PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu I (2,0 điểm).
Cho biểu thức: A x 2 x 1 1
x x 1 x x 1 1 x
− + + − với x 0, x 1 ≥ ≠ 1) Rút gọn A
2) Chứng tỏ rằng: A 1
3
<
Câu II (2,0 điểm).
1) Giải phương trình: x − x 15 17 − =
2) Tìm x, y sao cho: 5x 2 x 2 y − ( + ) + y2 + = 1 0
Câu III (2,0 điểm).
1) Tìm số nguyên x, sao cho : x2 + − = x p 0 với p là số nguyên tố.
2) Tìm m để hàm số bậc nhất = − + −
2 2
m 2013m 2012
m 2 2m 3 là hàm số nghịch biến.
Câu IV (3,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.IO.
b) Biết · BAC 60 = 0, tính độ dài dây BC theo R.
2) Cho ∆ ABC(A 90 ) µ = 0 , BC = a Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp ABC
∆ là r Chứng minh rằng: r 2 1
−
Câu V (1,0 điểm).
Cho x 3y 1 + ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C x = 2+ y2
–––––––– Hết ––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Câu I
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
( )(x 2 ) x 1 1
A
( )( ) ( )( )
A
A
=
−
=
( ) ( x)( x 1 ) x
A
x x 1
x 1 x x 1
−
− + + , với x 0, x 1≥ ≠
0.25 0.25
0.25 0.25
2
(1,0 đ)
x 1
A
3 3 x x 1 3(x x 1)
−
Do x 0, x 1≥ ≠
x 1 0 và x x 1 x 0
2 4
1
A 0 3
3
<
0.50
0.25 0.25
Câu II
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
ĐKXĐ: x 15≥
x− x 15 17− = ⇔ − −x 15 x 15 2 0− − =
Đặt t = x 15 (t 0)− ≥ ⇒ − − =t2 t 2 0 ( ) ( ) = ( ( ) )
= −
t 2 TM§K
t 2 t 1 0
t 1 lo¹i Với t 2= ⇒ x 15 2− = ⇔ − = ⇔ =x 15 4 x 19 (TMĐK)
0.25 0.25 0.25 0.25
2
(1,0 đ)
ĐKXĐ: x 0≥
5x 2 x 2 y− + +y + = ⇔1 0 4x 4 x 1 x 2y x y− + + − + 2 =0 ( ) (2 )2
2 x 1 x y 0
Vì ( )2 ( )2
2 x 1− ≥0, x y− ≥ ∀ ≥0 x 0, y ( ) (2 )2
2 x 1 x y 0
Để (1) xẩy ra thì
1 x
2 x 1 0 4 (TM)
1
x y 0 y
2
=
− =
0.25 0.25
0.25
0.25
Câu III
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ) Theo bài ra:p x= 2 + =x x x 1( + ) mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp
Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2
0.25 0.25 0.50
Trang 3(1,0 đ)
Để hàm số
2 2
m 2013m 2012
m 2 2m 3
− + nghịch biến thì
2 2
m 2013m 2012
0
m 2 2m 3
2
m −2 2m 3+ = m− 2 + > ∀1 0 m (1) ⇔m2−2013m 2012 0+ < ⇔(m 1 m 2012− ) ( − )<0
m 2012 0 m 2012
m 1 0 m 1
m 2012 0 m 2012
1 m 2012
⇒ < <
0.25 0.25
0.25
0.25
Câu IV
(3,0 điểm)
1a
(1,0 đ)
Vì B, C thuộc đường tròn đường kính
AK ⇒ABK ACK 90· = · = 0
KB AB, KC AC
CH⊥AB, BH⊥AC (gt)
BK // CH,CK // BH
⇒
BHCK
⇒ là hình bình hành
I là trung điểm của BC (gt) I
⇒ là trung điểm của HK
O là trung điểm của AK (gt) OI
⇒ là đường trung bình của KAH∆
1
OI AH AH 2.IO 2
0.25
0.25
0.25 0.25
1b
(1,0 đ)
OA OC= ⇒ ∆OAC cân tại O ⇒OAC OCA· = ·
KOC OAC OCA= + (T/c góc ngoài của tam giác)
KOC 2.OAC
Chứng minh tương tự: ·KOB 2.OAB= ·
KOC KOB 2 OAC OAB BOC 2.BAC 120
OB OC= ⇒ ∆OBC cân tại O ⇒OCI· =(1800 −120 : 2 300) = 0
Vì I là trung điểm của BC (gt) ⇒OI⊥BC Trong ∆OIC I 90($= 0): 0 3
IC OC.cos30 R BC R 3
2
0.25 0.25 0.25
0.25
2
(1,0 đ)
r 2 1
2r a 2 a 2r a a 2
a 2
−
C/m được AB + AC = 2r + a
AB AC BC 2
AB 2AB.AC AC 2BC
2
AB 2AB.AC AC 2AB 2AC
AB AC 0 1
BĐT (1) đúng ⇒ r 2 1
a 2
−
≤ , dấu “=” xảy ra khi ABC∆ v/cân tại A
0.25 0.25
0.25
0.25
Câu V
(1,0 điểm)
(1,0 đ)
Do x 3y 1+ ≥ , đặt x 3y 1 a+ = + với a 0≥ ⇒ x = 1 + a – 3y, thay vào
Trang 4biểu thức C: ⇒ =C 10y2 −6ay 6y a− + +2 2a 1+
C 10 y a 1 a 2a
1 min C
10
⇒ = khi:
1
10
=
0.25 0.50
0.25
* Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.