Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7 chọn lọc (4)

ONTHIONLINE.NET Trường thcs 2 thị trấn thanh ba Đề thi khảo sát đội tuyển học sinh năng khiếu lớp 7 Năm học 2012-2013 Môn thi: toán Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao nhận đề ) ( Đề thi gồm 01 trang ) Câu 1 ( 1,5 điểm ) Cho x, y, z là các số khác 0 và x 2 = yz , y 2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z Câu 2( 2 điểm ) a) Tỡm x biết: 5 x + 5 x+2 = 650 b) Tỡm số hữu tỷ x,y biết: (3x – 33 ) 2008 + 7y − 2009 ≤ 0 Câu 3 ( 2 điểm ) Cho hàm số : f(x) = a.x 2 + b.x + c với a, b, c, d ∈Z Biết (1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f −M M M . Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 Câu 4( 3,5 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N: sao cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC . a) Chứng minh AM = AN và AH ⊥ BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm c) Chứng minh MAN > BAM = CAN Câu 5 ( 1 điểm ) a) Cho 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2011 2012 2013 S = − + − + + − + và 1 1 1 1 1007 1008 2012 2013 P = + + + + . Tính ( ) 2013 S P− . b) Cho A= 3 1 − + x x Tìm x ∈ Z để A có giá trị là một số nguyên Hết Hướng dẫn chấm toán 7 Câu Nội dung Điểm 1 Vì x, y, z là các số khác 0 và x 2 = yz , y 2 = xz , z 2 = xy ⇒ ; ; x z y x z y x y z y x z y x z y z x = = = ⇒ = = .áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ⇒ 1 x y z x y z x y z y z x y z x + + = = = = ⇒ = = + + 1 0,5 2 a) 5 x + 5 x+2 = 650 ⇔ 5 x ( 1+5 2 ) = 650 ⇔ 5 x .26 = 650 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 5 2 => x = 2 b) Ta có (3x -33 ) 2008 ≥ 0 7y − 2009 ≥ 0 Suy ra (3x -33 ) 2008 + 7y − 2009 ≥ 0 Mà (3x -33 ) 2008 + 7y − 2009 ≤ 0 (Theo đề bài ) Nên (3x -33 ) 2008 + 7y − 2009 = 0 ⇔ (3x -33 ) 2008 =0 và 7y − 2009 = 0 ⇔ x =11 và y =7 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,25 0,25 3 Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c ( ) ( ) ) (0) 3 3 ) (1) 3 3 3 1 ) ( 1) 3 3 3 2 f c f a b c a b f a b c a b + ⇒ + ⇒ + + ⇒ + + − ⇒ − + ⇒ − M M M M M M M M Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3 2 3 3a a⇒ ⇒M M M vì ( 2; 3) = 1 3b⇒ M Vậy a , b , c đều chia hết cho 3 0,5 0,5 0,5 0,5 4 0,25 a Chứng minh ∆ABM = ∆ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN Chứng minh ∆ABH = ∆ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 90 0 ⇒ AH ⊥ BC 0,5 0,75 b Tính AH: AH 2 = AB 2 - BH 2 = 5 2 - 3 2 = 16 ⇒ AH = 4cm Tính AM : AM 2 = AH 2 + MH 2 = 4 2 + 1 2 = 17 ⇒ AM = 17 cm 0,5 0,75 c Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra ∆AMN= ∆KMB ( c- g- c) ⇒ ∠MAN = ∠BKM và AN = AM =BK .Do BA > AM ⇒ BA > BK ⇒ ∠BKA > ∠BAK ⇒∠ MAN >∠BAM=∠CAN 0,25 0,25 0,25 Ta có: 1 1 1 1 1007 1008 2012 2013 P = + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013   = + + + + + + + + +  ÷   1 1 1 1 2 3 1006   − + + + +  ÷   1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013   = + + + + + + + + +  ÷   1 1 1 1 2 2 4 6 2012   − + + + +  ÷   0,25 A B C M H N K 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2012 2013 = − + − + − + = S. Do đó ( ) 2013 S P− =0 0,25 Tìm x ∈ z để A ∈ Z A= 3 4 1 3 1 − += − + xx x ( đk x≥0 , x≠9 ) A nguyên khi 3 4 − x nguyên ⇒ 3−x là Ư (4) Ư(4) = {-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4} Các giá trị của x là : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 . 0,25 0,25 . ONTHIONLINE.NET Trường thcs 2 thị trấn thanh ba Đề thi khảo sát đội tuyển học sinh năng khiếu lớp 7 Năm học 2012-2013 Môn thi: toán Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao nhận đề. ) 2008 ≥ 0 7y − 2009 ≥ 0 Suy ra (3x -33 ) 2008 + 7y − 2009 ≥ 0 Mà (3x -33 ) 2008 + 7y − 2009 ≤ 0 (Theo đề bài ) Nên (3x -33 ) 2008 + 7y − 2009 = 0 ⇔ (3x -33 ) 2008 =0 và 7y − 2009 . − + và 1 1 1 1 10 07 1008 2012 2013 P = + + + + . Tính ( ) 2013 S P− . b) Cho A= 3 1 − + x x Tìm x ∈ Z để A có giá trị là một số nguyên Hết Hướng dẫn chấm toán 7 Câu Nội dung Điểm 1