Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS huyện Bình Giang năm 2012-2013 môn Toán

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức: x 2 x 1 1 A x x 1 x x 1 1 x + + = + + − + + − với x 0, x 1≥ ≠ 1) Rút gọn A 2) Chứng tỏ rằng: 1 A 3 < Câu II (2,0 điểm). 1) Giải phương trình: − − =x x 15 17 2) Tìm x, y sao cho: ( ) 2 5x 2 x 2 y y 1 0− + + + = Câu III (2,0 điểm). 1) Tìm số nguyên x, sao cho : 2 x x p 0 + − = với p là số nguyên tố. 2) Tìm m để hàm số bậc nhất − + = − − + 2 2 m 2013m 2012 y x 2011 m 2 2m 3 là hàm số nghịch biến. Câu IV (3,0 điểm). 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh AH = 2.IO. b) Biết · 0 BAC 60= , tính độ dài dây BC theo R. 2) Cho µ 0 ABC(A 90 )∆ = , BC = a. Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp ABC∆ là r. Chứng minh rằng: r 2 1 a 2 − ≤ . Câu V (1,0 điểm). Cho x 3y 1+ ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 C x y= + –––––––– Hết –––––––– ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Câu Phần Nội dung Điểm Câu I (2,0 điểm) 1 (1,0 đ) ( ) ( ) x 2 x 1 1 A x x 1 x 1 x 1 x x 1 + + = + − + + − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 1 x x 1 A x 1 x x 1 x x A x 1 x x 1 + + − − − − = − + + − = − + + ( ) ( ) ( ) x x 1 x A x x 1 x 1 x x 1 − = = + + − + + , với x 0, x 1≥ ≠ 0.25 0.25 0.25 0.25 2 (1,0 đ) Xét ( ) 2 x 1 1 1 x A 3 3 x x 1 3(x x 1) − − = − = + + + + Do x 0, x 1≥ ≠ ( ) 2 2 1 3 x 1 0 và x x 1 x 0 2 4   ⇒ − > + + = + + >  ÷   1 A 0 3 ⇒ − > ⇔ 1 A 3 < 0.50 0.25 0.25 Câu II (2,0 điểm) 1 (1,0 đ) ĐKXĐ: x 15≥ x x 15 17 x 15 x 15 2 0− − = ⇔ − − − − = Đặt 2 t x 15 (t 0) t t 2 0= − ≥ ⇒ − − = ( ) ( ) ( ) ( )  = ⇔ − + = ⇔  = −   t 2 TM§K t 2 t 1 0 t 1 lo¹i Với t 2 x 15 2 x 15 4 x 19= ⇒ − = ⇔ − = ⇔ = (TMĐK) 0.25 0.25 0.25 0.25 2 (1,0 đ) ĐKXĐ: x 0≥ ( ) 2 5x 2 x 2 y y 1 0− + + + = ⇔ 2 4x 4 x 1 x 2y x y 0− + + − + = ( ) ( ) 2 2 2 x 1 x y 0⇔ − + − = (1) Vì ( ) ( ) 2 2 2 x 1 0, x y 0 x 0, y− ≥ − ≥ ∀ ≥ ( ) ( ) 2 2 2 x 1 x y 0⇒ − + − ≥ . Để (1) xẩy ra thì 1 x 2 x 1 0 4 (TM) 1 x y 0 y 2  =   − =   ⇔   − =    =   0.25 0.25 0.25 0.25 Câu III (2,0 điểm) 1 (1,0 đ) Theo bài ra: ( ) 2 p x x x x 1 = + = + mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp nên ( ) + x x 1 là số chẵn ⇒ p là số chẵn. Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2 ⇒ 2 x x 2 0 + − = ( ) ( ) x 2 x 1 0 ⇔ + − = ⇔ x = 1 hoặc x = - 2 (TM) 0.25 0.25 0.50 2 (1,0 đ) Để hàm số 2 2 m 2013m 2012 y x 2011 m 2 2m 3 − + = − − + nghịch biến thì 2 2 m 2013m 2012 0 m 2 2m 3 − + < − + (1). ( ) 2 2 m 2 2m 3 m 2 1 0 m− + = − + > ∀ (1) ( ) ( ) 2 m 2013m 2012 0 m 1 m 2012 0⇔ − + < ⇔ − − < m 1 0 m 1 m 2012 0 m 2012 m 1 0 m 1 m 2012 0 m 2012   − > >       − < <     ⇔ ⇔   − < <       − > >       1 m 2012⇒ < < 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu IV (3,0 điểm) 1a (1,0 đ) Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK · · 0 ABK ACK 90⇒ = = KB AB,KC AC⇒ ⊥ ⊥ CH AB,BH AC⊥ ⊥ (gt) BK // CH,CK // BH⇒ BHCK ⇒ là hình bình hành I là trung điểm của BC (gt) I ⇒ là trung điểm của HK O là trung điểm của AK (gt) OI ⇒ là đường trung bình của KAH∆ 1 OI AH AH 2.IO 2 ⇒ = ⇒ = 0.25 0.25 0.25 0.25 1b (1,0 đ) OA OC OAC = ⇒ ∆ cân tại O · · OAC OCA⇒ = · · · KOC OAC OCA= + (T/c góc ngoài của tam giác) · · KOC 2.OAC⇒ = Chứng minh tương tự: · · KOB 2.OAB= · · · · ( ) · · 0 KOC KOB 2 OAC OAB BOC 2.BAC 120⇒ + = + ⇒ = = OB OC OBC = ⇒ ∆ cân tại O · ( ) 0 0 0 OCI 180 120 : 2 30⇒ = − = Vì I là trung điểm của BC (gt) OI BC ⇒ ⊥ Trong ( ) 0 OIC I 90∆ = $ : 0 3 IC OC.cos30 R. BC R 3 2 = = ⇒ = 0.25 0.25 0.25 0.25 2 (1,0 đ) r 2 1 2r a 2 a 2r a a 2 a 2 − ≤ ⇔ ≤ − ⇔ + ≤ C/m được AB + AC = 2r + a AB AC BC 2⇒ + ≤ 2 2 2 AB 2AB.AC AC 2BC⇔ + + ≤ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 AB 2AB.AC AC 2AB 2AC AB AC 0 1 ⇔ + + ≤ + ⇔ − ≥ BĐT (1) đúng ⇒ r 2 1 a 2 − ≤ , dấu “=” xảy ra khi ABC ∆ v/cân tại A. 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu V (1,0 điểm) (1,0 đ) Do x 3y 1+ ≥ , đặt x 3y 1 a+ = + với a 0 ≥ ⇒ x = 1 + a – 3y, thay vào biểu thức C: 2 2 C 10y 6ay 6y a 2a 1⇒ = − − + + + ( ) ( ) 2 2 3 1 1 1 C 10 y a 1 a 2a 10 10 10 10   = − + + + + ≥     . 1 minC 10 ⇒ = khi: ( ) 3 3 3 3 y y a 1 0 y y 10 10 10 10 1 a 0 a 0 x 3y 1 x 10  =     − + = = =     ⇔ ⇔ ⇔         = = + = =      0.25 0.50 0.25 * Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. . PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I (2,0 điểm). Cho biểu. nhất của biểu thức: 2 2 C x y= + –––––––– Hết –––––––– ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Câu Phần Nội dung Điểm Câu I (2,0 điểm) 1 (1,0 đ) (. đ) Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK · · 0 ABK ACK 90 ⇒ = = KB AB,KC AC⇒ ⊥ ⊥ CH AB,BH AC⊥ ⊥ (gt) BK // CH,CK // BH⇒ BHCK ⇒ là hình bình hành I là trung điểm của BC (gt) I ⇒ là trung điểm