ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LẦN II TOÁN KHỐI D TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC,THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2012,2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC Môn: TOÁN khối D - Năm học: 2012- 2013 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 2 3 1 x y x + = + có đồ thị là ( ) C . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho. b) Tìm m để đường thẳng : 1d y x m= + − cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có trọng tâm là điểm 2 4 ; 3 3 G   −     . Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình ( ) 2 2 sin 2 3 2 cos 2sin 3 sin cosx x x x x+ + − = + . Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình ( ) 2 4 6 4 2 7 1 x x x x x+ + = − + + ∈  . Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân ( ) 2 0 2sin 3 cos 2sin 1 x x I dx x − = + ∫ π . Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 3 ; 2AB a AD a= = . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho 2AH HB= . Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng o 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD theo a. Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 2 2 2 9( ) 8 xy x xy A y x + + = + . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có diện tích bằng 50, đỉnh ( ) 2; 5C − , 3 AD BC = . Biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm 1 ;0 2 M   −     , đường thẳng AD đi qua ( ) 3;5N − . Viết phương trình đường thẳng AB biết đường thẳng AB không song song với các trục tọa độ. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm ( ) 1;1;0I biết (S) cắt tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B sao cho 2AB = . Câu 9.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn 1 2z − = . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 2w z i= − . B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2 5 1 0d x y− + = , cạnh AB nằm trên đường thẳng ' :12 23 0d x y− − = . Viết phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua điểm M(3; 1). Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( ) 1;2;3A − và mặt phẳng ( ) : 2 2 0P x y z+ − + = . Đường thẳng d qua A cắt trục Ox tại điểm B, cắt mặt phẳng (P) tại điểm C sao cho 2 AC AB = . Tìm tọa độ của điểm B và điểm C. Câu 9.b (1,0 điểm). Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng. HẾT Cả m ơ n cô  ĐặngPhư ơ n gTâ m ( pta mtt @gm ail. com ) gửi tới www .lai sac. pag e.tl SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC Môn: TOÁN khối D - Năm học: 2012- 2013 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM • Tập xác định: \ {-1}D =  • Sự biến thiên: -Chiều biến thiên: ( ) 2 1 ' 0, 1 y x D x = − < ∀ ∈ + . Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;− +∞ . 0,25 -Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2 x x y y →+∞ →−∞ = = ; tiệm cận ngang là đường thẳng 2y = . 1 1 lim ; lim x x y y + − →− →− = +∞ = −∞ ; tiệm cận đứng là đường thẳng 1x = − . 0,25 -Bảng biến thiên: + ∞ ∞∞ ∞ - ∞ ∞∞ ∞ 2 2 y y' - - + ∞ ∞∞ ∞- ∞ ∞∞ ∞ -1 x 0,25 1a • Đồ thị: x y 0,25 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: ( )( ) 2 3 1 2 3 1 1 1 x x m x x m x x + = + − ⇔ + = + − + + (do 1x = − không là nghiệm) ( ) 2 2 4 0x m x m⇔ + − + − = (1) 0,25 d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ( ) ( ) 2 2 2 4 4 0 8 20 0, m m m m m ⇔ − − − > ⇔ − + > ∀ ∈  Vậy với mọi m, ta có d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. 0,25 2 2 2 ; 3 3 3 3 A B O A B O G G x x x y y y m m x y + + + + − = = = = 0,25 1b 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 3 G G m x m m y −   = − = −     ⇔ ⇔ =     = =     . Khi m = 4 thì O, A, B không thẳng hàng. Vậy m = 4 thỏa yêu cầu. 0,25 2 pt sin 2 3 2 cos 2sin 3 1 sin 2x x x x⇔ + + − = + 0,25 2 2 cos 3 2 cos 2 0x x⇔ − + = 0,25 cos 2 (v« nghiÖm) 2 cos 2 x x  =  ⇔  =   0,25 2 ( ) 2 4 x k k⇔ = ± + ∈  π π . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ( ) 2 4 x k k= ± + ∈ π π . 0,25 Điều kiện: 1x ≥ − . ( ) ( ) ( ) 2 pt 2 1 5 1 2 2 1 7 1x x x x⇔ − + + = − + + • 1x = − không thỏa mãn phương trình. 0,25 • 1x ≠ − , 2 2 1 2 1 pt 5 2. 7 1 1 x x x x − −   ⇔ + = +   + +   Đặt 2 1 1 x t x − = + thì phương trình trở thành: 2 5 2 7t t+ = + 0,25 2 7 2 2 3 28 44 0 t t t t  ≥ −  ⇔ ⇔ = −   + + =  . 0,25 3 • 1 2 1 2 7 2 2 2 1 1 2 2 1 2 7 2 x x x x x x x  ≤  − −  = − ⇔ + = − ⇔ ⇔ =  + ±  =   . Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là 2 7 2 x − = . 0,25 Đặt sint x= , suy ra cosdt xdx= . Đổi cận: 1 0 0 t x 0,25 Khi đó 1 1 0 0 2 3 4 1 2 1 2 1 t I dt dt t t −   = = −   + +   ∫ ∫ 0,25 ( ) 1 1 0 0 2 ln 2 1x t= − + 0,25 4 1 2 ln 3= − . 0,25 5 K H C A B D S Kẻ ( ).HK CD K CD⊥ ∈ Khi đó: ( ) . CD KH CD SHK CD SK CD SH ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Do đó góc giữa (SCD) và (ABCD) là  o 60 .SKH = 0,25 Trong tam giác vuông SHK: o tan 60 2 3.SH HK a= = Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 1 1 . .3 .2 .2 3 4 3. 3 3 SABCD ABCD V S SH a a a a= = = 0,25 Vì ( ) //SBC AD nên ( ) ( ) , ,( ) .d AD SC d A SBC= Trong (SAB) kẻ ,AI SB⊥ khi đó ( ) . BC AB BC SAB BC AI BC SH ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Mà AI SB ⊥ nên ( ).AI SBC⊥ 0,25 Vậy ( ) ( ) 2 2 . 2 3.3 6 39 , ,( ) . 13 12 SH AB a a a d AD SC d A SBC AI SB a a = = = = = + 0,25 2 4 2 22 2 1 9 9( ) 8 8 1 y y x x xy x xy A y x y x   + +   + +   = = +   +     . Đặt y t x = với 0t > thì 2 2 2 1 9 1 8 1 1 9 t t A t t t + + = = + + − . 0,25 Xét hàm số ( ) 2 1 9f t t t= + − với ( ) 0;t ∈ +∞ . Ta có ( ) 2 9 ' 1 1 9 t f t t = − + . ( ) 2 1 ' 0 1 9 9 6 2 f t t t t= ⇔ + = ⇔ = . 0,25 Bảng biến thiên: 1 + ∞ ∞∞ ∞ 0 f(t) t 0 + ∞ ∞∞ ∞ - + f'(t) Vậy giá trị nhỏ nhất của ( ) f t là 2 2 3 khi 1 6 2 t = . 0,25 6 Suy ra giá trị lớn nhất của A là 3 2 4 khi 1 6 2 6 2 y x y x = ⇔ = . 0,25 Vì AB không song song với các trục tọa độ nên gọi ( ) 1;n b=  là VTPT của AB. Suy ra VTPT của AD là ( ) ; 1n b= −  . AB: 1 0 2 x by+ + = ; AD: ( 3) ( 5) 0b x y+ − − = . 0,25 ( ) ( ) ( ) 1 50 ; 3 ; . ; 50 2 ABCD S d C AB d C AB d C AD   = ⇔ + =   ( ) ( ) ; . ; 25d C AB d C AD⇔ = . 2 2 5 5 5 10 3 4 2 . 25 ; ; 0 (lo¹i) 4 3 1 1 b b b b b b b − + ⇔ = ⇔ = − = = + + . 0,25 7a Vậy : 4 3 2 0; : 6 8 3 0AB x y AD x y− + = + + = 0,25 8a Gọi A(a;0;0) với a ≥ 0 và B(0;b;0) với b ≥ 0. 2 2 2 2AB a b= ⇔ + = (1) 0,25 ( ) ( ) 2 2 1 1 2 a b IA IB a b a b =  = ⇔ − = − ⇔  = −  0,25 • Với a = b, thay vào (1), ta được a = b = 1. Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 1 1S x y z− + − + = 0,25 • Với 2a b= − , thay vào (1), ta cũng được a = b = 1. Vậy phương trình mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 1 1S x y z− + − + = . 0,25 Gọi w x yi= + với ,x y∈  . Ta có 1 2 2 2 2 w i x y w z i z z i + + = − ⇔ = ⇔ = + . 0,25 Suy ra 2 1 1 2 2 x y z i − + − = + . 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 16 4 4 x y z x y − + − = ⇔ + = ⇔ − + + = . 0,25 9a Vậy tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm ( ) 2; 1I − và bán kính R = 4. 0,25 Gọi ( ) ;n a b=  với 0n ≠   là VTPT của AC, ta có: ( ) ( ) 2 2 2 5 145 cos ; cos ; 5 a b AC BC AB BC a b − = ⇔ = + . 0,25 2 2 12 9 100 96 0 8 9 a b a ab b a b = −   ⇔ − − = ⇔  =  0,25 • Với 12a b= − , chọn 1; 12b a= − = thì ( ) 12; 1n = −  suy ra AB//AC (loại). 0,25 7b • Với 8 9 a b= , chọn 9; 8b a= = thì ( ) 8;9n =  nên : 8 9 33 0AC x y+ − = . 0,25 Gọi ( ) ;0;0B b và ( ) ; ;C x y z . Vì A, B, C thẳng hàng và 2 AC AB = nên có hai trường hợp xảy ra là 2AC AB= −   hoặc 2AC AB=   . 0,25 • 2 3 2 6 9 x b AC AB y z = − −   = − ⇔ =   =    . • ( ) 1C P b∈ ⇔ = . Suy ra ( ) 1;0;0B và ( ) 5;6;9C − . 0,25 8b • 2 1 2 2 3 x b AC AB y z = +   = ⇔ = −   = −    . • ( ) 1C P b∈ ⇔ = − . Suy ra ( ) 1;0;0B − và ( ) 1; 2; 3C − − − . 0,25 0,25 Số phần tử của không gian mẫu là 4 16 1820CΩ = = . 0,25 Gọi B là biến cố “4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá 2 quả cầu màu vàng”. 0,25 Khi đó 1 3 1 1 2 1 2 1 4 5 4 7 5 4 7 5 . . . . . 740. B C C C C C C C CΩ = + + = 0,25 9b Xác suất của biến cố B là 740 37 ( ) 0, 41. 1820 91 B P B Ω = = = ≈ Ω 0,25 HẾT Ghi chú: Các cách giải khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa và điểm thành phần cũng được cho một cách tương ứng. Cảm ơncôĐặngPhươngTâm(ptamtt@gmail.com)gửitới www.laisac.page.tl . GIÁO D C VÀ ĐẠO TẠO THỪA THI N HUẾ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC Môn: TOÁN khối D - Năm học: 2012- 2013 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) CÂU NỘI DUNG. SỞ GIÁO D C VÀ ĐẠO TẠO THỪA THI N HUẾ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC Môn: TOÁN khối D - Năm học: 2012- 2013 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I 3= − . 0,25 5 K H C A B D S Kẻ ( ).HK CD K CD⊥ ∈ Khi đó: ( ) . CD KH CD SHK CD SK CD SH ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Do đó góc giữa (SCD) và (ABCD) là  o 60 .SKH = 0,25