Chứng minh rằng FL vuông góc với AC... Theo bổ đề 2 của định lí carnot, suy ra CA vuông góc với FL.. Lời giải: Ký hiệu X là số phần tử của tập hữu hạn X.
Trang 1UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10
NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TOÁN HỌC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1 (6 điểm)
a) Giải phương trình sau trên ¡ : 4x2 +12x x+ =1 27(x+1)
b) Giải bất phương trình sau: x 95 3≥ −x 2
− −
Bài 2 (3 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n+ 26 v à n− 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó
Bài 3 (3 điểm)
Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng KAB· = 2·KAC Chứng minh rằng FL vuông góc với AC
B i 4 à (4 điểm)
Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần
tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử
Bµi 5 (4điểm)
Cho các số dương , ,x y z Chứng minh bất đẳng thức:
( ) ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( )2
3
x y z
Hết
-Họ và tên : Số báo danh :
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HSG KHỐI 10 CẤP TỈNH
MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2011 - 2012
Điểm
Bài 1 a) Giải phương trình sau trên ¡ : 4x2+12x x+ =1 27(x+1)
b) Giải bất phương trình sau: x 95 3≥ −x 2
− −
Lời giải: a) Điều kiện: x+ ≥ ⇔ ≥ −1 0 x 1
Phương trình đã cho tương đương với
4x +12x 1+ +x 9(1+ =x) 36(1+ ⇔x) (2x+3 1+x) =(6 1+x)
(1) (2)
Ta có
x
Ta có
(2)
8
x
Kết luận: x=3 ; 81 9 97
8
x= − là nghiệm của phương trình đã cho.
b) Điều kiện: 5 3 0 2
8
x x
x
≠
TH1 : Xét x<2 ta có : ( )1 9 2 9 2
( )2
⇔ − ≤ ≤1 x 5 Vậy 1− ≤ <x 2 là nghiệm
TH2 : Xét 2< <x 5 ta có : ( )1 9 2 9 2
( )2
x
TH3 : Xét 5< ≠x 8 ta có : ( )1 9 2 9 ( 2) 0
9 ( 8) ( 2) 2 10 7
⇔(x−8) ( x2 −10x+ ≤7) 0
5 3 2
x x
≤ −
⇔
< ≤ +
0,5 đ
1 đ
1 đ
0,5 đ 0,5 đ
2 đ
Trang 3Kết hợp với miền x đang xét ta có 8< ≤ +x 5 3 2 là nghiệm của Bpt.
Vậy tập nghiệm của Bpt là :S = −[ 1;2) ∪(8;5 3 2+
0,5 đ
Bài 2 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n+ 26 v à n− 11 đều là
lập phương của hai số nguyên dương nào đó
Lời giải: Giả sử có số nguyên dương n sao cho 3
n+ = vµ n−11 y= 3 với ,x y là hai số nguyên dương ( x y> )
Khi đó ta được x3 −y3 = 37 ⇔ (x−y)(x2 +xy+ y2 ) = 37
Ta thấy 0 <x−y< x2 +xy+ y2, nên ta có 2 1 (1)2
37 (2)
x y
− =
Thay x y= +1 từ (1) vào (2) ta được y2 −y− 12 = 0, từ đó có y =3 vµ
38
Vậy n=38 là giá trị cần tìm
1 đ
1,5đ
0,5 đ
Bài 3 Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là
hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng
KAB= KAC Chứng minh rằng FL vuông góc với AC
Lời giải:
A
L
F B
Đặt AB=c, AC=b, BC=a, ·KAC= α Khi đó: KAB· = 2 ; α ·BAC= 3 α
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK và ACK, ta được:
; sin 2 sin sin sin
Do BK=2CK, nên từ các đẳng thức trên ta có: os sin (*)
sin
B c
C
α = Lại có:
2
.cos cos3 (1)
α
Thay (*) vào (**), ta được: 2 2
cos 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: FA2 −FC2 =LA2 −LC2
0,5đ
2 đ
Trang 4Theo bổ đề 2 của định lí carnot, suy ra CA vuông góc với FL.
( Chuyển qua vectơ ta cũng có CA EF⊥ ) 0,5 đ Bài 4 Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3
phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này
không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử
Lời giải:
Ký hiệu X là số phần tử của tập hữu hạn X
Gọi B1, B2,…, Bn là các tập con của A thỏa mãn:
3, 2 , 1, 2, ,
Giả sử tồn tại phần tử a ∈A mà a thuộc vào 4 tập trong số các tập B1,
B2,…, Bn (chẳng hạn a∈B1, B2, B3, B4), khi đó: B i∩B j ≥ 1 ,(i j= 1, 2,3, 4)
.Mà Bi ≠Bj nếu i≠j, tức là B i∩B j ≠ 3 Do đó B i∩B j = 1 (i, j = 1, 2, 3,
4)
Từ đây A ≥ 1 +4.2 = 9, điều này mâu thuẫn
Như vậy, mỗi phần tử của A chỉ thuộc về nhiều lắm là ba trong số các
tập B1, B2,…, Bn Khi đó 3n ≤ 8.3 ⇔n ≤ 8
Giả sử A = {a1, a2,…,a8}, xét các tập con của A là:
B1 = {a1, a2, a3}; B2 = {a1, a4, a5}; B3 = {a1, a6, a7}; B4 = {a8, a3, a4};
B5 = {a8, a2, a6}; B6 = {a8, a5, a7}; B7 = {a3, a5, a6}; B8 ={a2, a4, a7}
Tám tập hợp trên là các tập con gồm ba phần tử của A thỏa mãn
2
B ∩B ≠ Vì vậy số n cần tìm là n = 8.
1 đ
1,5 đ
1,5 đ
Bài 5 Cho các số dương , ,x y z Chứng minh bất đẳng thức:
( ) ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( )2
3
x y z
Lời giải: Gọi vế trái của bất đẳng thức là S
Do ab a b+ + ≥33 a b2 2 ,∀ >a 0,b>0 Nên:
( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )
S
( ) (2 ) (2 )2
( ) ( ) ( )
2
3
x y z
+ + + + +
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1
1 đ
3 đ