Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9 đề II Câu 1: Ta có : x + 2y = 1 <=> x =1 2y Do đó P = x.y = (1 - 2y)y = y 2y 2 = -(2y 2 y) 8 1 22 1 2 8 1 22 1 22 1 2 222 = yy Do đó tích số P=x.y đạt giá trị lớn nhất bằng 8 1 tại trị số 2 1 ; 4 1 == ab Câu 2: a. Ta có a 8 + a 4 + 1 = (a 4 + 1) 2 + a 4 = (a 4 - a 2 + 1)(a 4 + a 2 + 1) = (a 4 - a 2 + 1)(a 2 + a + 1)(a 2 - a + 1) Vậy a 8 + a 4 + 1 = (a 4 - a 2 + 1)(a 2 + a + 1)(a 2 - a + 1) a. a 10 + a 5 + 1 = a 10 + a 9 + a 8 + a 7 + a 6 + a 5 + a 5 + a 4 + a 3 + a 2 + a + 1 - a 9 - a 8 - a 7 - a 6 - a 5 - a 4 - a 3 - a 2 - a = (a 10 + a 9 + a 8 ) +(a 7 + a 6 + a 5 ) + (a 5 + a 4 + a 3 ) + (a 2 + a + 1) - (a 9 + a 8 + a 7 ) - (a 6 + a 5 + a 4 ) - (a 3 + a 2 + a) = a 8 (a 2 + a + 1) + a 5 (a 2 + a + 1) + a 3 (a 2 + a + 1) + (a 2 + a + 1) - a 7 (a 2 + a + 1) a 4 (a 2 + a + 1) - a(a 2 + a + 1) = (a 2 + a + 1)(a 8 a 7 + a 5 a 4 + a 3 a + 1) Vậy a 10 + a 5 + 1 = (a 2 + a + 1)(a 8 a 7 + a 5 a 4 + a 3 a + 1) Câu 3: Biến đổi: ( ) 2 13 2 324 32 2 + = + =+ Tơng tự: ( ) 2 13 2 324 32 2 = = Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 32 6 1313 136 13 136 13 623 13 623 13 2622 13 2622 13 2 13 2 2 13 2 13 2 2 13 322 32 322 32 22 2222 22 == ++ = + + + = + + + = + + ++ + = + + + + = + ++ + Vậy 2 322 32 322 32 = + ++ + Câu 4 Rút gon biểu thức: ta có 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx x x Q x x x x xx xxx xx xx xx xx xx x xx x xxx x xx x xx x xx x P 111 1 2 1 11 2 122 11 1211 11 11 11 11 11 1 11 1 111 1 11 1 11 1 11 1 2 2 22 2 22 2 2 − − =−−= −+ = −+ = −−+ −+−++ = −−+ −++ = −−+ −++ = −−+ − + −−+ + = −−+− − + −−+ + = +−− − + −−+ + = x x 11 2 −− nÕu 0 < x < 1 = x x 11 2 −− − nÕu -1 < x < 0 => Q P A = * NÕu -1 < x < 0 ta cã 1 11 11 2 2 −= +− − −+ = x x x x A * NÕu 0 < x < 1 ta cã: ( ) ( ) 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 122122 11 11 11 11 11 11 x xx x xx x x x x x x x x A −−− = − −−− = −− +− = −− +− = −− −+ = VËy -1 nÕu -1 < x < 0 A= 2 22 122 x xx −−− nÕu 0 < x < 1 C©u 5: a. Khi a=5 ta cã hÖ 134 33 −=+ =+ yx yx <=> 1)33(34 33 −=−= −= xx xy <=> 105 33 −=− −= x xy <=> 2 33 = −= x xy <=> 3 2 −= = y x VËy khi a = 3 hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (2;-3) b. XÐt hÖ 14 3 −=+ =+ ayx yax (I) ta cã (I) <=> 1)3(4 3 −=−+ −= axax axy <=> ( ) )2(314 )1(3 2 axa axy −−=− −= 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm Muốn (I) có nghiệm duy nhất thì 2404 22 aaa Muốn (I) vô nghiện thì: 031 04 2 = a a 13 4 2 = a a 3 1 2 = a a 2 = a Vậy : Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là 2a Điều kiện để hệ vô nghiệm là 2 = a Câu 5: Vẽ hình 1. Chứng minh DECF và DECE = ta có DECFcgcDAECDF == )( Ta cũng có 11 DC = mà VNDCD 1 1 =+ => VNDCC 1 1 =+ => VCND 1= hay DECF Qủy tích của N: ta có VCND 1= => N chạy trên đờng tròn đờng kính CD giới hạn : N ở miền trong của hình vuông ABCD . - Khi M ở B thì A ở F, E ở B suy ra CF trùng với CA và DE trùng với DB do đó N ở tại O (tâm của hình vuông). - Khi M ở D thì F ở D, E ở A suy ra CF trùng với CD và DE trùng với DA do đó N ở tại D. Vậy N chỉ chạy trên 1/4 đờng tròn, cung DNO, có đờng kính CD. Phần đảo: Lấy N thuộc cung phần t DO ở trên đờng tròn đờng kính CD ta có VCND 1= (1) Gọi E là giao điểm của DN và AB, F là giao điểm của CN và AD. Dựng hình chữ nhật AEMF ta chứng minh rằng BDM . Từ (1) => 11 DC = (góc nhọn có cạnh đối một vuông góc) => AEDFgcgDAECDF == )( mà FM =AE (vì AEMF là hình chữ nhật) => DF=FM <=> FDM vuông cân DBMFDM = 0 45 Vậy quỷ tích của N là 1/4 cung DNO của đờng tròn đờng kinh CD. 2. Chứng tỏ EFCM = và EFCM gọi K là giao điểm của FM và CB ta có: DFCK = => FMCK = tơng tự : MEMK = Do đó: EFCMcgCFMECKM == )( Ta cũng có: EFCMMFEKCM == . 3. Chứng minh CM, BF, DE đồng quy Chứng minh tơng tự câu 1 ta có CEBF Trong CEF ta có EFCM ; EFED ; CEFB => CM, ED, FB Là 3 đờng cao của tam giác do đó chúng đồng quy. Vậy CM, BF, DE đồng quy tại một điểm. đó là trực tâm của tam giác CEF 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Chú ý: Vẽ hình đúng ý 1 VÏ h×n sai kh«ng chi ®iÓm c©u 6 . Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9 đề II Câu 1: Ta có : x + 2y = 1 <=> x =1 2y Do đó P = x.y = (1 - 2y)y = y 2y 2