ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT Năm học 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN (Khối D) Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ñiểm) Câu I (2 ñiểm ) Cho hàm số xxxy 96 23 +−= (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2. Tìm m ñể ñường thẳng mx y = cắt (C) tại ba ñiểm phân biệt O ( ) 0;0 ,A và B. Chứng tỏ rằng khi m thay ñổi, trung ñiểm I của ñoạn thẳng AB luôn nằm trên cùng một ñường thẳng song song với Oy. Câu II (2 ñiểm ) 1. Giải phương trình : 3tan22sin =+ xx 2. Giải bất phương trình : ( ) ( ) ( ) xxx 4log1log 4 1 3log 2 1 2 8 4 2 ≥−++ Câu III (1 ñiểm) Tìm giới hạn sau : 2 2 0 cos1 lim x xx x −+ → Câu IV (1 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tạị A, AB =AD=a, DC=2a , ,SA=a 3 (alà số dương cho trước ), hai mặt bên (SDC) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a . 2. G là trọng tâm của tam giác DBC . Tính khoảng cách từ G ñến mặt phẳng (SBC) Câu V (1 ñiểm) Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : mxxxx =+−−++ 11 22 B. PHẦN RIÊNG (3 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) Phần 1: Theo chương tình chuẩn Câu VI.a (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC. ðường trung tuyến qua ñỉnh B, ñường cao qua ñỉnh A và ñường trung trực của cạnh AB lần lượt có phương trình là 03 =+y , 012 =+− yx và 02 =++ yx .Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC . 2.Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) có phương trình 01562 22 =−+−+ yxyx . Viết phương trình ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ và cắt ñường tròn (C) tại hai ñiểm E, F sao cho EF có ñộ dài bằng 8 . Câu VII.a (1 ñiểm) Kí hiệu k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử ( , ;k n N k n∈ ≤ ). Tìm hệ số của 10 x trong khai triển nhị thức Niutơn của ( ) n x+2 , biết 12 20 12 2 12 1 12 −=+++ +++ n nnn CCC . Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho elip(E) có phương trình 1 1625 22 =+ yx . Tìm ñiểm M nằm trên elip(E) sao cho 21 4MFMF = , trong ñó 21 , FF lần lượt là các tiêu ñiểm trái, phải của elip(E). 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC ,cho biết ñỉnh C( ( ) 3;4 , ñường phân giác trong và ñường trung tuyến kẻ từ một ñỉnh của tam giác lần lượt có phương trình là 052 =−+ yx và 010134 =−+ yx .Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC . Câu VII.b (1 ñiểm) Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ngẫu nhiên 5 em ñể tham dự lễ mít tinh tại trường . Tính xác suất ñể kết quả thầy giáo chọn ñược là có cả nam và nữ . Hết SỞGD&ĐTQUẢNGNINH THPTCHUYÊNHẠLONG www.VNMATH.com ðÁ P ÁN VÀ BIỂU ðIỂM ðỀ T HI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT N ăm h ọc 2010 – 2011 M ôn thi : TOÁN ( khối D) Câu N ội dung ðiểm I 2 ñ’ 1 1ñ’ • * TX ð: R D = *S ự bi ến thiên . + ∞= + ∞→ yl im , − ∞= − ∞→ yl im . 9123' 2 +−= xxy , = = ⇔= 3 1 0' x x y • . H/s ñb trên các kho ản g ( ) ( ) + ∞∞− ;3,1; và nb trên kho ản g ( ) 3 ;1 .H/s có 4,1 == cñcñ yx v à 0,3 == c tct yx • . B ản g bi ến thiên: x ∞− 1 3 ∞+ 'y + 0 - 0 + y • *ð ồ th ị: ðt ñi qua các ñiểm O(0;0), A(4;4) , ñu ’U(2;2) 0 ,25 0,25 0,25 0,25 ∞− 4 0 ∞+ www.VNMATH.com 2 1ñ’ • Ptrình hoành ñộ giao ñiểm của ñường thẳng mx y = )(d và ñồ thị (C) là =−+− = ⇔=+− )2(096 0 )1(96 2 23 mxx x mxxxx • )(d cắt (C)tại 3 ñiểm phân biệt O(0;0),A,B ⇔ pt(1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ pt(2)có 2 nghiệm phân biệt 09 09 0' 0 >≠⇔ ≠− >∆ ⇔≠ m m x (*) • Với ñk(*)A,B là 2ñiểm có hoành ñộ lần lượt là BA xx , là 2 nghiệm của pt(2),I là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB nên hoành ñộ của I là 3 2 = + = BA I xx x • ∈ ⇒ I ∆ có pt là 3 = x , ∆ song song với oy khi m thay ñổi ( 09 > ≠ m ) 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1ñ • ðk: Cos x ≠ 0 (*) .Với ñk trên pt ñã cho ( ) 0tan122sin1 = − + − ⇔ xx • ( ) ( ) 0 cos 2 sincossincos0 cos sincos 2sincos 2 = +−−⇔= − +−⇔ x xxxx x xx xx • =+− =− ⇔ )2(0 cos 2 sincos )1(0sincos x xx xx • Lập luận ñể có pt(2)vônghiệm ,pt(1) có nghiệm Zkkx ∈+= , 4 π π thỏa mãn ñk(*) Vậy pt ñã cho có nghiệm là Zkkx ∈+= , 4 π π 0,25 0,25 0,25 0,25 II (2 ñ’) 2 1ñ’ • ðk: 01 04 01 03 >≠⇔ > ≠− >+ x x x x .V ới ðk trên bpt (1) ñã cho ( ) )4(log1log3log 222 xxx ≥−++⇔ • ( ) [ ] ( ) ( ) xxxxxx 41.34log1.3log 22 ≥−+⇔≥−+⇔ (2) • Nếu 1 > x (*):bpt (2) ⇔ ( ) ( ) xxx 413 ≥ − + −≤ ≥ ⇔ 1 3 x x kết hợp với (*) có 3 ≥ x • Nếu 0< x <1(**) :bpt(2) ( ) ( ) 323323413 −−≥≥+−⇔≥−+−⇔ xxxx kết hợp với (**) có 3230 +−≤< x .KL:T ập nghiệm của bpt (1) là ( ] [ ) +∞∪+−= ;3323;0S 0,25 0,25 0,25 0,25 III (1ñ’) • 22 2 2 2 cos111cos1 x x x x x xx − + −+ = −+ • = 2 2 2 2 2 2 sin 11 1 + ++ x x x 0,25 0,25 www.VNMATH.com • 0 lim →x 2 1 11 1 2 = ++x , 2 0 2 2 sin lim → x x x = 1 • 1 2 1 2 1cos1 lim 2 2 0 =+= −+ =⇒ → x xx x 0,25 0,25 VI (1ñ’) • Lập luận ñể có SD là chiều cao của chóp và tính ñược 2aSD = • Tính ñược diện tích ñáy 2 2 3 aABCD = và 2 2 3 . a V ABCDS = • Lập luận ñể có ( ) ( ) ( ) SBCGdSBCDd ,3),( = và chứng minh ñược hình chiếu của D trên mp )(SBC là H SB ∈ • Tính ñược ( ) 3 )(, a SBCGdaDH =⇒= 0,25 0,25 0,25 0,25 V (1ñ’) • pt(1) ñã cho có nghiệm ⇔ ðồ thị hàm số ( ) 11 22 +−−++== xxxxxfy và ñường thẳng m y = có ñiểm chung • .ðường thẳng m y = cùng phương với ox .Xét cbt c ủa hàm số ( ) 11 22 +−−++== xxxxxfy Txd : R D = 0,25 B A G M S D C H www.VNMATH.com ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rxyy VN x xx xxxxxx xx y xx x xx x y ∈∀>⇒>= ⇔ = −≤∨≥ ⇔ ++−=+−+ ≥−+ ⇔= +− − − ++ + = ,0'010' 0 2 1 2 1 112112 01212 0' 12 12 12 12 ' 2 2 2 2 22 • ⇒ HSy=f(x) ñồng biến và liên tục trên R lại có 1lim;1lim − = = −∞→+∞→ xx y • ⇒ PT ñã cho có nghiệm khi 11 < < − m 0,25 0,25 0,25 VIa (2ñ’) 1 1ñ’ • Có ( ) 12:)(12; = − ∆ ∈ + yxaaA Và ( ) 03:)(3; = + ∈ − ybB δ ( ) 42; −−−⇒ aabAB . ðường thẳng ( ) 02: = + + yxd có ( ) 1;1 −u là 1 véc tơ chỉ phương Gọi NABdN ⇒ ∩ = )( là trung ñiểm của cạnh AB , − + 1; 2 a ba N . • Ta có hệ • ( ) ( ) ( ) 3;5,3;1 5 1 042 021 2 0. )( −−⇒ −= = ⇔ =++− =+−+ + ⇔ = ∈ BA b a aab a ba uAB dN • Gọi ).3;5();( ++⇒ yxBCyxC Một véc tơ cp của )( ∆ là )2;1('u .Trung ñiểm của AC là ) 2 3 ; 2 1 ( + + yx M .Ta có hệ ⇔ =+++ =+ + ⇔ = ∂∈ 0)3(25 03 2 3 0'. )( yx y uBC M −= = 9 7 y x )9;7( − ⇒ C 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1 ñ’ • .Tìm ñược tâm Ivà bán kính R của ñtròn (C): I(1;-3) ,R=5 .ðường thẳng (d) qua O(0;0) có pt : 0 = + ByAx với 0 22 ≠+ BA • .Gọi H là trung ñiểm của ),()( dIdIHdIHEF = ⇒ ⊥ ⇒ .Lập luận ,tính dược 3 = IH • 3 3 3),(3 22 = + − ⇔=⇔= BA BA dIdIH =+ = ⇔⇔ 034 0 BA A • . THợp : 0 = A có pt (d) ; 0 = y . THợp : 034 = + BA cho 43 − = ⇒ = BA (tm) có pt (d) ; 043 = − yx *KL Có 2 ñường thẳng cần tìm : 0430 = − = yxvày 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa (1ñ’) • .Có 121212 12 1 12 0 12 2)11( +++ +++ =+=+++ nnn nnn CCC Với , , k n k n N ≤ ∈ • . 12 12 0 12 + ++ = n nn CC , n nn CC 2 12 1 12 ++ = , 12 12 2 12 − ++ = n nn CC 12 1212 − ++ = n n n n CC = ⇒ S 12 2 22 2 12 12 1 12 −= − =++ + ++ n n n nn CC (1) .Lại có 12 20 −=S (2) 0,25 0,25 www.VNMATH.com .Từ (1)và (2) ⇒ 10=n • ( ) kk k k xCx − = ∑ =+ 10 10 0 10 10 22 • Lập luận ñể có hệ số của 10 x là 12. 010 10 =C 0,25 0,25 VIb (2ñ) 1 1ñ’ • Từ gt có a=5,b=4 nên )0;3(),0;3(39 21 222 =−=⇒=⇒=−= FFcbac • Từ dịnh nghĩa elip ta có 10 21 =+ MFMF kết hợp với gt có 21 4MFMF = ∈⇒=⇒ MMF 1 2 ñường tròn tâm )0;3( 2 F bán kính R=2 : 4)3( 22 =+− yx • ðiểm M cần tìm có tọa ñộ là nghiệm của hệ =+− =+ 4)3( 1 1625 22 22 yx yx • Giải hệ có )0;5( 0 5 M y x ⇒ = = 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1ñ’ • Thấy )3;4(C không phải là ñiiểm thuộc ñường phân giác(d) và trung tuyến(t) ñã cho.Gọi )()( tdA ∩= ⇒ tọa ñộ A là nghiệm của hệ =−+ =−+ 010134 052 yx yx 07 5 3 5 4 :)2;9( =−+⇔ − − = − ⇒−⇒ yx yx ptACA .Gọi );( yxE là ñiểm ñối xứng của C qua (d) ABE ∈⇒ .Có )3;4( −− yxCE là 1 véc tơ pháp tuyến của(d)và trung ñiểm của )(dCE ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 057 1 1 7 2 : 1;2 053 2 4 0342 =++⇔ − + = − ⇒ −⇒ =−++ + =−−− ⇒ yx yx ptAB E y x yx • Gọi );( 00 yxB .Trung ñiểm của )(tBC ∈ và ABB ∈ nên ta có 0208 2 1 16 12 :)1;12( 010 2 3 13 2 4 4 057 00 00 =+−⇔ − = + ⇒−⇒ =− + + + =++ yx yx ptBCB yx yx 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIb (1ñ’) • Lập luận ñược số phần tử của không gian mẫu 1287 5 67 ==Ω + C • Gọi biến cố A: “Kết quả chọn ñược có cả nam và nữ ” .Số cách chọn 5 học sinh từ (7+6) hs là 1287 5 13 =C .Số cách chọn 5hs toàn là nam cả là 21 5 7 =C . Số cách chọn 5hs toàn là nữ cả là 6 5 6 =C • Vậysố cách chọn 5hs có cả nam và nữ là : 1287-(21+6)=1260 A Ω⇒ =1260 • ( ) 143 140 1287 1260 == Ω Ω = A A P 0,25 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com . (1 ’) • .Có 12 1 212 12 1 12 0 12 2 )11 ( +++ +++ =+=+++ nnn nnn CCC Với , , k n k n N ≤ ∈ • . 12 12 0 12 + ++ = n nn CC , n nn CC 2 12 1 12 ++ = , 12 12 2 12 − ++ = n nn CC 12 12 12 − ++ = n n n n CC. ) Rxyy VN x xx xxxxxx xx y xx x xx x y ∈∀>⇒>= ⇔ = −≤∨≥ ⇔ ++−=+−+ ≥−+ ⇔= +− − − ++ + = ,0' 010 ' 0 2 1 2 1 112 112 012 12 0' 12 12 12 12 ' 2 2 2 2 22 • ⇒ HSy=f(x) ñồng biến và liên tục trên R lại có 1lim;1lim − = = −∞→+∞→ xx y • ⇒ PT ñã cho có nghiệm khi 11 < < − m . ðỀ T HI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT N ăm h ọc 2 010 – 2 011 M ôn thi : TOÁN ( khối D) Câu N ội dung ðiểm I 2 ñ’ 1 1 ’ • * TX ð: R D = *S ự bi ến thi n . + ∞= + ∞→ yl im