bộ đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio lớp 9

1/4 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011- 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN: TOÁN Chú ý: 1. Với những trường hợp không nêu công thức mà chỉ cho kết quả trừ ¼ số điểm 2. Với những trường hợp thừa nghiệm (do không xét điều kiện) trừ ¼ số điểm của ý. 3. Với những đáp số không đúng quy tắc làm tròn trừ ¼ số điểm của ý. 3. Với những câu yêu cầu trình bày, thí sinh trình bày vắn tắt thể hiện tiến trình giải bài toán, không cần vi ết cách giải các phương trình và hệ mà máy tính hỗ trợ sẵn 4. Nếu học sinh giải bằng cách khác nhưng đúng vẫn được nguyên điểm. Đề bài Công thức tính và kết quả Điểm Câu 1: (2 điểm) Hãy tính giá trị của biểu thức: 24a1)(a3aa 24a1)(a3aa A 223 223 +−−+− −−−+− = với a= 72 2)1( 2)1( +− −+ = aa aa A ≈0.984 994 0 1.5 0.5 Câu 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x + xy + y = 7. (1+x)(1+y) = 8 có 8 nghiệm: (x, y)={(0, 7); (7, 0); (-2, -9); (-9, -2); (1, 3); (3, 1); (-3, -5); (-5, -3)} 0.25 /1N 0 Câu 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC có AB=3cm; BC=4cm ; CA=5cm. Các đường cao BH, đường phân giác BD, đường trung tuyến BP chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần. S CBP =3 (cm) 2 S BDP = 7 3 ≈0.428 571 4 (cm 2 ) S ABH = 25 54 ≈ 2.16(cm 2 ) S BDH = 175 72 ≈ 0.411 428 6 (cm 2 ) 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 4: (2 điểm) Giải phương trình: (x 2 + 3x + 2) (x 2 + 7x + 12) = 3 2 135 x 1 −− = ≈ -4.302 775 6 2 135 x 2 +− = ≈-0.697 224 4 1.0 1.0 Câu 5: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=a , góc BAC bằng 120 0 , SA=SB=SC=3a. a. Tính thể tích hình chóp S.ABC. b. Áp dụng với a= 17 . Hướng dẫn: a. Hạ SH vuông góc với mặt phẳng (ABC), AH cắt BC tại K . Vì SA=SB=SC nên các tam giác sau vuông bằng nhau ( ΔSHA=ΔSHB = ΔSHC) ⇒ HA=HB=HC ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Mặt khác do ΔABC cân tại A và góc (BAC) tù nên HA là phân giác trong của góc (BAC). Do ΔHAB cân tại H, và ∠BAH=∠HAC=60 0 nên là tam giác đều. Vậy AH=AB=a ⇒ SH= 22 AH - SA =2 2 a. 0.5 A B C S H K a a 3a 3a 3a 60 60 2/4 Ta có: V SABC = SH . (.AB.AC.sin 2 1 . 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∠ )BAC = a 22 . 0.a.a.sin12 2 1 . 3 1 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 6 6 a b. V SABC ≈28.615 264 0 1.0 0.5 Câu 6: (2 điểm) Tính tổng: 2012201120112012 1 3223 1 22 1 S + ++ + + + = Hướng dẫn: Với ∀ n ∈ N * ta có: 1nnn1)(n 1 +++ = 1n 1 n 1 + − . Từ đó ta có: 2 1 1 22 1 −= + 3 1 2 1 3223 1 −= + …………… 2012 1 2011 1 2012201120112012 1 −= + . Vậy 2012 1 1S −= ≈0.977 706 1 0.5 0.5 1.0 Câu 7: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD. Kẻ AE ⊥ SB, AF ⊥ SD. Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng AEF. a. Tính diện tích tứ giác AEKF. b. Áp dụng với a= 11 . Hướng dẫn: a) Do SA = AB = AD = a ⇒ E, F là trung điểm của SB và SD. Trong Δ SBD có EF//= 2 1 BD = 2 2 a (0,5 điểm) Mặt khác: Hai tam giác vuông SKE và SKF bằng nhau nên KE=KF suy ra tam giác KEF cân tại K, lại có AEF cân tại A. Vậy AK là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác chung của hai tam giác AEF và KEF.(0.5 điểm) Trong tam giác vuông ACS có ACASA K 222 111 += ⇒AK= 3 6 a Tứ giác AEKF có EF ⊥ AK nên: S= 6 2 3 6a 2 2a 2 1 EF.AK 2 1 a 2 == (0,5 điểm) b. S= 6 2 2 a ≈2.592 724 9 0.5 0.5 0.5 0.5 3/4 Câu 8: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 3 3 333 zyx zyx Hướng dẫn: Ta có đẳng thức: (x+y+z) 3 – (x 3 +y 3 +z 3 )=3(x+y)(y+z)(z+x) nên: (x +y)(y+z)(z+x)=8. Đặt: c=x+y, a=y+z , b=z+x thì abc= 8. Do x, y, z nguyên nên a,b,c ∈{±1, ±2, ±4, ±8} Giả sử: x≤y≤z thì c≤b≤a. Ta có: a+b+c=2(x+y+z)=6 nên a≥2. + Với a=2 ta có: 12 4 4 ===⇒==⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = =+ zyxcb bc cb + Với a=4 ta có ⎩ ⎨ ⎧ = =+ 2 2 bc cb Không có nghiệm nguyên + Với a=8 ta có 4,51 1 2 ==−=⇒−==⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = −=+ zyxcb bc cb Vậy hệ có 4 nghiệm (1 ;1 ;1) ,(4 ;4 ;-5) (4 ;-5 ;4) (-5 ;4 ;4) 1.0 1.0 Câu 9: (2 điểm) Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, BA=c. Từ một điểm M trong tam giác hạ các đường vuông góc MA 1 , MB 1 và MC 1 xuống các đường thẳng BC, CA và AB. Với vị trí nào của M thì 111 MC c MB b MA a P ++= đạt giá trị nhỏ nhất. Xác định giá trị nhỏ nhất đó với a= 3 ; b= 5 và c= 7 Hướng dẫn: Đặt MA 1 = x, MB 1 = y , MC 1 = z. Ta có: ax + by + cz = 2S ΔABC Với S ΔABC = 4 ))()()(( acbbcacbacba −+−+−+++ Lại có: ))(( czbyax z c y b x a ++++ )()()( 222 z x x z ca y z z y bc x y y x abcba ++++++++= ABC S cba Pcbacabcabcba Δ ++ ≥⇒++=+++++≥ 2 )( )(222 2 2222 Dấu bằng đạt được x=y=z . Khi đó M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vậy khi M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thi P đạt giá trị nhỏ nhất. P min ≈11.389 779 4 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 10: (2 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x≥y≥ z và 32-3x 2 =z 2 =16- 4y 2 . Tìm giá trị lớn nhất của A=xy+yz+zx. Với x, y, z bằng bao nhiêu thì A đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn: Ta có: y 2 = 4 z - 16 2 và x 2 = 3 z - 32 2 . Vì y ≥z ⇒ 4 z - 16 2 ≥ z 2 ⇔ 5z 2 ≤ 16 ⇔ 0<z ≤ 5 4 4/4 Mặt khác: x 2 -3y 2 = 12 )9144(4z-128 4 3z - 48 - 3 z - 23 2222 z−− = 0 12 16 - 5 16 5 12 165z 2 =≤ − = ⇒ x 2 ≤ 3y 2 ⇔ x ≤ y3 Từ đó suy ra: y x ⋅ 2 3 y≤ Ta có: xz = ( ) () 222 2 2 2 z 2 3 3 3 2 3 z 32 3 3 3 += ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≤⋅ yz yx z x (cosi dấu = khi z x = 3 ) và yz () 22 z 2 1 +≤ y (dau= khi y=z). Khi đó: A=xy + yz + zx ≤ 3 y 2 + ( ) 22 z 2 1 +y + () z 2 3 22 +y = 2 2 2 13 4 16 2 1 2 3 3 z z ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ = 2 () 2 8 33 133 z ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ () 5 16332 5 16 8 33 236 + =⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++≤ Dấu = xảy ra khi: x = 5 3 4 và y = z = 5 4 Vậy giá trị lớn nhất của A là: A max = 5 16332 + ≈14.285 125 2 khi () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 5 4 , 5 4 , 5 3 4z y; x; ≈(3,098 386 7; 1.788 854 4; 1.788 854 4) 0.5 0.5 0.5 0.5 1 Phách đính kèm Đề thi chính thức lớp 9 THCS. Bảng A SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KÌ THI CẤP TỈNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012 – 2013 @ Lớp: 9 THCS. Bảng A Thời gian thi: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/12/2012 Họ và tên thí sinh: Nam (Nữ) Số báo danh: Ngày, tháng, năm sinh: Nơi sinh: Học sinh lớp: Trường THCS: Huyện (TX, TP): Họ và tên, chữ ký của giám thị SỐ PHÁCH Giám thị số 1: Giám thị số 2: (Do Trưởng ban chấm thi ghi) Quy định : 1) Thí sinh phải ghi đầy đủ các mục ở phần trên theo hướng dẫn của giám thị. 2) Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này. 3) Thí sinh không được ký tên hay dùng bất cứ ký hiệu gì để đánh dấu bài thi, ngoài việc làm bài thi theo yêu cầu của đề thi. 4) Bài thi không được viết bằng mực đỏ, bùt chì; không viết bằng hai thứ mực. Phần viết hỏng, ngoài cách dùng thước để gạch chéo, không được tẩy xoá bằng bất cứ cách gì kể cả bút xoá. Chỉ được làm bài trên bản đề thi được phát, không làm bài ra các loại giấy khác. Không làm ra mặt sau của tờ đề thi. 5) Trái với các điều trên, thí sinh sẽ bị loại. 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KÌ THI CẤP TỈNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012 – 2013 @ Lớp: 9 THCS. Bảng A Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/12/2012 Chú ý :- Đề thi này có 06 trang (cả trang phách). - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này. Điểm thi của toàn bài thi Họ và tên, chữ ký các giám khảo SỐ PHÁCH (Do Chủ tịch HĐ chấm thi ghi) Bằng số Bằng chữ Quy định: 1) Thí sinh được dùng một trong các loại máy tính: Casio fx-500MS, ES; Casio fx-570MS, ES; Casio fx-570MS, ES Plus; Casio fx-500VNplus; Vinacal Vn- 500MS, 570MS và Vinacal-570MS New. 2) Thí sinh trình bày tóm tắt cách giải, công thức tính, kết quả tính toán vào ô trống theo yêu cầu được nêu với từng bài. 3) Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có yêu cầu cụ thể, được quy định làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4, riêng số đo góc làm tròn đến giây. Bài 1 (6,0 điểm) Tính gần đúng ( kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 9) a) 3 3 3 5 3 1 1 3 A 1 2 3 5 : 5 3 4 3 5 7 5 2     + +   = + − + + + + + +       + −     b) 2 sin .cos cot 2 3 B 1 sin 2 tan 2 2 α α     α −         = α   α +     với 2 0 0 0 2 0 sin 67 23'.cos25 41' tan sin 45 16' cos 67 29' α = + và 0 0 0 90 < α < c) ( ) ( ) 2 2 3 3 1 3 x y 2 5 xy C x y + − − = + với x,y 0 ≠ và x y 4 7 = . Kết quả: a) b) c) ĐỀ THI CHÍNH THỨC 3 Bài 2 (4,0 điểm) Từ 8 chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8: a) Lập số tự nhiên N nhỏ nhất có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 1111; b) Lập số tự nhiên M lớn nhất có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 1111; c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 1111? Kết quả: a) b) c) Bài 3 (5,0 điểm) Cho dãy số { } n a như sau: 1 a 3 = ; 2 n n 1 a a 3n 5 − = + + với n N ∈ và n 1 > . a) Tính 5 6 7 8 a ;a ;a ;a b) Lập quy trình bấm phím liên tục tính n a ( ghi rõ sử dụng loại máy tính nào?) c) Tính 2012 2013 a ;a . Kết quả: a) b) c) 4 Bài 4 (4,0 điểm) Cho hai số x;y 0 ≠ thỏa mãn: 2 2 2 2 1 1 x y 4,9239 x y 1 1 x y 8,4648 x y  + + + =     + + + =   Tính gần đúng giá trị của biểu thức: 3 3 3 3 1 1 P x y x y = + + + Tóm tắt cách giải Kết quả: Bài 5 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính r = 2,1043 cm. Đường tròn (O; r) tiếp xúc với BC tại D. Biết BD = 4,2742 cm, DC = 6,5342 cm. a) Tính gần đúng số đo góc A của tam giác ABC; b) Tính gần đúng diện tích tam giác ABC. 5 Hình vẽ và tóm tắt cách giải: Kết quả: a) b) Bài 6 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, trực tâm H nằm trong tam giác. Biết HA = 3,094cm, HB = 6,630cm. Tính độ dài đường cao AD của tam giác ABC. Hình vẽ và tóm tắt cách giải: 6 Kết quả: Bài 7 (3,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên ( ) x;y thỏa mãn: 2 2 10x y x y 1 + = + + . Tóm tắt cách giải: Kết quả: Hết [...]... sao cho 579xyz chia hết cho 5.7 .9 = 315 0,5 (5,0ủ) Ta có 579xyz = 5 790 00 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz 30 + xyz chia hết cho 315 Vì 30 30 + xyz < 10 29 nên (Dùng máy tính tìm các bội của 315 trong khoảng (30 ; 10 29) : xyz {285;600 ;91 5} 0,5 TH1: x = 2; y = 8; z = 5 0,5 TH2: x = 6; y = z = 0 0,5 TH3: x = 9; y = 1; z = 5 a) a = 19; b = 12; c = -20; d = 12; e = 1 3 (5,0ủ) b) P(1,2) = 49, 22272; P( 19) = 5027515;... -@ THI CHNH TH C L p: 9 THCS B ng: B Th i gian lm bi: 120 phỳt Ngy thi: 19/ 12/2012 Chỳ ý: - thi ny cú 06 trang (c trang phỏch) - Thớ sinh lm bi tr c ti p vo b n ủ thi ny i m c a ton bi thi B ng s H v tờn, ch ký c a cỏc giỏm kh o S PHCH (Do Ch t ch H ch m thi ghi) B ng ch Quy ủ nh: 1) Thớ sinh ủ c dựng m t trong cỏc mỏy tớnh sau: Casio fx-500MS, ES; Casio fx-570MS, ES PLUS; Casio fx-500 VNPLUS;... P (95 ) = 92 95480 391 ; P(112) = 206 297 13217 1,5 1,0 a) U1 = 1; U2 = 14; U3 = 167; U4 = 193 2; U5 = 22205 b) CM ủ c cụng th c 4 0,5 1,0 2,0 b) Vi t ủỳng quy trỡnh (5,0ủ) B m trờn mỏy CASIO fx-500MS: 1 SHIFT STO A 14 SHIFT STO B x 14 29 x ALPHA A SHIFT STO A x 14 29 x ALPHA B SHIFT STO B B m liờn t c t h p phớm (REPLAY UP, =) n-2 l n ủ c Un+2 (n>2) Trang 7 2,0 Hỡnh v 0,5 B a) Cú BH = BC.sinC 19, 84019cm... thỏng, nm sinh: Ni sinh: H c sinh l p: Ni h c: S PHCH (Do Ch t ch h i ủ ng ch m thi ghi) H v tờn, ch ký c a giỏm th Giỏm th s 1: Giỏm th s 2: Quy ủ nh : 1) Thớ sinh ph i ghi ủ y ủ cỏc m c ph n trờn theo h ng d n c a giỏm th 2) Thớ sinh lm bi tr c ti p vo b n ủ thi cú phỏch ủớnh kốm ny 3) Thớ sinh khụng ủ c kớ tờn hay dựng b t c kớ hi u gỡ ủ ủỏnh d u bi thi, ngoi... b = c = Trang 3 Bi t P ( 2) = 73 ; d = P ( 1) = 25 ; e = b) Tính giá trị chính xác của P(1,2); P( 19) ; P (95 ); P(112) P(1,2) = P( 19) = . P (95 ) = . P(112) = . B i 4: (5,0 điểm) (7 + 2 5 ) (7 2 5 ) = n Cho dóy s U n 4 5 n (n ; n 1) a) Tớnh 5 giỏ tr ủ u tiờn c a dóy Un b) CMR: Un+2 = 14Un+1 29Un c) Viết quy trình bấm phím tính Un+2 theo Un+1 v Un (n =1, 2,3) (Nờu rừ lo i mỏy tớnh s d ng)... lm bi thi theo yờu c u c a ủ thi 4) Bi thi khụng ủ c vi t b ng m c ủ , bỳt chỡ; khụng vi t b ng hai th m c Ph n vi t h ng, ngoi cỏch dựng th c ủ g ch chộo, khụng ủ c t y xoỏ b ng b t c cỏch gỡ k c bỳt xoỏ Ch ủ c lm bi trờn b n ủ thi ủ c phỏt, khụng lm bi ra cỏc lo i gi y khỏc Khụng lm ra m t sau c a c a t ủ thi 5) Trỏi v i cỏc ủi u trờn, thớ sinh s b lo i Trang 1 S GIO D C V O T O QU NG NINH K THI C... bi ú 3 Mi vn phỏt sinh khỏc u phi c trao i, thng nht trong c t chm, ghi vo biờn bn tho lun ỏp ỏn biu im v ch cho im theo s thng nht ú 8 Phỏch ủớnh kốm thi chớnh th c S GIO D C V O T O QU NG NINH K THI C P T NH GI I TON TRấN MY TNH C M TAY NM H C 2012 2013 -@ L p: 9 THCS B ng: B Th i gian lm bi: 120 phỳt (khụng k th i gian giao ủ ) Ngy thi: 19/ 12/2012 H v tờn thớ sinh: Nam (N...S GIO DC V O TO QUNG NINH HNG DN CHM THI HSG GII TON TRấN MY TNH CM TAY LP 9 BNG A NM HC 2012-2013 Túm tt cỏch gii, kt qu a) A 0,3 795 62471 Cho im 2,0 b) B 3,5632283 09 2,0 c) C 0,865501263 2,0 a) N = 12348765 1,5 b) M = 87651234 c) Lp c: 384 s tha món yờu cu a) a 5 = 185; a 6 = 298 ; a 7 = 450; a 8 = 647 1,5 1,0 2,0 b) Quy trỡnh bm phớm vi mỏy CASIO fx-500MS 2,0 Bi 1 6 2 4 1 SHIFT STO... NH NM H C 2012 2013 -@ THI CHNH TH C L P 9 - B NG: B NM H C 2012-2013 - BI S L C L I GI I I M a) B 93 ,73 294 7 1 (5,0ủ) 2,0 b) r = 2168 1,5 1,5 c) r = 318127 a) Ta cú a1ì bcd = 7874 Suy ra bcd = 7874 7874 = 254 Thay cỏc giỏ tr a t 1 9 ta ủ c 31 a1 0,5 V y a = 3; b = 2; c = 5; d = 4 (m i ủỏp ỏn ủỳng cho 0,5ủ) 2 2,0 b) Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải... BD li cú BD 2 = BH 2 DH 2 nờn BH 2 DH 2 = DH ( DH + AH ) A E H 6 3 B D C 1,0 Thay s c phng trỡnh: 2.DH 2 + 3, 094 .DH 43 ,95 69 = 0 Gii phng trỡnh c DH, t ú tớnh c AD Kq: AD = 7, 072 cm 1,0 1,0 10x + y = x 2 + y 2 + 1 4x 2 + 4y 2 40x 4y + 4 = 0 ( 2x 10 ) + ( 2y 1) = 97 2 2 1,0 97 ( 2y 1) + 10 2 2y 1 < 10 4 y 5 Phng trỡnh tr thnh x = 2 7 3 Dựng mỏy lp quy trỡnh tớnh x theo y vi cỏc . 1/4 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011- 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN: TOÁN Chú ý: 1. Với những trường. KÌ THI CẤP TỈNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012 – 2013 @ Lớp: 9 THCS. Bảng A Thời gian thi: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/ 12/2012 Họ và tên thí sinh: . THI CẤP TỈNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012 – 2013 @ Lớp: 9 THCS. Bảng A Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/ 12/2012 Chú ý :- Đề thi