Bộ đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn toán tỉnh thanh hoá

Bài 3: 1 Điểm Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Tính các cạnh của một tam giác vuông biết rằng chu vi của nó là 12cm và tổng bìnhphương độ dài các cạnh bằng 50.. Chứng minh A

Trang 1

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m+1)x + 2m + 5 = 0

a Giải phương trình khi m = 5

2

b Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm

Bài 3: (2,5 Điểm)

Cho đường tròn (O) và một đường kính AB của nó Gọi S là trung điểm của OA,

vẽ một đường tròn (S) có tâm là điểm S và đi qua A

a Chứng minh đường tròn (O) và đường tròn (S) tiếp xúc nhau

b Qua A vẽ đường thẳng Ax cắt các đường tròn (S) và (O) theo thứ tự tại M, Q;đường thẳng Ay cắt các đường tròn (S) và (O) theo thứ tự tại N, F; đường thẳng

Az cắt các đường tròn (S) và (O) theo thứ tự tại P, T

Chứng minh tam giác MNP đồng dạng với tam giác QFT

Bài 4: (2 Điểm)

Cho hình chóp SABC có tất cả các mặt đều là tam giác đều cạnh a Gọi M là trungđiểm của cạnh SA; N là trung điểm của cạnh BC

a Chứng minh MN vuông góc với SA và BC

b Tính diệm tích của tam giác MBC theo a

Bài 5: (1,5 Điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = (x− 1999) 2 + (x− 2000) 2 + (x− 2001) 2

- Hết

Trang 2

-** Bộ đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán - Tỉnh Thanh Hoá -**

Sở gd & đt thanh hoá Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt

Năm học 2001 – 2002

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (1,5 Điểm) Cho biểu thức: A =

Bài 2: (2 Điểm) Cho phương trình : x2 – 2(m - 1)x – (m +1) = 0

a Giải phương trình với m = 2

b Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1,

x2

c Tìm m để x1 −x2 có giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: (1,5 Điểm) Cho hệ phương trình: mx y x y+ =+ =12m

a Giải hệ phương trình với m = 2

b Xác định m để hệ phương trình có một nghiệm? Vô nghiệm? Vô số nghiệm?

Bài 4: (2,5 Điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC), với Â = 450, nội tiếp trongđường tròn tâm O Đường tròn đường kính BC cắt AB ở E, cắt AC ở F

a Chứng minh rằng: O thuộc đường tròn đường kính BC

b Chứng minh ∆AEC, ∆AFB là những tam giác vuông cân

c Chứng minh tứ giác EOFB là hình thang cân Suy ra EF = BC 2

2

Bài 5: (1,5 Điểm) Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2cm SA

vuông góc với đáy, SA = 2 cm

a Tính thể tích của tứ diện

b Gọi AM là đường cao, O là trực tâm của tam giác ABC Gọi H là hình chiếu của

O trên SM Chứng minh rằng OH vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Bài 6:(1 Điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x+ y = 1998

- Hết

Trang 3

2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = ( 32 − 50 + 8 : 18)

Bài 2: (1,5 Điểm) Cho phương trình mx2 – (2m+1)x + m - 2 = 0 (1), với m là tham

số Tìm các giá trị của m để phương trình (1):

1 Có nghiệm

2 Có tổng bình phương các nghiệm bằng 22

3 Có bình phương của hiệu hai nghiệm bằng 13

Bài 3: (1 Điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Tính các cạnh của một tam giác vuông biết rằng chu vi của nó là 12cm và tổng bìnhphương độ dài các cạnh bằng 50

Bài 4: (1 Điểm) Cho biểu thức: B = 3 22 5

1

x x

+ +

1 Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên

2 Tìm giá trị lớn nhất của B

Bài 5: (2,5 Điểm) Cho tam giác ABC cân đỉnh A nội tiếp trong đường tròn tâm O.

Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chỉnh giữa các cung nhỏ AB, BC, CA; BP cắt AN tạiI; MN cắt AB tại E Chứng minh rằng:

1 Tứ giác BCPM là hình thang cân; góc ABN có số đo bằng 900

2 Tam giác BIN cân; EI // BC

Bài 6: (1,5 Điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là 18cm, độ

dài đường cao là 12cm

1.Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp

2.Chứng minh đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD)

Bài 7: (1 Điểm) Giải phương trình:

x4 + x2 + 2002 2002 =

- Hết

Trang 4

-** Bộ đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán - Tỉnh Thanh Hoá -**

x x

Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 - |m| - m = 0 (Với m là tham số)

1 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x12 + x22 = 6

Bài 4: (3,5 Điểm) Cho B và C là các điểm tương ứng thuộc các cạnh Ax, Ay của góc

vuông xAy (B ≠A, C ≠A) Tam giác ABC có đường cao AH và phân giác BE Gọi D

là chân đường vuông góc hạ từ A lên BE, O là trung điểm của AB

1 Chứng minh ADHB và CEDH là các tứ giác nội tiếp được trong đường tròn

2 Chứng minh AH ⊥OD và HD là phân giác của góc OHC

3 Cho B và C di chuyển trên Ax và Ay thoả mãn AH = h (h không đổi) Tính diện tích

tứ giác ADHO theo h khi diện tích của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5: (1,5 Điểm) Cho hai số dương x, y thay đổi sao cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ

Trang 5

THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 PHÚT

Cho phương trình: x2 – (m+1)x + 2m - 3 = 0 (Với m là tham số)

1 Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình sao cho hệ thức đó

không phụ thuộc m.

Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O

và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác;

M, N, P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A, K, H, B xuống đường thẳng d

1 Chứng minh rằng: tứ giác AKHB nội tiếp và tứ giác HKNP là hình chữ nhật

Trang 6

** Bộ đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán - Tỉnh Thanh Hoá **

Bµi 1: (2 §iÓm) Cho biÓu thøc: A = 2

Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH Đường tròn (O)

đường kính HC cắt cạnh AC tại N Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại điểm N cắt cạnh

AB tại điểm M Chứng minh rằng:

1 HN // AB và tứ giác BMNC nội tiếp được trong một đường tròn

Trang 7

Bµi 1: (1,5 §iÓm) Cho biÓu thøc: A = 3 3 5

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, Góc B gấp đôi góc C và AH là đường cao Gọi M

là trung điểm của cạnh AC, các đường thẳng MH, AB cắt nhau tại điểm N Chứngminh rằng:

a Tam giác MHC cân

b Tứ giác NBMC nội tiếp được trong một đường tròn

Trang 8

1 Biết rằng phương trình x2 – 2(a+1)x + a2 + 2 = 0 (Với a là tham số) có một

nghiệm x = 1 Tìm nghiệm còn lại của phương trình này

Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CH Đường tròn tâm

O đường kính AH cắt cạnh AC tại điểm M (M ≠A), đường tròn tâm O’ đường kính

BH Cắt cạnh BC tại điểm N (N ≠ B) Chứng minh rằng:

1 Tứ giác CMHN là hình chữ nhật

2 Tứ giác AMNB nội tiếp được trong một đường tròn

3 MN là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AH và đường tròn đường kínhOO’

Trang 9

MÔN: TOÁN

Bài 1: (2 Điểm) Cho hai số x1 = 2 - 3 , x2 = 2 + 3

1 Chứng minh ∆BIC = ∆AIN, từ đó chứng minh tứ giác ANBC là hình bình hành

2 Chứng minh rằng BI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN

3 Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB để diện tích tứ giác ANBC lớn nhất

Bài 5: (1 Điểm) Tìm nghiệm dương của phương trình:

( ) (2005 )2005

1 + −x x − 1 + + + 1 x x − 1 = 2 - Hết -

NĂM HỌC 2009 – 2010

MÔN: TOÁN

Trang 10

1 Giải phương trình (1) khi q = 3

2 Tìm q để phương trình (1) có nghiệm

Bài 2: (1,5 Điểm) Giải hệ phương trình:  + =2x x y+ =2y 57

Bài 3: (2,5 Điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm D(0;1)

1 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D(0;1) và có hệ số góc k

2 Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt G và Hvới mọi k

3 Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lượt là x1 và x2 Chứng minh rằng: x1.x2 = -1,

từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông

Bài 4: (3,5 Điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Trên tia đối

của tia BA lấy điểm K (khác với điểm B) Từ các điểm K, A và B kẻ các tiếp tuyến vớinửa đường tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ điểm K cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B lầnlượt tại C và D

1 Gọi Q là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ K tới nửa đường tròn (O) Chứng minh tứgiác BDQO nội tiếp được trong một đường tròn

2 Chứng minh tam giác BKD đồng dạng với tam giác AKC, từ đó suy ra CQ DQ

3 Đặt ∠BOD = α Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và α Chứng tỏ rằng

tích AC.BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào α .

Bài 5: (1 Điểm) Cho các số thực t, u, v thoả mãn: u2 + uv + v2 = 1- 3 2

Bài 1: (2 Điểm) Cho phương trình: x2 + px - 4 = 0 (1) với p là tham số

1 Giải phương trình (1) khi p = 3

Trang 11

2 Giả sử x1, x2 là các nhiệm của phương trình (1), tìm p để:

1 Tìm toạ độ các điểm C, D và viết phương trình đường thẳng CD

2 Tìm q để đường thẳng (d): y = (2q2 - q)x + q + 1 (với q là tham số) song song vớiđường thẳng CD

Bài 4: (3 Điểm)

Cho tam giác BCD có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao CM, DNcủa tam giác cắt nhau tại H

1 Chứng minh tứ giác CDMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

2 Kéo dài BO cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh tứ giác CHDK là hình bình hành

3 Cho cạnh CD cố định, B thay đổi trên cung lớn CD sao cho tam giác BCD luônnhọn Xác định vị trí điểm B để diện tích tam giác CDH lớn nhất

Bài 5: (1 Điểm) Cho u, v là các số dương thoả mãn u + v = 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = u2 + v2 + 33

uv - Hết -

Trang 12

Cho phương trình x2 – (2p – 1)x + p(p – 1) = 0 (1) (Với p là tham số)

1 Giải phương trình (1) với p = 2

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi p

3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) (với x1 < x2)

Chứng minh: x12 – 2x2 +3 ≥ 0

Bài 4: (3 Điểm)

Cho tam giác CDE có ba góc nhọn, các đường cao DK, EF của tam giác cắt nhau tại H

1 Chứng minh tứ giác CFHK là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn







= +

=

−

2

7 2

y x y x

Trang 13

Bài 2 : (2.0 điểm) Cho biẻu thức : A =

a

2 2

1- Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

2- Tìm giá trị của a ; biết A <

3 1

Bài 3 : (2.0 điểm)

1- Cho đường thẳng (d) : y = ax + b Tìm a; b để đường thẳng (d) đi qua điểm

A( -1 ; 3) và song song với đường thẳng (d’) : y = 5x + 3

2- Cho phương trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 ( x là ẩn số ) Tìm a để phươmgtrình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn 2

bất kỳ ( M không trùng B ; C; H ) Từ M kẻ MP ; MQ lần lượt vuông góc với các cạnh

AB ; AC ( P thuộc AB ; Q thuộc AC)

1- Chứng minh :Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn

2- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Chứng minh OH ⊥ PQ 3- Chứng minh rằng : MP +MQ = AH

Bài 5 : (1.0 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b ≥ 1 và a > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2

4

8

b a

+ +

Trang 14

:

y Q

b Tính giá trị biểu thức Q khi y= − 3 2 2

Câu 3 (2.0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2bx + 1 và

Parabol (P): y = - 2x2

a Tìm b để đường thẳng (d) đi qua điểm B(1;5)

b Tìm b để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 + 4(x1 + x2) = 0

Câu 4 (3.0 điểm): Cho (O; R) đường kính EF Bán kính OI vuông góc với EF, gọi J là

điểm bất kỳ trên Cung nhỏ EI (J khác E và I), FJ cắt EI tại L; Kẻ LS vuông góc với EF (S thuộc EF)

a Chứng minh tứ giác IFSL nộ tiếp

b Trên đoạn thẳng FJ lấy điểm N sao cho FN = EJ Chứng minh rằng, tam giác IJN vuông cân

c Gọi (d) là tiếp tuyến tại điểm E Lấy D là điểm nằm trên (d) sao cho hai điểm D và I cùng nằm trên cùng một nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng FE và ED.JF = JE.OF Chứng minh rằng đường thẳng FD đi qua trung điểm của đoạn thẳng LS

Câu 5 ( 1.0 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca ≥ 3

Trang 15

2 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 5 ; x2 = 2

b Phương trình bậc hai x2 – 2(m+1)x + 2m + 5 = 0 có nghiệm khi:

2 '

Trang 16

a Gọi R, r lần lượt là bán kính của

đường tròn (O) và đường tròn (S)

Khi đó: R = OA, r = SA

Ta có: R – r = OA – SA = SO (Vì

S là trung điểm của OA)

⇒ Đường tròn (O) và đường tròn

(S) tiếp xúc với nhau tại A

b Trong đường tròn (O) ta có:

∠QAF = ∠QTF (Hai góc nội tiếp

cùng chắn cung QF) (1)

P

T z

F N

y

Q M

x

S

B O

A

∠TAF = ∠TQF (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung TF) (2)

Trong đường tròn (S) ta có:

∠MAN = ∠MPN (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN) (3)

∠PAN = ∠PMN (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN) (4)

Từ (1) và (3) suy ra: ∠QTF = ∠MPN (5)

Từ (2) và (4) suy ra: ∠TQF = ∠PMN (6)

Từ (5) và (6) suy ra: ∆MPN ∆QTF (g - g)

Bài 4:

a Vì ∆SAB và ∆SAC là các tam

giác đều, mà M là trung điểm của SA

nên BM, CM là các đường trung

tuyến cũng là đường cao trong các

M

C

B A

Trang 18

Trang 19

b Để hệ phương trình có một nghiệm thì phương trình (m - 1)x = 2m – 1 có mộtnghiệm.

2 1 0

2

m m

Vậy: Với m ≠ 1 thì hệ phương trình có một nghiệm

Với m = 1 thì hệ phương trình vô nghiệm

Không có giá trị của m để hệ phương trình vô số nghiệm

Bài 4:

a Trong đường tròn (O) ta có:

∠BOC = 2∠BAC = 2.450 = 900 (Liên

hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng

Nên ∆AFB vuông cân tại F

Ta có: ∠BEC = 900 (Vì góc nội tiếp

chắn nửa đườn tròn đường kính BC)

F E

O

A

⇒ ∠AEC = 900 mà ∠EAC = 450 (gt) Nên ∆AEC vuông cân tại E

c Ta có: ∆BOC vuông tại O, mà OB = OC ⇒ ∠OCB = 450

Tứ giác BEOC là tứ giác nội tiếp nên ∠OCB + ∠BEO = 1800 (1)

Mặt khác: ∠OEA + ∠BEO = 1800 (2)

Trang 20

Từ (1) và (2) ⇒ ∠OEA = ∠OCB = 450

⇒ ∠OEA = ∠FBA (= 450) ⇒ BF // OE ⇒ Tứ giác EOFB là hình thang (3)

Mà ∠OFB = ∠OCB = 450 (Vì hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong đường trònđường kính BC)

C

B A

Trang 22

2 Tính giá trị của biểu thức:

m

m m

Trang 23

Bài 3: (1 Điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là x (cm) và y (cm) (Điềukiện x > 0, y > 0)

Trang 24

≤ = ⇒ B = 3 22

1

x

+ + ≤ 3 + 2 = 5

⇒ Bmax = 5 khi x = 0

Vậy: Giá trị lớn nhất của B = 5 khi x = 0

Bài 5:

1 Vì ∆ABC cân tại A, M, P là điểm

chính giữa các cung nhỏ AB và AC nên

ta có:S BM = S MA = S AP =S PC

∠MPB = ∠PBC (Vì hai góc nội tiếp

chắn hai cung bằng nhau)

A

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCPM là hình thang cân

Ta có: N là điểm chính giữa cung nhỏ BC ⇒ BN = NC (3)

∆ABC cân tại A ⇒ AB = AC (4)

Từ (3) và (4) suy ra AN là đường trung trực của BC

⇒ A, O, N thẳng hàng ⇒ ∠ABN = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)2.Ta có:∠BIN=1

2(sđS BN + sđS AP)(Góc có đỉnh nằm trong đường tròn) (5)

Trang 25

⇒ ∠EIN = 1800 - ∠EBN = 900 ⇒ EI ⊥ AN (8)

Mặt khác: BC ⊥ AN (9) (Vì AN là đường trung trực của BC)

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên:

Trong ∆SOH vuông tại O ta có:

B A

2 Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD (1)

SO là đường cao của hình chóp nên SO ⊥ AC (2)

Trang 26

x x

Trang 27

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

2 x1, x2 là hai nghiệm của phương trình nên: 1 2 2

Giải ra ta được: m 1 = 1 ; m 2 = -3 (không thoả mãn)

Nếu m < 0 Phương trình (*) trở thành: 2m2 = 6 ⇔ =m 3 (loại) hoặc m= − 3

Vậy để x12 + x22 = 6 thì m = 1 hoặc m= − 3

Bài 4:

1 Ta có: ∠ADB = ∠AHB = 900

⇒ A, D, H, B cùng thuộc đường tròn đường tâm O đường kính AB Hay tứ giác

ADHB là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn

Trong đường tròn (O,

2

BC

) ta có: ∠HDB = ∠HAB (Cùng chắn cung BH) (1)Mặt khác ∠HAB = ∠HCA (Cùng phụ với ∠ABC) (2)

Trang 28

A B

2 Vì ∠ABD = ∠DBF nên trong đường tròn (O,

2

BC

) ta có: S AD = S DH hay D làđiểm chính giữa cung AH

⇒ OD ⊥ AH

Vì OD // BC (Cùng vuông góc với AH)

⇒ ∠ODH = ∠DHC (so le trong) (3)

Mặt khác: ∆OHD cân tại O nên ∠ODH = ∠OHD (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ∠OHD = ∠DHC

⇒ HD là phân giác góc OHC

Trang 29

a a

Trang 30

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2 Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ta có: 1 2

N M

H K

C

B A

1 Ta có: ∠AKB = ∠AHB = 900

⇒ A, B, H, K cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác AKHB nội tiếp.

Trong đườn tròn (O) ta có: ∠ABC = ∠ACN (1) (Góc nội tiếp và góc tạo bới tia tiếptuyến và dây cung cùng chắn một cung)

Ta lại có: ∠ABC = ∠HKC (2) (Cùng bù với góc AKH )

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ACN =∠HKC ⇒ KH // NP (3)

Mà: KN // HP (Cùng vuông góc với d) (4)

Mặt khác: ∠KNP = 900 (5)

Từ (3), (4), và (5) ta có: tứ giác HKNP là hình chữ nhật (Hình bình hành có một gócvuông)

2 Ta có: ∠AMC = 900 (AM ⊥ d), ∠AHC = 900 (AH ⊥ BC)

Định dạng
Số trang	61
Dung lượng	2,3 MB