SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm). a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì không chia hết cho 3. b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho là một số chính phương. Câu 2 (5,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: Câu 3 (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 4 (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K(O). Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 2 n n 2+ + 2 n 17+ 2 x 4x+5 = 2 2x+3+ 2 2 2x+y = x 2y+x = y 2 4x+3 A x 1 = + 2 BC ∈ ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Bảng B Câu: Nội dung 1. a, (2,5) *) Nếu nên (1) *) Nếu (2) Từ (1) và (2) thì b, (2,5) Đặt =17.1 Do m + n > m - n Vậy với n = 8 ta có 2. a, (2.5) Giải phương trình (1) Điều kiện: (1) thỏa mãn điều kiện b, (2.5) Giải hệ phương trình Trừ từng vế 2 phương trình ta có: Ta có: *) Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) *) (*) Vì phương trình vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) 3. Tìmgiá trị nhỏ nhất của Ta có: Dấu "=" xảy ra 2 n 3 n n 3⇒ +M M 2 n n 2 3 / + + M 2 n 3 n 2 3 / ⇒ +M M 2 n n 2 3 / ⇒ + + M n Z⇒ ∀ ∈ 2 n n 2 3 / + + M 2 2 m n 17= + (m N)∈ 2 2 m n 17 (m n)(m n) 17 1.17⇒ − = ⇒ − + = = m n 17 m 9 m n 1 n 8 + = = ⇒ ⇒ − = = 2 2 n 17 64 17 81 9+ = + = = 2 x 4x+5=2 2x+3+ 3 2x+3 0 x - 2 ≥ ⇒ ≥ 2 x 4x+5-2 2x+3 0⇔ + = 2 x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0⇔ + + = 2 2 (x 1) ( 2x+3 1) 0⇔ + + − = x 1 0 2x+3 1 0 + = ⇔ − = x 1 2x+3=1 = − ⇔ x 1⇔ = − 2 2 2x+y=x 2y+x=y 2 2 x y x y− = − (x y)(x y 1) 0⇔ − + − = x y x y x y 1 0 x 1 y = = ⇔ ⇔ + − = = − x y x y x(x 3) 0 x 0 = = ⇔ − = = 2 2 2 x 1 y x 1 y x 1 y 2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0 = − = − = − ⇔ ⇔ − + = − − + = 2 y y 1 0− + = 2 4x+3 A x 1 = + 2 2 2 4x+3 x 4x+4 A 1 x 1 x 1 + = = − + + + 2 2 (x 2) A 1 1 x 1 + = − + ≥ − + x 2 0 x 2⇔ + = ⇔ = − (1) (2) hoặc x = 3 Vậy khi x = -2 4. a, (2,5) Gọi I là giao điểm của AH và BC ⇒ AI ⊥ BC Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g) (1) Ta có: ∆CHI ∆CBF (g, g) (2) Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC 2 b, (2,0) Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra Mà (do tứ giác AFIC nội tiếp) ⇒ tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) ⇒ K ∈ (O) 5. + Khi . F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính. EF đi qua điểm O cố định. + Khi < 90 0 > 90 0 . Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. (cùng bù ) (Do I và K đối xứng qua EF) nội tiếp (cung chắn ) (1) (Do K và I đối xứng qua EF) (2) (cùng phụ ) (3) Từ (1), (2), (3) AKBI là tứ giác nội tiếp Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng. + Khi > 90 0 < 90 0 chứng minh tương tự. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định. - - - Hết - - - min A 1= − H K E I F O B A C BH BI BH.BE BC.BI BC BE ⇒ = ⇒ = CH CI CH.CF BC.CI CB CF ⇒ = ⇒ = · · HCB KCB= · · FAI HCI= · · · · FAI BCK hay BAK BCK⇒ = = · 0 BAC 90= ⇒ · 0 BIC 90= ⇒ ⇒ K F E O A B C I · BAC ⇒ · BIC · · EIF EAF⇒ = · BIC · · EKF EIF= · · EKF EAF⇒ = AKFE⇒ · · KAB KEF⇒ = » KF · · IEF KEF= · · IEF BIK= · KIE · · KAB BIK⇒ = ⇒ ⇒ K (O)∈ ⇒ · BAC ⇒ · BIC SS . SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN - B NG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm). a). y 2 4x+3 A x 1 = + 2 BC ∈ ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - B ng B Câu: Nội dung 1. a, (2,5) *). − H K E I F O B A C BH BI BH.BE BC.BI BC BE ⇒ = ⇒ = CH CI CH.CF BC.CI CB CF ⇒ = ⇒ = · · HCB KCB= · · FAI HCI= · · · · FAI BCK hay BAK BCK⇒ = = · 0 BAC 90 = ⇒ · 0 BIC 90 = ⇒ ⇒ K F E O A B C I · BAC ⇒ · BIC · · EIF