng biến thi n : 0,25 · Đồ thị: − Đồ thị : Đồ thị hàm số giao với Ox: ( 1 2 ;0) Đồ thị hàm số giao với Oy: (0;-1)