Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 1! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)\7]^*) V1US)#4%)()*_]*7].*\^) L4`%)1%E&)$U6)aU%()\b*)@4c#d)24W&1)2e)#4`%)1%E&)1%E")>K) f%g&)4h)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)Q)B4%)#%C#()iiiF6E#4$%&2:FG&)) Bj=)\)k.d*)>%e6lF!Cho!hàm!số! y = x 4 − 2mx 2 +1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2 .!! 2. Tìm!m!để!(1)!cắt!đường!thẳng! y = −3 tại!bốn!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!nhỏ!hơn!2.! Bj=).)k\d*)>%e6lF) a) Giải!phương!trình! cos5x + 2sin 2 x = 1 .! b) Giải!phương!trình! 1 log 3 x + 2 + 2 2log 3 x +1 = 1 .!!!! Bj=)7)k\d*)>%e6lF!Tính!tích!phân! I = (x −1) 2 +1 (x +1) 2 dx 0 1 ∫ .! Bj=)_)k\d*)>%e6lF) a) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! z −3i +(4− 2i ).z = 12− 4i .!Tính!mô!đun!của!số!phức! w = 1+ i + z z 2 .! b) Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!khác!nhau.!Chọn!ngẫu!nhiên!một!số!từ!M,! tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!!! Bj=)^)k\d*)>%e6lF)Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a!và!cạnh!bên! SA!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Gọi!E,F!lần!lượt!là!trung!điểm!các!cạnh!AD,CD.!Mặt! phẳng!(SEF)!tạo!với!mặt!phẳng!(ABCD)!góc! 60 0 .!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng! cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SEF).! Bj=)-)k\d*)>%e6lF)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!3!điểm!A(3;0;0),!B(0;3;0),! C(0;0;3).!Xác!định!tâm!và!bán!kính!mặt!cầu!(S)!ngoại!tiếp!tứ!diện!OABC.!Viết!phương!trình! mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A.! Bj=),)k\d*)>%e6lF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích! bằng!16!và!M(4;7)!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!CDM!cắt!đường! thẳng!AC!tại!điểm! F ( 6 5 ; 13 5 ) .!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C,D!biết!đỉnh!D!nằm!trên!đường!thẳng! x + y − 3 = 0 và!đỉnh!C!có!hoành!độ!là!số!nguyên!dương.! Bj=)b)k\d*)>%e6lF!Giải!hệ!phương!trình x 2 − 2y 2 −3x + 6y = 2y x −1 (2− 3y )( x + y +1 + x + y ) =1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ (x, y ∈ !) .!! Bj=)+)k\d*)>%e6lF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! (x + y) 2 + 4x 2 y 2 +1 = (2z 2 +1) 2 .! Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức P = 16x 3 ( y + z) 3 + 16y 3 (x + z) 3 + 3. xy +1 z 2 +1 .!! mmm!nLmmm) ) ) Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 2! M!oV)LpB!)qrV!)fstV)/uM)uV) Bj=)\)k.d*)>%e6lF!Cho!hàm!số! y = x 4 − 2mx 2 +1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2 .!! 2. Tìm!m!để!(1)!cắt!đường!thẳng! y = −3 tại!bốn!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!nhỏ!hơn!2.! 1. Học!sinh!tự!giải.! 2. Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm: x 4 − 2mx 2 +1 = −3 ⇔ x 4 − 2mx 2 + 4 = 0 .!! Đặt! t = x 2 ≥ 0 ⇒ t 2 − 2mt + 4 = 0 (2) .! Để!(1)!cắt!đường!thẳng!y=É3!tại!4!điểm!phân!biệt!khi!và!chỉ!khi!(2)!có!hai!nghiệm!dương!phân! biệt! ⇔ Δ' = m 2 − 4 > 0 S = 2m > 0 P = 4 > 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ m > 2 .! Khi!đó!hoành!độ!giao!điểm!là! − t 2 < − t 1 < t 1 < t 2 với! t 1 = m − m 2 − 4,t 2 = m + m 2 − 4 .! Yêu!cầu!bài!toán!tương!đương!với:! ! m + m 2 − 4 < 2 ⇔ m + m 2 − 4 < 4 ⇔ m 2 − 4 < 4− m ⇔ 4− m > 0 (m −4) 2 > m 2 − 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ m < 4 8m < 20 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ m < 5 2 .! Kết!hợp!với!điều!kiện!suy!ra! 2 < m < 5 2 .!!! HC#)$=;&(!Giá!trị!cần!tìm!là! 2 < m < 5 2 .!! Bj=).)k\d*)>%e6lF) a) Giải!phương!trình! cos5x + 2sin 2 x = 1 .! b) Giải!phương!trình! 1 log 3 x + 2 + 2 2log 3 x +1 = 1 .!!!! a)!Phương!trình!tương!đương!với:! cos5x = 1− 2sin 2 x = cos2x ⇔ 5x = 2x + k2π 5x = −2x + k 2π ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⇔ x = k. 2π 3 x = k. 2π 7 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ,k ∈ ! .! Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là! x = k. 2π 3 ,x = k. 2π 7 ,k ∈ ! .! b)!Điều!kiện:! x > 0 log 3 x + 2 ≠ 0 2log 3 x +1 ≠ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ 0< x ≠ 1 9 ; 1 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ .! Đặt! t = log 3 x phương!trình!trở!thành:! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 3! ! 1 t + 2 + 2 2t +1 = 1 ⇔ 2t +1+ 2(t + 2) = (t + 2)(2t +1) ⇔ 2t 2 + t −3 = 0 ⇔ t = 1 t = − 3 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ log 3 x = 1 log 3 x = − 3 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ x = 3(t / m) x = 1 3 3 (t / m) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! HC#)$=;&(!Vậy!phương!trình!có!hai!nghiệm!là! x = 3;x = 1 3 3 .! Bj=)7)k\d*)>%e6lF!Tính!tích!phân! I = (x −1) 2 +1 (x +1) 2 dx 0 1 ∫ .! Ta!có:! I = (x −1) 2 +1 (x +1) 2 dx 0 1 ∫ = (x +1) 2 −4x +1 (x +1) 2 dx 0 1 ∫ = (x +1) 2 −4(x +1) + 5 (x +1) 2 dx 0 1 ∫ = 1− 4 x +1 + 5 (x +1) 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ dx 0 1 ∫ = (x −4ln x +1 − 5 x +1 ) 1 0 = 7 2 −4ln 2 .! HC#)$=;&(!Vậy! I = 7 2 − 4 ln 2 .!! Bj=)_)k\d*)>%e6lF) a) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! z −3i +(4− 2i ).z = 12− 4i .!Tính!mô!đun!của!số!phức! w = 1+ i + z z 2 .! b) Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!khác!nhau.!Chọn!ngẫu!nhiên!một!số!từ!M,! tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!!! a) Giả!sử! z = x + y.i(x, y ∈ !) theo!giả!thiết!ta!có:! ! x + yi −3i + (4 − 2i)(x − yi) =12− 4i ⇔ x + ( y −3)i + 4x −2y − 2xi −4yi =12− 4i ⇔ 5x −2y −12+ (−2x −3y +1).i = 0 ⇔ 5x − 2y −12 = 0 −2x −3y +1= 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = 2 y = −1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ z = 2−i !.! Vì!vậy! w = 1+ i + z z 2 = 1+ i + (2−i ) (2−i ) 2 = 3 3− 4i = 3(3+ 4i ) 25 = 9+12i 25 ⇒ w = 81 625 + 144 625 = 3 5 .!! b) !Giả!sử!số!thuộc!M!có!dạng:! abcd .! +)! a ∈ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 { } ⇒ a có!9!cách!chọn.! +)! bcd có! A 9 3 cách!chọn.! Vậy!trong!M!có!tất!cả! 9.A 9 3 = 4536 số.! +)!Gọi!A!là!biến!cố!chọn!một!số!từ!M!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.! không!gian!mẫu! Ω = 4536 .! Một!số!chọn!ra!thoả!mãn!nếu! 1 ≤ a < b < c < d ≤ 9 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 4! +)!Chọn!4!số!trong!tập!{1,2,3,4,5,6,7,8,9}!có! C 9 4 = 126 !cách.! Với!mỗi!4!số!chọn!ra!!có!duy!nhất!một!cách!sắp!xếp!chúng!thành!một!số!tự!nhiên!có!4!chữ!số! thoả!mãn!yêu!cầu.! Vậy!trong!M!có!tất!cả!126!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.! Vì!vậy:! Ω A = 126 ⇒ P(A) = Ω A Ω = 126 4536 = 1 36 .!!!! qU%)#;@)#<v&1)#w)m!Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!phân!biệt.!Chọn!ngẫu!nhiên! một!số!từ!M,!tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà! a) Được!một!số!lẻ.! b) Được!một!số!mà!chữ!số!đầu!lớn!hơn!chữ!số!đừng!liền!sau.! c) Được!một!số!lớn!hơn!2015.! ! Bj=)^)k\d*)>%e6lF)Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a!và!cạnh!bên! SA!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Gọi!E,F!lần!lượt!là!trung!điểm!cách!cạnh!AD,CD.!Mặt! phẳng!(SEF)!tạo!với!mặt!phẳng!(ABCD)!góc! 60 0 .!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng! cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SEF).! ! Ta!có:! AC ⊥ BD,EF / /AC ⇒ EF ⊥ BD .! Kẻ!AH!vuông!góc!với!EF!tại!H!ta!có! AH ⊥ EF .! Kết!hợp!với! EF ⊥ SA ⇒ EF ⊥ (SAH ) .! Vì!vậy!góc!giữa!mặt!phẳng!(SEF)!và!mặt!đáy!(ABCD)! bằng!góc! SHA ! = 60 0 .! Gọi!I!là!tâm!hình!vuông,!J!là!trung!điểm!của!đoạn!ID.! Ta!có:! AH = IJ = BD 4 = 2a 2 4 = a 2 2 .! Tam!giác!vuông!SAH!có! SA = AH .tan 60 0 = a 2 2 . 3 = a 6 2 .!!!!!!! !Vì!vậy! V S .ABCD = 1 3 SA.S ABCD = 1 3 . a 6 2 .4a 2 = 2a 3 6 3 (đvtt).! +)!Ta!có:! d (B;(SEF )) = BJ IJ .d(I;(SEF )) = 3d(I ;(SEF )) = 3d(A;(SEF )) .! Kẻ!AK!vuông!góc!với!SH!tại!K!ta!có! AK ⊥ (SEF ) .! Tam!giác!vuông!SAH!có:! ! 1 AK 2 = 1 AH 2 + 1 SA 2 = 2 a 2 + 2 3a 2 = 8 3a 2 ⇒ AK = a 6 4 !.! Vậy! d (B;(SEF )) = 3. a 6 4 = 3a 6 4 .!!!!! Bj=)-)k\d*)>%e6lF)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!3!điểm!A(3;0;0),!B(0;3;0),! C(0;0;3).!Xác!định!tâm!và!bán!kính!mặt!cầu!(S)!ngoại!tiếp!tứ!diện!OABC.!Viết!phương!trình! mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A.! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 5! Giả!sử!mặt!cầu!(S)!có!dạng:! x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by− 2cz + d = 0(a 2 + b 2 + c 2 − d > 0) .! Vì!O,A,B,C!thuộc!(S)!nên! d = 0 9−6a + d = 0 9−6b + d = 0 9−6c + d = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ a = b = c = 3 2 d = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .! Vì!vậy! (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 3x −3y− 3z = 0 .! Mặt!cầu!(S)!có!tâm! I ( 3 2 ; 3 2 ; 3 2 ),R = 3 3 2 .! +)!Ta!có:! AI ! "! = (− 3 2 ; 3 2 ; 3 2 ) / /(−1;1;1) .!Mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A!nên!nhận! AI ! "! làm!véc! tơ!pháp!tuyến!vì!vậy! (P ) : x − y − z −3 = 0 .!!!!!!!!! BH=),)IJK*)>%L6MF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích! bằng!16!và!M(4;7)!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!CDM!cắt!đường! thẳng!AC!tại!điểm! F ( 6 5 ; 13 5 ) .!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C,D!biết!đỉnh!D!nằm!trên!đường!thẳng! x + y − 3 = 0 và!đỉnh!C!có!hoành!độ!là!số!nguyên!dương.! ! +)!Tứ!giác!DCMF!nội!tiếp!đường!tròn!đường!kính!DM!nên! DFM ! = DCM ! = 90 0 .! Vì!vậy!DF!vuông!góc!với!MF,!đường!thẳng!DF!đi!qua!F!và! nhận FM ! "!! = ( 14 5 ; 22 5 ) / /(7;11) làm!vtpt!nên!có!phương!trình!là:! 7x +11y− 37 = 0 .! ! Toạ!độ!điểm!D!là!nghiệm!của!hệ! 7x +11y−37 = 0 x + y − 3 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = −1 y = 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ D(−1;4) .! +)!Gọi!C(a;b)!ta!có! S ABCD = CD.CB = 2CD.CM = 4S CDM = 16 ⇒ S CDM = 4 .! Đường!thẳng!DM!có!phương!trình!là! 3x −5y + 23 = 0 .! Ta!có:! S CDM = 1 2 DM .d(C ;DM ) = 4 ⇔ 1 2 . 3 2 + 5 2 . 3a − 5b + 23 3 2 + 5 2 = 4 ⇔ 3a − 5b + 23 = 8 .! Và!tam!giác!CDM!vuông!nên!theo!Pitago!ta!có:! ! CM 2 +CD 2 = DM 2 ⇔ (a − 4) 2 + (b −7) 2 + (a +1) 2 + (b −4) 2 = 3 2 + 5 2 ⇔ a 2 + b 2 − 3a −11b + 24 = 0 !.! Vậy!ta!có!hệ!! ! a 2 + b 2 −3a −11b + 24 = 0 3a −5b + 23 = 8 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ a = 3,b = 8 a = 0,b = 3 a = − 24 17 ,b = 91 17 a = 75 17 ,b = 96 17 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇒ C (3;8) .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 6! Vì!M!là!trung!điểm!của!BC!nên!B(5;6).!Vì! AD ! "!! = BC ! "!! ⇒ A(1;2) .! NC#)$=;&(!Vậy A(1;2),B(5;6),C (3;8),D(−1;4) .!! BH=)O)IJK*)>%L6MF!Giải!hệ!phương!trình x 2 − 2y 2 −3x + 6y = 2y x −1 (2− 3y )( x + y +1 + x + y ) =1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ (x, y ∈ !) .!! Điều!kiện:! x ≥1, y ≥ 0 .! Phương!trình!thứ!hai!của!hệ!tương!đương!với:! ! 2− 3y = x + y +1− x + y ⇔ x + y − 3y = x + y +1 − 2 ⇔ x −2y x + y + 3y = x + y −3 x + y +1+ 4 ⇒ (x − 2y)(x + y −3) ≥ 0 (1) .! +)!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!cho!phương!trình!đầu!của!hệ!ta!được:! ! x 2 − 2y 2 −3x + 6y = 2y x −1 ≤ 2y. x −1+1 2 = xy ⇒ x 2 − 2y 2 − xy −3x + 6y ≤ 0 ⇔ (x −2y)(x + y) −3(x −2y) ≤ 0 ⇔ (x −2y)(x + y − 3) ≤ 0 (2) .! Từ!(1)!và!(2)!suy!ra:! (x −2y) 2 (x + y −3) 2 ≤ 0 ⇔ x = 2y x + y = 3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Và!dấu!bằng!trong!bất!đẳng!thức!AM!–GM!xảy!ra!vì!vậy! ! x = 2y x + y = 3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ x −1 = 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = 2 y = 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ !(thỏa!mãn).! NC#)$=;&()Vậy!hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! (x; y) = (2;1) .!! PQ%)#;@)#<R&1)#ST) PQ%):U)*JF!Giải!hệ!phương!trình! ( x + y + 2 + x + y )(2− 2y ) = 2 ( y +1) x + 3 = x 2 − x + 4y + 4 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .!Đ/s:! (x; y) = (1;1) .! PQ%):U)*.F!Giải!hệ!phương!trình! x y + 2 + y x + 2 = 2y 2 + 5x −3y + 4 2 x + y + 3 + y 2 + y = x + y 2 + 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .!Đ/s:! (x; y) = (2;2) .!!!!! BH=)+)IJK*)>%L6MF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! (x + y) 2 + 4x 2 y 2 +1 = (2z 2 +1) 2 .! Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức P = 16x 3 ( y + z) 3 + 16y 3 (x + z) 3 + 3. xy +1 z 2 +1 .!! Đặt! a = x + y b = xy ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ (a 2 ≥ 4b > 0) ⇒ a 2 + 4b 2 +1 = (2z 2 +1) 2 .! Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:! ! a 3 + b 3 = (a + b) 3 −3ab(a + b) ≥ (a + b) 3 −3. (a + b) 2 4 (a + b) = 1 4 (a + b) 3 .! Áp!dụng!ta!có:!!! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 7! ! x 3 ( y + z) 3 + y 3 (x + z) 3 ≥ 1 4 ( x y + z + y z + x ) 3 ≥ 1 4 3( x y + z + y x + z )− 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ≥ 1 4 ( 5 2 − 3z x + y ) .! Bởi!vì! x y + z + y z + x + z x + y ≥ 3 2 .!! Ta!chứng!minh:! xy +1 z 2 +1 ≥ 4 z x + y ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 .!Thật!vậy!bất!đẳng!thức!tương!đương!với:! ! (x + y) 2 (xy +1) ≥ 4z 2 (z 2 +1) = (2z 2 +1) 2 −1 ⇔ a 2 (b +1) +1≥ (2z 2 +1) 2 .! Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:! ! a 2 (b +1) +1= a 2 b +a 2 +1≥ a 2 +1+ 4b 2 .! Mặt!khác!theo!giả!thiết!có: a 2 +1+ 4b 2 = (2z 2 +1) 2 .!Ta!có!điều!phải!chứng!minh.! Vì!vậy!! ! P ≥ 4( 5 2 − 3z x + y ) +12( z x + y ) 2 = 12( z x + y − 1 2 ) 2 + 7 ≥ 7 .! Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! x = y = z .!Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!7.! ! ! !!! !! !!! !!!!!! ! !!! !!!!! ! . 4536 số. ! +)!Gọi!A!là!biến!cố!chọn!một !số! từ!M!mà!chữ !số! đứng!sau!lớn!hơn!chữ !số! đứng!liền!trước.! không!gian!mẫu! Ω = 4536 .! Một !số! chọn!ra!thoả!mãn!nếu! 1 ≤ a < b < c < d ≤ 9 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán. = Ω A Ω = 126 4536 = 1 36 .!!!! qU%)#;@)#<v&1)#w)m!Gọi!M!là!tập!hợp!các !số! tự!nhiên!gồm!4!chữ !số! phân!biệt.!Chọn!ngẫu!nhiên! một !số! từ!M,!tính!xác!suất!để!chọn!được!một !số! mà! a) Được!một !số! lẻ.! b) Được!một !số! mà!chữ !số! đầu!lớn!hơn!chữ !số! đừng!liền!sau.! c) Được!một !số! lớn!hơn!2015.! ! Bj=)^)kd*)>%e6lF)Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a!và!cạnh!bên! SA!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Gọi!E,F!lần!lượt!là!trung!điểm!cách!cạnh!AD,CD.!Mặt! phẳng!(SEF)!tạo!với!mặt!phẳng!(ABCD)!góc! . ≠ 1 9 ; 1 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ .! Đặt! t = log 3 x phương!trình!trở!thành:! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 3! !