Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Hạ Long năm 2012 - 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2012 -2013 ðỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh chuyên Toán, chuyên Tin) Ngày thi: 29/6/2012 Chữ ký giám thị 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao ñề) Chữ ký giám thị 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . (ðề thi này có 01 trang) Câu 1. (1,5 ñiểm) Cho biểu thức A = 2 a 1 2 1 : a 1 a 1 a a a a 1     − −     + + + + +     với a ≥ 0 ; a ≠ 1. 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của A khi a = 2013 2 2012 + . Câu 2. (2,5 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình : 2 2 x(1 y) 5 y x y 4 xy + = −   = −  . 2. Giải phương trình : 2 4x 3x 3 4x x 3 2 2x 1 + + = + + − . Câu 3. (1,5 ñiểm) Tìm m ñể phương trình : 2 2 x (m 2)x m 1 0 − + + + = có các nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức : 2 2 1 2 1 2 x 2x 3x x + = . Câu 4. (3,5 ñiểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên cạnh BC, CD lấy hai ñiểm E, F thay ñổi sao cho  0 EAF 45 = (E thuộc BC, F thuộc CD, E khác B và C). ðường thẳng BD cắt hai ñoạn thẳng AE và AF lần lượt tại M và N. ðường thẳng ñi qua A và giao ñiểm của EN, MF cắt EF tại H. a) Chứng minh AH vuông góc với EF. b) Chứng minh EF luôn tiếp xúc với một ñường tròn cố ñịnh. c) Tìm vị trí của E, F ñể diện tích tam giác EFC ñạt giá trị lớn nhất. Câu 5. (1,0 ñiểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x + y = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4x + y 2x y P = xy 4 − + . Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh …………… ………….…………………………SBD ……………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ðỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2012-2013 Môn : TOÁN (Dành cho học sinh chuyên Toán, chuyên Tin) (Hướng dẫn này có 03 trang) Câu Sơ lược lời giải Cho ñiểm a 1 2 a 1 2 : a 1 a 1 a(a 1) (a 1)     + − −     + + + + +     0,25 = 2 ( a 1) 1 2 : a 1 a 1 ( a 1)(a 1)   − −   + + + +   0,25 = 2 ( a 1) (a 1) : a 1 ( a 1)(a 1) − − + + + 0,25 1.1 1ñiểm = 2 ( a 1) ( a 1)(a 1) a 1 ( a 1)( a 1)(a 1) − + + = − − + + 0,25 2 a 2013 2 2012 ( 2012 1) = + = + 0,25 1 1.2 0,5ñiểm => a 2012 1 = + => A 2012 = 0,25 Hệ <=> (x y) xy 5 xy(x y) 4 + + =   + =  ðặt x y S xy P + =   =  (*) ta ñược S P 5 SP 4 + =   =  0,5 Giải hệ ñược S 4 P 1 =   =  hoặc S 1 P 4 =   =  0,25 Với S 4 P 1 =   =  thay vào (*) ñược x y 4 xy 1 + =   =  <=> x 2 3 y 2 3 x 2 3 y 2 3   = −    = +      = +     = −     0,25 2.1 1,25ñiểm Với S 1 P 4 =   =  thay vào (*) ñược x y 1 xy 4 + =   =  vô nghiệm Vậy hệ phương trình ñã cho có 2 nghiệm : ( 2 3 − ; 2 3 + ) , ( 2 3 + ; 2 3 − ) 0,25 ð/K : 1 x 2 ≥ (*) 0,25 Với ñiều kiện ñó phương trình tương ñương 2 4x 4x x 3 x 3 1 2 2x 1 2x 1 0 − + + + + − − + − = ( ) ( ) 2 4 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0 ⇔ − + + + + − − + − = x x x x x x 0,5 2 2.2 1,25ñiểm ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 1 0 ⇔ − + + − − = x x x 3 2 2 1 1  + =  ⇔  − =   x x x ⇔ x = 1 thoả mãn (*) Vậy phương trình có nghiệm x = 1 0,5 ðể phương trình có nghiệm x 1 ; x 2 thì: 2 2 2 4 (m 2) 4(m 1) 0 3m 4m 0 0 m (*) 3 ∆ = + − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ≤ 0,5 Từ : 2 2 1 2 1 2 x 2x 3x x + = 1 2 1 2 1 2 1 2 x x (x x )(x 2x ) 0 x 2x =  ⇔ − − = ⇔  =  0,5 Với x 1 = x 2 ta có : 1 2 1 2 2 1 2 x x x x m 2 x .x m 1 =   + = +   = +  m 0 t/m (*) 4 m 3 =   ⇔  =  0,25 3 1,5 ñiểm Với x 1 = 2x 2 ta có : 1 2 1 2 2 1 2 x 2x x x m 2 x .x m 1 =   + = +   = +  m 1 t/m (*) 1 m 7 =   ⇔  =  Vậy với 1 4 m 0; ;1; 7 3   ∈     thì pt có các nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức ñã cho 0,25 Có   0 NBE = EAN = 45 => tứ giác ANEB nội tiếp =>  0 ENF 90 = hay EN là ñường cao của ∆ AEF. 0,5 Có   0 MDF = MAF = 45 => tứ giác ADFM nội tiếp =>  0 AMF 90 = hay FM là ñường cao của ∆AEF. 0,5 4.a 1,25ñiểm I H M N D A B C E F có EN, FM là các ñường cao của tam giác AEF => AH vuông góc với EF 0,25 Có AH vuông góc với EF => EF là tiếp tuyến của ñường tròn tâm A, bán kính AH. 0,25 có AMHF, EMNF là các tứ giác nội tiếp =>    AFD AMD NFE = = và    DAF DMF FAH = = 0,25 có ∆ADF=∆AHF (g.c.g) => AH = AD = a không ñổi. 0,25 4.b 1ñiểm Vậy EF luôn tiếp xúc với ñường tròn ( A, a ) cố ñịnh. 0,25 chứng minh ñược CE + CF + EF = CF + CE + EH + HF = 2a. 0,25 Có EC + CF 2 EC.CF ≥ và 2 2 EC + CF 2EC.CF ≥ 0,25 2 2 EC + CE + EC + CF 2a EC.CF 2 + 2 2 + 2 ⇒ ≤ = hay 2 2 4a EC.CF (2 + 2) ≤ 0,25 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2a EC = CF = = a(2 2) 2 + 2 − 0,25 4 4.c 1,25 ñiểm Có diện tích tam giác EFC bằng 1 EC.CF 2 . Vậy diện tích tam giác EFC lớn nhất khi và chỉ khi EC = CF = a(2 2) − . 0,25 Cho hai số dương , x y thỏa mãn: 5 x y + = . 4 2 4 1 4 1 4 2 4 4 2 2 x y x y x y y x y P xy y x y x + − = + = + + − = + + + − 0,25 Thay 5 y x = − ñược: 4 1 5 4 1 5 4 2 2 4 2 − = + + + − = + + + − y x x y P x y x y x 0,25 4 1 5 3 2 . 2 . 4 2 2 ≥ + − = y x y x 0,25 Bài 5 1 ñiểm P bằng 3 2 khi 1; 4 x y = = Vậy Min P = 3 2 0,25 Các chú ý khi chấm: 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho ñiểm tối ña. Trong các phần có liên quan với nhau, nếu học sinh làm sai phần trước thì không cho ñiểm những ý ở phần sau có sử dụng kết quả phần trước. Không cho ñiểm lời giải bài hình nếu học sinh không vẽ hình. 2. Với các cách giải ñúng nhưng khác ñáp án, tổ chấm trao ñổi và thống nhất ñiểm chi tiết nhưng không ñược vượt quá số ñiểm dành cho câu hoặc phần ñó. Mọi vấn ñề phát sinh trong quá trình chấm phải ñược trao ñổi trong tổ chấm và chỉ cho ñiểm theo sự thống nhất của cả tổ. 3. ðiểm toàn bài là tổng số ñiểm các phần ñã chấm, không làm tròn ñiểm. _____________________Hết_____________________ . NINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2012 -2 013 ðỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh chuyên Toán, chuyên Tin) Ngày thi: 29/6 /2012 Chữ. THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 201 2- 2013 Môn : TOÁN (Dành cho học sinh chuyên Toán, chuyên Tin) (Hướng dẫn này có 03 trang) Câu. coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh …………… ………….…………………………SBD ……………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ðỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH