Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT Thủ Đức

SGD&THCHMINH TRNGTHPTTHC THITHTHPTQUCGIANM2015 Mụn:TON Thigianlmbi:180phỳt,khụngkthigiangiao Cõu1(2im).Chohms ( ) ( ) 3 2 2 3 1y f x x x C = = - + + a)Khosỏtsbinthiờnvv th (C)cahms. b)Vitphngtrỡnhtiptuynca(C),bithonhtipimlnghimcaphngtrỡnh ( ) '' 0f x = . Cõu2a)Cho 4 cos , 0 5 2 p a a ổ ử = - < < ỗ ữ ố ứ .Tớnhgiỏtr biuthc sin cos 4 4 A p p a a ổ ử ổ ử = - + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . b)Chos phc 3 2z i = - .Tỡmphnthcvphn ocasphc w iz z = - . Cõu3(0.5im).Giiphngtrỡnh 2 2 5 0, x x e e x R - + - = ẻ . Cõu4(1im). Tớnhtớchphõn 1 1 ln e I x xdx x ổ ử = + ỗ ữ ố ứ ũ . Cõu5(0.5im).TrongcucthiRungchuụngvng,iThccú20bnltvovũngchung kt,trongúcú5bnnv15bnnam.spxpvtrớchi,bantchcchiacỏcbnthnh4 nhúmA,B,C,D,minhúmcú5bn.Vicchianhúmcthchinbngcỏchbcthmngu nhiờn.Tớnhxỏcsut 5bnnthuccựngmtnhúm. Cõu6(1im). TrongkhụnggianchohỡnhchúpS.ABCD,tgiỏcABCDlhỡnhthangcõn,hai ỏylBCvAD.Bit 2, 2 ,SA a AD a AB BC CD a = = = = = .HỡnhchiuvuụnggúccaStrờn mtphngABCDtrựngvitrungimcnhAD.TớnhtheoathtớchkhichúpS.ABCDv khongcỏchgiahaingthngSBvAD. Cõu7(1im). TrongmtphngOxy,chotamgiỏcABCcútõmngtrũnngoitiptamgiỏc ABCl ( ) 21I - vthamón iukin ã 90AIB = .ChõnngcaoktAnBCl ( ) 1 1D - - . ngthngACqua ( ) 14M - .TỡmtacỏcnhA,BbitnhAcúhonh dng. Cõu8(1im). TrongkhụnggianvihtaOxyzchohaiim ( ) ( ) 1 12 , 30 4A B - - vmt phng(P) : x 2 y 2z 5 0 - + - = .TỡmtagiaoimcangthngABvmtphng(P).Vit phngtrỡnhmtphngchangthngABvvuụnggúcvimtphng(P). Cõu9(1im).Giihphngtrỡnh ( ) 2 2 3 5 4 4 2 1 1 x xy x y y y x R y x y x ỡ + + - - = + ù ẻ ớ - - + - = - ù ợ Cõu10(1im).Choa,b,clcỏcsdngv 3a b c + + = .Tỡmgiỏtrlnnhtcabiuthc 3 3 3 bc ca ab P a bc b ca c ab = + + + + + . 67 CÂU ĐÁPÁN ĐIỂM 1 a Tậpxácđịnh D R = 0,25 = - + 2 ' 6 6y x x é = = Û ê = ë 0 ' 0 1 x y x ®-¥ ®+¥ = +¥ = -¥ lim ; lim x x y y 0,25 -¥ +¥ - + - +¥ -¥ 0 1 ' 0 0 2 1 x y y 0,25 Hàmsố đồngbiếntrênkhoảng ( ) 0;1 . Hàmsố nghịchbiếntrênkhoảng ( ) ( ) -¥ +¥ ;0 ; 1; . Hàmsố đạtcựcđạitại = = 1, 2. CD x y Hàmsố đạtcựctiểutại = = 0, 1. CT x y Bảnggiátrị 1 1 0 1 2 2 3 6 1 2 3 2 x y - - 0,25 b Gọi ( ) 0 0 ;M x y làtiếpđiểmcủatiếptuyếnvà(C). 0,25 2 ( ) '' 12 6f x x = - + ( ) = - + = = ị = 0 0 0 0 '' 0 12 6 0 1 3 2 2 f x x x y 0,25 ( ) 0 1 3 ' ' 2 2 f x f ổ ử = = ỗ ữ ố ứ 0,25 PhngtrỡnhtiptuyntiMcúdng 3 1 3 2 2 2 3 3 2 4 y x x ổ ử = - + ỗ ữ ố ứ = + 0,25 a 2 2 2 2 2 sin cos 1 sin 1 cos 4 9 1 5 25 3 sin 5 a a a a a + = = - ổ ử = - = ỗ ữ ố ứ = Vỡ 0 2 p a - < < nờn 3 sin 5 a = - . 0,25 ( ) sin cos 4 4 1 sin 2 sin 2 2 1 2sin cos 1 2 49 50 A p p a a p a a a ổ ử ổ ử = - + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ộ ự ổ ử = + - ỗ ữ ờ ỳ ố ứ ở ỷ = - = - 0,25 b 3 2z i = + 0,25 ( ) ( ) 3 2 3 2 1 w i i i i = - - + = - + Phnthcl1 Phn ol1. 0,25 3 - + - = - + = 2 2 2 5 0 2 5 2 0. x x x x e e e e t x e , 0t t = > .Phngtrỡnhtrthnh 0,25 é = ê - + = Û ê = ê ë 2 2 2 5 2 0 1 2 t t t t é é = = ê ê Û Û ê ê = = ê ê ë ë x x ln2 e 2 1 1 ln e 2 2 x x 0,25 4 a 1 1 ln e I x xdx x æ ö = + ç ÷ è ø ò 1 2 1 1 1 ln ln e e x xdx xdx I I x = + = + ò ò 0,25 1 1 ln e I x xdx = ò Đặt 1 lnu x du dx x = Þ = dv xd x = chọn 2 2 x v = 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ln 2 2 1 2 4 4 4 e e e x I x xdx e x e = - = - = + ò 0,25 2 1 1 ln e I xdx x = ò Đặt 1 lnt x dt dx x = Þ = Đổicận 1 0 1 x e t 1 1 2 2 0 0 1 2 2 t I tdt = = = ò 0,25 2 1 2 3 4 4 e I I I = + = + 0,25 5 Có 5 5 5 5 20 15 10 5 ( )n C C C C W = cáchchia20bạnvào4nhóm,mỗinhóm5bạn. 0,25 GọiAlàbiếncố“5bạnnữvàocùngmộtnhóm” 0,25 Xét5bạnnữthuộcnhómAcó 5 5 5 15 10 5 C C C cáchchiacácbạnnamvàocácnhómcònlại.Dovaitrò cácnhómnhưnhaunêncó 5 5 5 15 10 5 4 A C C C W = Khiđó 5 20 4 (A)P C = 6 I A D B C S Tacó 2 3 3 3 4 ABCD ABI a S S = = Xét SBI D vuôngtạiIcó: 2 2 2 2 .SI SB BI a SI a = - = Þ = 3 . 1 3 . (dvtt) 3 4 S ABCD ABCD a V SI S = = 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 3 , ,(SBC) I,(SBC) SIBC SBC AD BC AD SBC BC SBC V d AD BC d AD d S ü ï Þ ý Ì ï þ Þ = = = P P 0,25 ( )( )( ) 3 3 . 2 1 1 3 3 3 3 4 12 7 4 ISBC S ABCD SBC a a V V a S p p a p b p c = = = = - - - = 0,25 Vậy ( ) 21 , 7 a d AD SB = 0,25 7 ã ã 90 45AIB BCA = ị = hoc ã 135BCA = Suyra ã 45CAD ADC = ị D cõntiD. Tacú DI AC ^ Khiúphngtrỡnh ngthngACcúdng: 2 9 0x y - + = . 0.25 ( ) ( ) 2 9 , 8 2 1A a a AD a a - = - - - uuur ( ) 2 2 40 6 5 0 1 5 15 (n) AD a a a a A = - + = = ộ ờ = ở ị 0.25 PhngtrỡnhBD: 3 4 0x y + + = PhngtrỡnhBI: 3 4 5 0x y + + = 0.25 ( ) 2 2B BI BD B = ầ ị - . 0.25 8 ( ) 21 6AB = - uuur lvtcpcangthngAB. PttsAB: ( ) 1 2 1 2 6 x t y t t R z t = + ỡ ù = - + ẻ ớ ù = - ợ 0.25 GiMlgiaoimcaABv(P).Khiú ( ) 1 2 1 2 6M t t t + - + - . ( ) ( ) ( ) (P) 1 2 2 1 2 2 6 5 0 1 6 M t t t t ẻ ị + - - + + - - = = 4 5 1 3 6 M ổ ử ị - ỗ ữ ố ứ 0.25 Vtpt ( ) ( ) ( ) , 10 10 5 . Q P n AB n ộ ự = = - - - ở ỷ r uuur r 0.25 ( ) : 2 2 2 0.Q x y z + + - = 0.25 9 k: 2 2 0 4 2 0 1 0 xy x y y y x y ỡ + - - ù - - ớ ù - ợ Tacú(1) ( )( ) 3 1 4( 1) 0x y x y y y - + - + - + = 0.25 Đặt , 1u x y v y = - = + ( 0, 0u v ³ ³ ) Khiđó(1)trở thành: 2 2 3 4 0u uv v + - = 4 ( ) u v u v vn = é Û ê = - ë Với u v = tacó 2 1x y = + ,thayvào(2)tađược: 2 4 2 3 1 2y y y y - - + - = ( ) ( ) 2 4 2 3 2 1 1 1 0y y y y Û - - - - + - - = 0.25 ( ) 2 2 2 2 0 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y y - - + = - + - - + - ( ) 2 2 1 2 0 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y æ ö ç ÷ Û - + = ç ÷ - + - - + - è ø 0.25 2y Û = (vì 2 2 1 0 1 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y Û + > " ³ - + - - + - ) Với 2y = thì 5x = .ĐốichiếuĐktađượcnghiệmcủahệPTlà ( ) 5; 2 0.25 10 Vìa+b+c=3tacó 3 ( ) ( )( ) bc bc bc a bc a a b c bc a b a c = = + + + + + + 1 1 2 bc a b a c æ ö £ + ç ÷ + + è ø VìtheoBĐTCôSi: 1 1 2 ( )( ) a b a c a b a c + ³ + + + + ,dấuđẳngthứcxảyra Ûb=c 0,25 Tươngtự 1 1 2 3 ca ca b a b c b ca æ ö £ + ç ÷ + + + è ø và 1 1 2 3 ab ab c a c b c ab æ ö £ + ç ÷ + + + è ø 0,25 SuyraP 3 2( ) 2( ) 2( ) 2 2 bc ca ab bc ab ca a b c a b c a b c + + + + + £ + + = = + + + , 0,25 Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhia=b=c=1.VậymaxP= 3 2 khia=b=c=1. 0,25 . ợ Cõu10(1im).Choa,b,clcỏcsdngv 3a b c + + = .Tỡmgiỏtrlnnhtcabiuthc 3 3 3 bc ca ab P a bc b ca c ab = + + + + + . 67 CÂU ĐÁPÁN ĐIỂM 1 a Tậpxácđịnh D R = 0,25 = - + 2 ' 6 6y x x é = = Û ê