ĐỀ THI CASIO BỔ TÚC TOÁN KHU VỰC 2010

ĐỀ THI QUỐC GIA CASIO 2010 LỚP 12 BT THPT (Có đáp án chi tiết) Bài 1. Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình 3cos2x+4cosx=2 Giải bằng máy tính Casio fx-570ES 3cos2x+4cosx=2 ⇔ 3(2cos2x-1)+4cosx=2 ⇔ 6cos2x+4cosx-5=0 Đặt X=cosx, X≤1 Phương trình thành: 6X2 +4X-5=0 Ghi vào màn hình (MathIO): 6X2 +4X-5=0 Ấn (Solve for X) nhập -0.5 ấn kết quả: -1,305158649 (loại) Ấn (Solve for X) nhập 0.5 ấn kết quả: 0,6384919825 Vậy cosx=0,6384919825 (chọn đơn vị đo góc là độ) Ghi vào m àn hình: cos-1(X) ấn kết quả: 50o19`14`` Kết luận nghiệm của phương trình: x1=50o19`14``+k360o x2=-50o19`14``+k360o Bài 2. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=sinx -cosx+sin2x (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES f(x)=sinx -cosx+sin2x=sinx-cosx+2sinx.cosx Đặt t=sinx-cosx, -2≤t≤2 và 2sinx.cosx=1-t2 Bài toán trở thành tìm GTLN và GTNN của hàm số g(t)=-t2+t+1 g`(t)=-2t+1 g`(t)=0 ⇔ t=12 Tính giá trị của g(t) tại t=12;±2 Ghi vào màn hình (MathIO): -X2+X+1 Ấn (X?) nhập 1÷2 ấn kết quả: 54=1,25 Ấn (X?) nhập -(2) ấn kết quả: -1-2=-2,414213562 Ấn (X?) nhập (2) ấn kết quả: -1+2=0,4142135624 Suy ra: max f(x) = max g(t) = 54 min f(x) = min g(t) = -1-2 Bài 3. Tứ giác nội tiếp ABCD có các cạnh AB = 3 dm, BC = 4 dm, CD = 5 dm, DA = 6 dm. Tính gần đúng (độ, phút, giây) góc ABC và diện tích của tứ giác đó. (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Độ dài đường chéo AC: AC=AB2+ BC2-2.AB.BC.cosB (1) AC=CD2+DA2-2.CD.DA.cosD (2) Tứ giác ABCD nội tiếp nên B^=180-D^ ⇒ cosD =-cosB (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: AB2+BC2-2.AB.BC.cosB=CD2+DA2 +2.CD.DA.cosB Thay số ta được: 32+42-2×3×4cosB=52+62+2×5×6cosB (chọn đơn vị đo góc là độ) Ghi vào màn hình (MathIO): 32+42-2×3×4cos(B)=52+62+2×5×6cos(B),B Ấn (Solve for B) nhập 50 ấn Ấn kết quả: B^=ABC^=115o22`37`` Diện tích tứ giác ABCD: SABCD=SABC+SACD =12AB.ACsinB+12 CD. DAsinD =12AB.ACsinB+12 CD. DAsinB Ghi vào màn hình: 3×4sin(B)÷2+5×6sin(B)÷2 Ấn kết quả: SABCD=18,9737 dm2 (Có thể sử dụng công thức sau: SABCD=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) Bài 4. Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số y=x2-5x+1x+1 (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES y`=x2+2x-6(x+1)2 y``=14(x+1)3 y`=0 ⇔ x2+2x-6(x+1)2=0 ⇔ x2 +2x-6=0 (x=-1 không là nghiệm) Ghi vào màn hình (MathIO): A2+2A-6,A Ấn (Solve for A) nhập -5 ấn kết quả: -3,645751311 Ghi vào màn hình (MathIO): B2+2B-6,B Ấn (Solve for B) nhập 5 ấn kết quả: 1,645751311 Dùng máy tính được: y``(-3,645751311)<0, y``(1,645751311)>0 ⇒ yCĐ=y(-3,645751311); yCT=y(1,645751311) Ghi vào màn hình (MathIO): X2-5X+1X+1 Ấn (X?) ấn kết quả: -12,29150262 Ấn (X?) ấn kết quả: -1,708497378 Vậy yCĐ=-12,29150262, yCT=-1,708497378 Bài 5. Giải phương trình 8x-7×2x+6=0 (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Đặt t=2x, t>0 thì phương trình trở thành phương trình t3-7t+6=0 Chọn chương trình giải phương trình bậc 3: ấn Nhập hệ số 1 0 -7 6 Ấn kết quả: {t1=-3(loại)t2=2 t3=1 t=2 ⇒ x=1 t=1 ⇒ x=0 Kết luận nghiệm của phương trình: x1=1, x2=0 Bài 6. Tính giá trị của a và b nếu đường thẳng y=ax+b đi qua các giao điểm của hai đường tròn có phương trình x2+y2+3x-4y-5=0 và x2+y2-4x+2y-1=0 (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Tọa độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình {x2+y2+3x-4y-5=0x2+y2-4x+2y-1=0 Trừ vế theo vế hai phương trình trên ta được 7x-6y-4=0 ⇔ y=76x-23 Đây là phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của hai đường tròn. ⇒ {a=76b=23 Bài 7. Tính gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD có các cạnh AB = AC = AD = 7 dm, BC = CD = DB = 6 dm. (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Gọi G là tâm của tam giác đều BCD, H là trung điểm cạnh BC. Ta có: AH ⊥ BC (tam giác ABC cân tại A) và DH ⊥ BC (tam giác BCD đều) ⇒⊥ BC (ADH) ⇒⊥ BC AG Chứng minh tương t ⊥ ự ta có: BD AG ⇒⊥ AG (BCD) hay AG là đường cao đường cao của hình chóp ABCD. Diện tích tam giác BCD: SBCD=BC234 BG=BC33 AG=AB2-BG2=AB2-BC23 Thể tích khối tứ diện: V=13AG×SBCD=13AB2-BC23×BC234 Ghi vào màn hình (MathIO): 1372-623×6234 Ấn kết quả: 3111=31,6070 Vậy V=31,6070 (dm3) Bài 8. Tính gần đúng giá trị của a nếu đường thẳng y=2x-1 là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x2+ax+1. (kết quả gần đúng với 4 chữ số thập phân) (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Đường thẳng y=2x-1 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x2+ax+1 khi và chỉ khi phương trình sau (ẩn x) có nghiệm kép: x2+ax+1=2x-1 ⇔ x2+(a-2)x+2=0 Δ=(a-2)2-8 Phương trình có nghi ⇔ ệm kép Δ=0 ⇔ (a-2)2-8=0 Ghi vào màn hình (MathIO): (A-2)2-8,A Ấn (Solve for A) nhập 5 ấn kết quả: 4,828427125 Ấn (Solve for A) nhập -5 ấn kết quả: -0,828427124 Vậy các giá trị của a thỏa mãn là: a1=4,8284; a2=-0,8284 Bài 9. Tính diện tích hình tròn nội tiếp tam giác ABC có các cạnh AB=4 dm, BC=5 dm, CA=6 dm. (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Diện tích tam giác ABC SABC=p(p-a)(p-b)(p-c)=pr Tìm r: Ghi vào màn hình (MathIO): D(D-4)(D-5)(D-6)=DX Ấn (D?) nhập (4+5+6)÷2 ấn (Solve for X) nhập 5 ấn ta được nghiệm X chính là r. Diện tích hình tròn nội tiếp tam giác: S=πr2 Ghi vào màn hình: πX2 Ấn kết quả: 7π4 Vậy S=7π4. Bài 10. Tính gần đúng tọa độ giao điểm của hypebol x216-y29=1 và đường thẳng x-4y-5=0 (kết quả gần đúng lấy 4 chữ số thập phân) (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Tọa độ giao điểm của hypebol và đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình: {x216-y29=1x-4y-5=0 ⇔ {(4y +5)216-y29=1(*)x =4y +5 Giải (*) Ghi vào màn hình (MathIO): (4A +5)216-A29=1,A Ấn (Solve for A) nhập 10 ấn kết quả: y1=-0,2466 Ghi vào màn hình (MathIO): (4B +5)216-B29=1,B Ấn (Solve for B) nhập -10 ấn kết quả: y2=-2,5659 Tìm x1,x2 Ghi vào màn hình: 4Y+5 Ấn kết quả: x1=4,0135 Ấn kết quả: x2=-5,2635 Vậy hypebol và đường thẳng giao nhau tại các điểm có tọa độ lần lượt là: {x1=4,0135y1=-0,2466 ; {x2=-5,2635y2=-2,5659 ********************************** ĐỀ THI QUỐC GIA CASIO 2010 LỚP 12 THPT (Có đáp án chi tiết) Bài 1.Cho hàm số f(x)=4x(4x+2)-1. Hãy tính tổng: S=f(12010)+f(22010)+f(32010)+ +f(20092010) (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Ta chứng m inh: f(x)+f(1-x)=1 Từ đó suy ra: S=[f(12010)+f(20092010)]+ +[f(10042010)+f(10062010)]+f(10052010) =1004×1+f(10052010) Ghi vào màn hình (MathIO): 1004+4X(4X+2)-1 Ấn (X?) nhập 1005÷2010 Ấn kết quả: 20092 Ấn kết quả: 1004.5 Vậy S=1004,5. Bài 2.Cho các hàm số f(x)=ax2-3x+2, (x≠0) và g(x)=asin2x. Tìm các giá trị của a thỏa mãn hệ thức: f[f(- 1)]≈2+g[f(2)] (kết quả gần đúng chính xác tới 4 chữ số thập phân) (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES f(-1)=a +5 f[f(-1)]=f(a+5)=a(a+5)2-3(a+5)+2 f(2)=a4-4 g[f(2)]=g(a4-4)=asin(2(a4-4))=asin(a2-8) Ta có: f[f(-1)]=2+g[f(2)] ⇔ a(a+5)2-3(a+5)+2=2+asin(a2-8) (Chọn đơn vị đo góc là rad) Ghi vào màn hình (MathIO): X(X+5)2-3(X+5)+2=2+ Xsin(X2-8) Ấn (X?) nhập 1 Ấn kết quả: -5,8122 Thử lại với các giá trị ban đầu của X khác nhau ta đều tìm nghiệm duy nhất nghiệm -5,8122 Kết luận: a=-5,8122 Bài 3.Tìm nghiệm gần đúng của hệ: {xy(x-2)(y-2)=4x2+y2-2(x+y)=4 (kết quả chính xác tới 4 chữ số thập phân) (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010 - THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES {xy(x-2)(y-2)=4x2+y2-2(x+y)=4 ⇔ {xy(x-2)(y-2)=4x(x-2)+y(y-2) =4 Đặt {u=x(x-2)v=y(y-2) Hệ phương trình trên trở thành: {uv=4u+v=4 Suy ra: u,v là nghiệm của phương trình: X2-4X+4=0 Chọn chương trình giải phương trình bậc 2: ấn Nhập hệ số: 1 -4 4 Ấn kết quả: X=2 Vậy {u=2v=2 ⇒ {x(x-2)=2y(y-2)=2 ⇔ {x2-2x-2=0y2-2y-2=0 Ấn Nhập hệ số: 1 -2 -2 Ấn kết quả: {X1=2,7321X2=-0,7321 Hệ có 4 nghiệm: {x1=2,7321y1=2,7321 ; {x2=2,7321y2=-0,7321 ; {x3=-0,7321y3=2,7321 ;{x4=-0,7321y4=-0,7321 Bài 4. Tìm gần đúng tọa độ các giao điểm A và B của đường tròn: 4x2+4y2+12x-16y-5=0 và đường thẳng đi qua hai điểm M(-4;3), N(5;-2). (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Đường thẳng MN có vector chỉ phương là u  = (9;-5) Phương trình tham số của đường thẳng MN: {x=-4+9ty=3-5t Tọa độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng MN thỏa mãn: 4(-4+9t)2+4(3-5t)2+12(-4+9t)-16(3-5t)-5=0 Tìm nghiệm phương trình trên. Ghi vào màn hình (MathIO): 4(-4+9A)2+4(3-5A)2+12(-4+9A)-16(3-5A)-5=0,A Ấn (Solve for A) nhập 1 ấn kết quả: t1=0,5233742421 Ghi vào màn hình (MathIO): 4(-4+9B)2+4(3-5B)2+12(-4+9B)-16(3-5B)-5=0,B Ấn (Solve for B) nhập -1 ấn kết quả: t2=-4,506317×10-3 Tìm tọa độ giao điểm Ghi vào màn hình: -4+9X:3-5X Ấn (X?) Ấn (x1=0,7104) Ấn (y1=0,3831) Ấn (X?) Ấn (x2=-4,0406) Ấn (y2=3,0225) Tọa độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng MN là: A(0,7104;0,3831), B(-4,0406;3,0225) Bài 5. Tìm nghiệm gần đúng của hệ: {xy(x-2)(y-2)=4x2+y2-2(x+y)=4 (kết quả chính xác tới 4 chữ số thập phân) (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010 - THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES {xy(x-2)(y-2)=4x2+y2-2(x+y)=4 ⇔ {xy(x-2)(y-2)=4x(x-2)+y(y-2) =4 Đặt {u=x(x-2)v=y(y-2) Hệ phương trình trên trở thành: {uv=4u+v=4 Suy ra: u,v là nghiệm của phương trình: X2-4X+4=0 Chọn chương trình giải phương trình bậc 2: ấn Nhập hệ số: 1 -4 4 Ấn kết quả: X=2 Vậy {u=2v=2 ⇒ {x(x-2)=2y(y-2)=2 ⇔ {x2-2x-2=0y2-2y-2=0 Ấn Nhập hệ số: 1 -2 -2 Ấn kết quả: {X1=2,7321X2=-0,7321 Hệ có 4 nghiệm:{x1=2,7321y1=2,7321 ; {x2=2,7321y2=-0,7321 ; {x3=-0,7321y3=2,7321 ;{x4=-0,7321y4=- 0,7321 Bài 6. Cho hai điểm A và B trên đồ thị hàm số y=x2+2x-3, với x  [-2;2]. Hãy tính gần đúng khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm đó. (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Ta có đồ thị (P) của hàm số trong đoạn [-2;2] như hình vẽ. Dựa vào đồ thị ta xác định được điểm A(2;5) (P); B(x;x2+2x-3)  (P) Khoảng cách AB=(x-2)2+(x2+2x-8)2 Đặt f(x)=(x-2)2+(x2+2x-8)2 maxAB=maxf(x)=maxf(x) trên [-2;2] f`(x)=2(x-2)+2(2x+2)(x2+2x-8) f`(x)=0 ⇔ (x-2)+ (2x+2)(x2+2x-8)=0 Ghi vào màn hình (MathIO): (X-2)+ (2X+2)(X2+2X-8) Ấn (Solve for X) nhập 1 ấn kết quả: 2 Ấn (Solve for X) nhập -3 ấn kết quả: -3,822875656 (loại) Ấn (Solve for X) nhập -1 ấn kết quả: -1,177124344 Tính f(-1,177124344), f(2), f(-2) Ghi vào màn hình: (X-2)2+(X2+2X-8)2 Ấn (X?) ấn kết quả: f(-1,177124344)=9,5147 Ấn (X?) nhập 2 kết quả: f(2)=0 Ấn (X?) nhập -2 kết quả: f(-2)=45=8,9443 Kết luận: maxAB=9,5147 Bài 7. Cho dãy số {un} với un=sin(2010-sin(2010-sin(2010 sin(2010-sin2010)))) Tìm n0 để với mọi n≤n0 thì un có 4 chữ số thập phân ngay sau dấu phẩy là không đổi. Tính giá trị u2009 (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES (chọn đơn vị đo góc là rad) Nhớ -1 vào X, nhớ 0 vào A Ấn -1 0 Ấn 1 (X+1→X) Ấn sửa lại thành: X+1→X:sin(2010-A) Ấn Ấn liên tiếp phím cho đến khi sin(2010-A) kết quả có 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy không đổi thì dừng. Ấn Kết quả: n0=186 Và u186=u187=u188= =-0,3071 Suy ra: u2009=-0,3071 Bài 8. Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 20.000.000 đ, mức lãi suất 1,2% / tháng với quy ước 1 tháng trả 800.000 đ cả gốc và lãi. Hỏi sau 12 tháng kể từ ngày người ấy mua xe số tiền còn nợ là bao nhiêu đồng? Sau một năm lãi suất lại tăng lên là 1,5% / tháng và người đó lại quy ước 1 tháng trả 1.000.000 đ cả gốc và lãi (trừ tháng cuối cùng). Hỏi sau bao nhiêu tháng người ấy trả hết nợ? (tháng cuối trả không quá 500.000 đ). (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570MS Gọi u0 là số tiền người đó mua xe: u0=20000000 (đồng) un là số tiền người đó còn nợ sau n tháng. Ta có: {u0=20000000un=1,012un-1-800000(TH:n≤12) un=1,015un-1-1000000(TH:n>12) Nhớ 0 vào X, nhớ 20000000 vào A Ấn 0 20000000 Ghi vào màn hình: X=X+1:A=1.012A-800000 Ấn liên tiếp phím cho đến khi X = 12 thì dừng. Ấn kết quả: u12=12818250,87. Vậy sau 12 tháng, số tiền người đó còn nợ là 12818250,87 đồng. Ghi vào màn hình: X=X+1:A=1.015A-1000000 Ấn liên tiếp phím cho đến khi A<0 thì dừng. Ấn kết quả: 27 Vậy sau 27 tháng người đó trả hết nợ. Bài 9. Cho một tứ diện SPQR có SP = QR = 11, SQ = PR = 20 và SR = PQ = 21. Hãy tính thể tích của tứ diện đó? (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Ta dựng các đường thẳng lần lượt đi qua P, Q, R và lần lượt song song với QR, PR, PQ. Các đường thẳng trên lần lượt cắt nhau tại A, B, C. P, Q, R là trung điểm của các cạnh tương ứng AB, BC, CA SPQR=14SABC. Suy ra: VSPQR=14VSABC Ta có: ΔSBQ cân tại Q (SQ = BQ = PR) ⇒ BSQ^=SBQ^ ΔSCQ cân tại Q (SQ = CQ = PR) ⇒ CSQ^=SCQ^ ⇒ BSC^=BSQ^+CSQ^=12(2BSQ^+2CSQ^)=12(BSQ^+SBQ^+CSQ^+SCQ^)=90o Tương tự: ASB^=ASC^=90o Suy ra: VSABC=16SA.SB.SC ⇒ VSPQR=124SA.SB.SC Trong đó: {SA2+SB2=AB2=4QR2=4b2SB2+SC2=BC2=4PR2=4a2 SC2+SA2=AC2=4PQ2=4c2 ⇔ {SA2=2(b2+c2-a2)SB2=2(a2+b2-c2) SC2=2(a2+c2-b2) Lưu 20 vào A, 11 vào B, 21 vào C: Ấn 20 11 21 Ghi vào màn hình (MathIO): 1242(B2+C2-A2)×2(A2+B2-C2)×2(A2+C2-B2) Ấn kết quả: 360. Vậy VSPQR=360 (đvtt). . ********************************** ĐỀ THI QUỐC GIA CASIO 2010 LỚP 12 THPT (Có đáp án chi tiết) Bài 1.Cho hàm số f(x)=4x(4x+2)-1. Hãy tính tổng: S=f( 12010) +f( 22010) +f( 32010) + +f(200 92010) (Trích đề thi Quốc gia giải toán. MTCT năm 2010 - THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Ta chứng m inh: f(x)+f(1-x)=1 Từ đó suy ra: S=[f( 12010) +f(200 92010) ]+ +[f(100 42010) +f(100 62010) ]+f(100 52010) =1004×1+f(100 52010) Ghi. un=sin (2010- sin (2010- sin (2010 sin (2010- sin2010)))) Tìm n0 để với mọi n≤n0 thì un có 4 chữ số thập phân ngay sau dấu phẩy là không đổi. Tính giá trị u2009 (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên