KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: Giải phương trình sau: 2 2 x 2 x 4x x x 4 + − = + Câu 2: 1. Giả sử 2 2 1 2x 2 A ; B 4x 4x 1 x 2x 1 − = = + + − + . Xác định x ∈ Z để 2A B C 3 + = nhận giá trị nguyên. 2. Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² – x – 1 = 0. Chứng minh rằng P(n) = a n + b n +a n+2 + b n+2 là những số nguyên và chia hết cho 5 với mọi số nguyên dương n. Câu 3: Cho tam giác ABC, đường cao CH (H thuộc AB). Gọi CM, CN (M, N đều thuộc AB) lần lượt là phân giác các góc ACH, góc BCH. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN trùng tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng ABC AN.BM S 2 ∆ = . Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE; trung tuyến AM. Qua A kẻ các đường thẳng song song với CE và BD cắt BD và CE thứ tự tại P và Q. Gọi K là giao điểm của AM và PQ. Chứng minh APDK tứ giác nội tiếp. Câu 5: Cho xy > 0 và x³ + y³ + 3(x² + y²) + 4(x + y) + 4 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 Q x y = + . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1. Cho 2 2 2 2 a a 4a a a 4a P a a 4a a a 4a + − − − = − − − + − 1. Tìm điều kiện của a để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P. 2. Tìm a để P 5 < . Câu 2. Cho đa thức f(n) = n 5 – 5n³ + 4n với n nguyên dương. Chứng minh rằng f(n) chia hết cho 120 với mọi giá trị nguyên dương của n. Câu 3. Giải phương trình: 2 7 x x 1 x 6x 13− + + = − + . Câu 4. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 5b a 5c b 5a c ab 3b bc 3c ca 3a − − − + + + + + ≤ a + b + c. Câu 5. Cho hình thoi ABCD có Â = 120°. Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15° và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh: 2 2 2 1 1 4 AM AN 3AB + = . Câu 6. Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc vói đường thẳng CD. Chứng minh rằng nếu AD//CB thì đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: Giải phương. + 4(x + y) + 4 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 Q x y = + . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1. Cho 2