SỞ GD & ĐT NGHỆ AN *** - 2015 Thời gian làm bài: 180 phút (2,0 điểm). Cho hàm số m xx m xy 9 ) 1( 3 2 3 (1), với m là tham số thực. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1 m . b. Tìm giá trị của m để hàm số (1) đạt cực trị tại 21 , xx sao cho 12 4 xx . (1,0 điểm). Giải phương trình: sin3 2 1 2sin . 2 x cos x xcos x (1,0 điểm). Giải phương trình: ( 3) 1 log 3 1 2 x x 4 (1,0 điểm). a. Tìm hệ số của 3 x trong khai triển 12 32x . b. Một lô hàng có 10 sản phẩm cùng loại, trong đó có 2 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 6 sản phẩm. Tính xác suất để có nhiều nhất một phế phẩm. (1,0 điểm). Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x 0;1 3 : 2 2 2 1 2 0m x x x( x) 6 (1,0 điểm). Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4a. Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm H và K sao cho 3BH HA và 3DAK K . Trên đường thẳng (d) vuông góc với (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho 0 30 SBH . Gọi E là giao điểm của CH và BK. a. Tính thể tích khối chóp S.BHKC b. Chứng minh các điểm , , , , S A H E K nằm trên một mặt cầu và tính thể tích của khối cầu đó. 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có ( 6; 6)D . Đường trung trực của đoạn DC có phương trình 1 :2 3 17 0 xy và đường phân giác của góc BAC có phương trình 2 :5 3 0 xy . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD . 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 2 2 2 2 16 9 (2 )(4 3) 4 2 3 x y y xy y xy x y xy y 9 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực không âm và thỏa mãn 3abc .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 2 2 2 2 2 2 2( ) 27 3( ) 6( )P ab bc ca a b c a b c ab bc ca Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………; Số báo danh:…………………… 65 ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT ĐH-CĐ NĂM HỌC 2014-2015 CÂU NỘI DUNG CHÍNH ĐIỂM Câu 1a Với 1m ta có 196 23 xxxy . * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên Chiều biến thiên: )34(39123' 22 xxxxy ; ' 0 1 3y x x 0,25 Các khoảng đồng biến )1,( vµ ),3( ; khoảng nghịch biến ).3,1( Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1x và 3)1( yy CD ; đạt cực tiểu tại 3x và 1)3( yy CT . Giới hạn: yy xx lim;lim . 0,25 Bảng biến thiên: x 1 3 y ’ + 0 - 0 + y 3 -1 0,25 * Đồ thị: 1 2 3 4 -1 1 2 3 x y O 0,25 Câu 1b Ta có .9)1(63' 2 xmxy Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 21 , xx phương trình 0'y có hai nghiệm pb là 21 , xx 0,25 03)1(2 2 xmx có hai nghiệm phân biệt là 21 , xx . 31 31 03)1(' 2 m m m )1( 0,25 +) Theo định lý Viet ta có .3);1(2 2121 xxmxx Khi đó 22 1 2 1 2 1 2 4 4 16 4 1 12 16x x x x x x m 2 17 ( 1) 7 (2) 17 m m m 0,25 Từ (1) và (2) suy ra giá trị của 1 7; 1 7mm 0,25 Câu 2 Phương trình sin3 2 1 sin3x cos x x sinx 0,25 2 2sin 0x sinx 0,25 sin 1 s 2 x=0 inx Với sin 0 ( )x x k k Z 0,25 Với 2 1 6 sin ( ) 5 2 2 6 xk x k Z xk Vậy phương trình có 3 họ nghiệm 2; 6 xk 5 2; 6 xk x k k Z 0,25 Câu 3 Điều kiện: 0 3 1 24 3 1 0 x x x 0,25 3 1 log 3 1 3 1 3 2 x x x x (1) . với 2 1:(1) 3 2x x x Giải phương trình trên được nghiệm 35 x 2 thỏa mãn và 35 2 x loại 0,25 . với 2 9 29 2 1 4:(1) 3 4 9x 13 0 9 29 2 x x x x x x kết hợp với miền đang xét suy ra 9 29 2 x thỏa mãn. 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm 35 x 2 hoặc 9 29 2 x 0,25 Câu 4 a. Ta có 12 12 12 12 0 3 2 .3 .( 2 ) k k k k x C x . Để số hạng tổng quát chứa 3 x thì k = 3. 0,25 Vậy hệ số của 3 x là 39 12 .3 .( 8) 34642080C . 0,25 b. Số cách chọn 6 sản phẩm từ 10 sản phẩm là 6 10 C Số cách chọn 6 sản phẩm mà không có phế phẩm là 6 8 C Số cách chọn 6 sản phẩm mà có đúng một phế phẩm là 51 82 .CC 0,25 Số cách chọn 6 sản phẩm mà có nhiều nhất 1 phế phẩm là 6 5 1 8 8 2 .C C C Xác suất cần tìm là: 6 5 1 8 8 2 6 10 . 2 3 C C C C 0,25 Câu 5 Đặt 2 t x 2x 2 dox [0;1 3] nên 1;2t 0,25 0,25 Bất phương trình trở thành: 2 t2 m t1 Khảo sát hàm số t g(t) t 2 2 1 với 1;2t Ta có: 2 2 22 0 1 tt g'(t) (t ) . Vậy t g(t) t 2 2 1 đồng biến trên 12; Và do đó: 2 ( ) (2) 3 Maxg t g 0,25 Từ đó: 2 t2 m t1 có nghiệm t [1,2] t m g t g 1;2 2 max ( ) (2) 3 Kết luận: 2 3 m 0,25 Câu 6 Tam giác SHB vuông tại H có 0 30SBH nên 0 S tan30 3H BH a Từ giả thiết 3a; ; 3a; DBH HA a AK K a 0,25 2 DD 25a 2 BHKC ABC AHK C K S S S S Thể tích khối chóp SBHKC là 3 . 1 25 3 . 36 S BHKC BHKC a V S SH E A B C D S H K 0,25 Ta có: 0 AD , D D 90AB A SH A SA SAK (1) SH AH nên 0 90SHK (2) 0 , ( ) 90CH BK BK SH BK SHE SEK (3) Từ (1) (2) và (3) suy ra 5 điểm S, A, H, E, K cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SK 0.25 Ta có: 2 2 2 2 2 2 S 3a 10a 13a 3K SH HK SK a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHEK là 3 3 4 13 13 13 . 3 2 6 aa V 0,25 Câu 7 Gọi I là trung điểm của CD, do 1 2 17 ( ; ) 3 a I I a nên 12 ( 6; ) 3 a DI a , đường thẳng 1 có VTCP 1 ( 3;2)u vì 1 . 0 4DI u a do đó ( 4; 3)I suy ra ( 2;0)C 0,25 Gọi C’ đối xứng với C qua 2 . Ta có phương trình CC’: x-5y+2=0 Gọi J là trung điểm của CC’. Tọa độ J là nghiệm hệ 5 2 0 11 ( ; ) 5 3 0 22 xy J xy nên ' (3;1)C 0,25 Đường thẳng AB qua C’ nhận DC làm VTCP có phương trình: 3x-2y-7=0 .\ Tọa độ A là nghiệm hệ: 3 2 7 0 (1; 2) 5 3 0 xy A xy 0,25 Do ABCD là hình bình hành nên AB DC suy ra (5;4) B Vậy (1; 2)A , (5;4)B , ( 2;0) C 0,25 Câu 8 3 3 3 2 2 2 2 2 16 9 (2 )(4 3) (1) 4 2 3 (2) x y y xy y xy x y xy y Xét 0, y thay vào (2) ta được: 0 3 0 y không thỏa mãn hệ phương trình. 0,25 Xét 0y ta có: 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 16 9 (2 1)(4 ) (3) 16 9 (2 )(4 3) 3 4 2 3 4 2 1 (4) x x x x y y xy y xy y x y xy y xx y 0,25 Thay (4) vào (3) ta được: 32 16 9 (2 1)(4 4 2 1) 1 x x x x x x 0,25 1 y Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: 1 1 x y 0,25 Câu 9 Ta có: 3 3 . . ab bc ca abbcca 2 2 2 3 27 ( ) a b c ab bc ca Lại có: 2 2 2 2 2 2 3( ) 3( ) a b c ab bc ca a b c ab bc ca 0,25 Do đó 33 ( ) 3( ) 3 ( ) P ab bc ca ab bc ca t t f t với 2 () 01 3 abc t ab bc ca 0,25 Ta có bảng bt của hàm số f(t) trên 0;1 0,25 Từ BBT ta có: 0;1 ax ( ) 2 t M f t khi t=1 Từ đó ta có GTLN của P bằng 2 khi 1 3 abc 0,25 Ghi chú: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. t 0 1 f’(t) + 0 f(t) 0 2 . thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………; Số báo danh:…………………… 65 ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT ĐH-CĐ NĂM HỌC 2014-2015 CÂU NỘI DUNG CHÍNH ĐIỂM Câu 1a Với 1m ta