Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT Lạng Giang số 1

S Ở GIÁO DỤ C & ĐÀO T ẠO BẮ C GIANG TR ƯỜNG THPT LẠ NG GIANG SỐ 1 ––––––––––––––––––– ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TH Ử L Ầ N 3 K Ỳ THI THPT QU Ố C GIA N ă m h ọ c 2014 – 2015 Môn: Toán lớp 12 Thờ i gian làm bài 180 phút Câu 1 (2,0 đ iể m). Cho hàm s ố 21 1 x y x + = − . 1) Khả o sát sự bi ến thiên và v ẽ đồ thị (C) c ủa hàm s ố đã cho. 2) Xác đị nh tọa độ các giao điể m củ a đồ th ị ( C) vớ i đường thẳ ng 3 y x= + . Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuyến c ủa ( C ) tạ i m ỗ i giao đ i ểm v ừ a tìm được. Câu 2 (1,0 điể m ). 1) Gi ải bấ t ph ương trình ( ) 2 33 log 2log 3 1 0xx−−< . 2) Tìm giá tr ị lớ n nhấ t và giá trị nh ỏ nhấ t của hàm s ố ( ) ( ) 2ln f xx x=− trên đ o ạ n [ ] 2;3 . Câu 3 (1,0 đi ểm ). Tính tích phân () 1 2 0 1 x I xedx=+ ∫ . Câu 4 (1,0 đ iể m). 1) Gi ải ph ương trình 2 tan 2cos2 cos sin 1 cos3 1tan x x xx x x =+−− + . 2) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. Tính xác suấ t để hai s ố đượ c chọ n có chữ s ố hàng đơ n vị giống nhau. Câu 5 (1,0 điể m ). Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình vuông cạ nh a , 13 2 a SD = . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn AB. Gọi I là trung điểm của đoạn AD . Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD và tính khoả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳng HI , SD theo a . Câu 6 (1,0 đ iểm ). Trong không gian v ới hệ t ọa độ Oxyz , cho đi ểm ( ) 2; 3; 0A − và m ặt phẳ ng ( P) có ph ương trình 22 10xyz++−= . Viế t ph ươ ng trình m ặt ph ẳ ng đ i qua hai đ iể m O , A và vuông góc v ớ i (P ). Tìm tọ a độ đi ểm M thuộc tr ụ c Oz sao cho AM song song v ới ( P). Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Gọi M và N lần lượt là trung đ iể m của CD và BI. Tìm t ọa độ các đ iể m B, C, D biế t ( ) 1; 2A , đường thẳng MN có phương trình 220xy−−= và điểm M có tung độ âm. Câu 8 (1,0 điể m ). Giải hệ phương trình () 4432 322 2220 ,. 38 2 9 xy x y y y xy yy x x ⎧ −+−−+= ⎪ ∈ ⎨ −−=− + ⎪ ⎩ \ Câu 9 (1,0 đ i ểm). Cho ,,abc là các số thự c dươ ng. Chứng minh r ằng: () 2 2 33 8 1 2 28 22 3 abc ab bc bac +≥ + + + ++ +++ . –––––––Hết –––––– Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: 68 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ LẦN 3 KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015 CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Câu 1 (2 điểm) 1) (1 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 21 1 x y x + = − * Tập xác định: { } \1D = \ * Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: () 2 3 0 1 yxD x − ′ =<∀∈ − Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ;1 − ∞ và ( ) 1; + ∞ . 0,25 + Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị. + Giới hạn, tiệm cận: 11 lim , lim xx yy +− →→ =+∞ =−∞ ( ) C⇒ có tiệm cận đứng là đường thẳng 1 x = . lim lim 2 xx yy →+∞ →−∞ == ( ) C⇒ có tiệm cận ngang là đường thẳng 2y = . 0,25 + Bảng biến thiên: 0,25 * Đồ thị: 0,25 2) (1 điểm) Xác định tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng 3 y x=+ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm vừa tìm được. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng 3 y x = + là: 21 32 1 x xx x + =+⇔=± − 0,25 Các giao điểm của (C) và đường thẳng 3 y x = + là ( ) 2;5A và ( ) 2;1B − . 0,25 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A: 311yx = −+ 0,25 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại B: 11 33 yx = −+ 0,25 Câu 2 (1 điểm) 1) (0,5 điểm) Giải bất phương trình ( ) 2 33 log 2log 3 1 0xx − −< . () 22 33 33 3 log 2log 3 1 0 log 2log 3 0 1 log 3xx xx x− −<⇔ − −<⇔−< < 0,25 1 27 3 x⇔<< . Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng 1 ;27 3 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 2) (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )( ) 2ln f xx x=− trên đoạn [ ] 2;3 . () ( ) 1ln, 0 f xxfxxe ′′ =− = ⇔ = , [ ] 2;3e ∈ 0,25 () ( )() 242ln2, ,363ln3ffeef=− = =− . Vì vậy: [] ( ) ( ) 2;3 min 2 4 2ln 2,fx f==− [] ( ) ( ) 2;3 max f xfee = = . 0,25 Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân () 1 2 0 1 x I xedx=+ ∫ . Ta có () 111 22 000 1 xx I xedxxdxxedx=+ = + ∫∫∫ , 1 2 1 0 1 1 0 22 x Ixdx = == ∫ . 0,25 Tính 1 2 2 0 x I xe dx= ∫ : Đặt 2 2 1 2 x x du dx ux ve dv e dx = ⎧ = ⎧ ⎪ ⇒ ⎨⎨ = = ⎩ ⎪ ⎩ . Suy ra 1 22 2 0 1 11 0 22 xx I xe e dx = −= ∫ 0,25 2 22 11 11 1 00 24 4 xx e xe e + =−= . 0,25 Vậy 22 12 113 24 4 ee II I ++ =+=+ = . 0,25 Câu 4 (1 điểm) 1) (0,5 điểm) Giải phương trình 2 tan 2cos2 cos sin 1 cos3 1tan x x xx x x =+−− + (1). Điều kiện: ()() cos 0 * 2 xxmm π π ≠⇔≠ + ∈] . Với điều kiện ( ) * ta có: () () 2 sin cos 1 cos3 cos sin 1 cos3 sin cos cos sin 1 1 cos x x x xx x xxxx x ⇔=++−−⇔ =+− 0,25 ()( ) () () () () ˆ 2 , khong t/m * sin 1 2 1sin 1cos 0 cos 1 2 , t/m * xkk x xx x xk k π π π ⎡ =+ ∈ = ⎡ ⎢ ⇔− − =⇔ ⇔ ⎢ ⎢ = ⎣ =∈ ⎢ ⎣ ] ] Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2,xk k π = ∈] . 0,25 2) (0,5 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau. S có 90 phần tử. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ S, số cách chọn là 2 90 4005C = cách. 0,25 Chọn hai số có chữ số hàng đơn vị giống nhau: + Có 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số 0, 1, 2, , 9). + Có 2 9 C cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số 1, 2, , 9). Do đó, số cách chọn hai số từ S có chữ số hàng đơn vị giống nhau là 2 9 10. 360C = . Vậy xác suất cần tính là 360 8 4005 89 P == . 0,25 Câu 5 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 13 2 a SD = . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn AB. Gọi I là trung điểm của đoạn AD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HI, SD theo a . () SH ABCD SH HD⊥⇒⊥ () 22 22 22 22 2 2 13 22 44 aa SH SD HD SD HA AD a a SH a ⎛⎞ =− =− + = −+=⇒= ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 3 2 . 11 2 .2. 333 S ABCD ABCD a VSHSaa=== . 0,25 + HI // BD ⇒ HI // (SBD) ( ) ( ) ( ) () () d HI,SD d HI, SBD d H, SBD⇒= = (1) + Kẻ , H KBDHQSK ⊥ ⊥ . Chứng minh được ( ) ( ) ( ) , H QSBD dHSBD HQ⊥⇒ = (2) 0,25 + n 0 2 .sin .sin 45 24 aa HK BH HBK=== + 2 2222 2 1111117 22 8 a H QSHHK a a =+ =+= 34 17 a HQ⇒= (3) Từ (1), (2), (3) suy ra () 34 17 a dHI,SD= . 0,25 Câu 6 (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( ) 2; 3; 0A − và mặt phẳng (P) có phương trình 22 10xyz++−= . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm O, A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho AM song song với (P). (P) có vectơ pháp tuyến () 2;2;1 P n = G . Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua O, A và vuông góc với (P). ⇒ (Q) nhận () ,3;2;10 QP nnOA ⎡⎤ ==− ⎣⎦ JJJG GG làm vectơ pháp tuyến. 0,25 (Q) đi qua () 0; 0; 0O và có vectơ pháp tuyến ( ) 3; 2; 10 Q n =− G nên (Q) có phương trình: 32100xy z + −= 0,25 M thuộc trục Oz ⇒ () 0;0; M m . Do AM song song với (P) nên ta có .n 0 P AM = J JJJG G G 0,25 () 2 .2 3.2 .1 0 2mm⇔− + + = ⇔ =− . Vậy ( ) 0;0; 2M − . 0,25 Câu 7 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BI. Tìm tọa độ các điểm B, C, D biết ( ) 1; 2A , đường thẳng MN có phương trình 220xy−−= và điểm M có tung độ âm. + Gọi J là trung điểm của AI ⇒ DMNJ là hình bình hành.Xét tam giác ADN có J là giao điểm của hai đường cao AI và NJ nên J là trực tâm, do đó A NDJ ANMN ⊥ ⇒⊥ ⇒ N là hình chiếu của A trên MN. Tìm được ( ) 2; 0N . + ADMN là tứ giác nội tiếp n n 0 45AMN ADN⇒== A MN⇒Δ vuông cân tại N. Từ M MN∈ và 5MN AN== tìm được M có tọa độ là () 4; 1 hoặc ( ) 0; 1 − . Do M có tung độ âm nên ( ) 0; 1M − 0,25 + Gọi K AM BD = ∩ ⇒ K là trọng tâm A DCΔ ⇒ 2 3 A KAM= J JJG JJJJG . Tìm được 1 ;0 3 K ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ . + 1 2 NI BI = và 1 3 K IDI= ⇒ 3 5 NI NK = JJG JJJG . Từ đó tìm được ( ) 1; 0I . 0,25 + I là trung điểm của AC nên tìm được () 1; 2C − 0,25 + M là trung điểm của CD nên tìm được ( ) 1; 0D − + I là trung điểm của BD nên tìm được () 3; 0B . 0,25 Câu 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình ( ) () 4432 322 22201 38 2 9 2 xyxy yy yy x x ⎧ −+−−+= ⎪ ⎨ −−=− + ⎪ ⎩ () ( ) () 42 42 2 12 10 1 y yxy xy = ⎡ ⇔− +−=⇔ ⎢ + = ⎣ 0,25 + Với 2 y = : thay vào (2) đượ c ph ươ ng trình 22 2 2 629296xx x x− = − +⇔ += + ()() 2 22 42 49 6 80 0 xx xxx ⇔+=+⇔+=⇔= 0,25 + V ớ i 42 1 xy +=: suy ra 11,11 xy −≤ ≤ −≤ ≤ . Xét hàm số () [ ] 3 38, 1;1fy y y y=−− ∈− và hàm số () [] 22 29, 1;1 gx x x x =− + ∈− . Tìm đượ c [] () ( ) 1;1 max 1 6 fy f − =−=− và [] ( ) ( ) 1;1 min 0 6 gx g − = =− . 0,25 Tứ c là ta có: [] [] 322 3 8 6 2 9 , 1;1 , 1;1 yy x x x y −−≤−≤− +∀∈− ∀∈− . Từ đó: () 0 2 1 x y = ⎧ ⇔ ⎨ = − ⎩ . V ậy h ệ ph ươ ng trình đ ã cho có 2 nghiệ m là ( ) 0; 2 và ( ) 0; 1− . 0,25 Câu 9 (1 đi ểm) Cho ,, abc là các s ố th ự c d ươ ng. CMR: () 2 2 33 8 1 2 28 22 3 abc ab bc bac +≥ + + + ++ +++ Ta ch ứng minh () 2 2 33 8 1 0 2 28 22 3 P abc ab bc bac = +− − ≥ ++ ++ +++ . () 33 82.2 2 2 28 bc b c b c abc ab bc =≤+⇒ ≥ + + ++ 0,25 () () () 2 2 2 2 88 22 3 22 3 bacbac abc bac − − ++≥++⇒ ≥ + ++ +++ Do đó: () () 338 1 138 223 223 P abc abc abc abc abc ≥+−−=+− ++ +++ ++ ++ +++ 0,25 Đặt ,0xabcx=++ >. Ta có 13 8 22 3 P xx ≥+− + . Xét () 13 8 ,0 22 3 fx x xx = +− > + . Ta có () () ( )( ) () 22 2 2 3153 18 2 323 xx fx x xxx − + ′ =− + = ++ . Bảng biến thiên của () f x : 0,25 T ừ bả ng biế n thiên của () f x suy ra ( ) 0, 0 fx x≥∀> . Do đó 0P ≥ , suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi 11 , 42 ac b== =. 0,25 –––––––HẾT–––––––– . dụng tài liệu. Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: 68 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ LẦN 3 KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015 CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM