Lý thuyết đồ thị

Lý thuyết đồ thị

1Lý thuy t đ thế ồ ịCh ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ 2Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệĐịnh nghĩa: Đồ thị (graph) G = (V,E) là một bộ gồm 2 tập hợp các đỉnh (vertices) V (V≠Ø) và các cạnh (edges) E. Mỗi cạnh tương ứng với 2 đỉnh. Nếu cạnh e tương ứng với 2 đỉnh v, w thì ta nói v và w là 2 đỉnh liên kết hay kề (adjacent) với nhau và e được gọi là tới các đỉnh v, w. Ký hiệu hay v w.vwe=e 3Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệCác đỉnh: A, B, C, DCác cạnh: AB, AC, AD, BD, BCABCDCạnh không phân biệt thứ tự của đỉnh được gọi là cạnh vô hướng. Đồ thị bao gồm các cạnh vô hướng được gọi là đồ thị vô hướng. 4Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệĐịnh nghĩa:-Cạnh uv tương ứng với 2 đỉnh trùng nhau gọi là vòng (loop) hay khuyên.ABC 5Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ-Hai cạnh phân biệt cùng tương ứng với một cặp đỉnh gọi là 2 cạnh song song (parallel edge).ABC 6Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ-Đồ thị không có cạnh song song và khuyên được gọi là đơn đồ thị (simple graph), ngược lại là đa đồ thị (multi graph).ABCA BC D 7Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ-Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi là 1 đồ thị con (sub graph) của đồ thị G = (V, E) nếu V’ ⊂ V và E’ ⊂ E.ABCDEB’C’A’E’ 8Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ-Đồ thị có số đỉnh và số cạnh hữu hạn gọi là đồ thị hữu hạn (finite graph), ngược lại là đồ thị vô hạn (infinite graph). 9Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệBiểu đồA BCDA’B’C’D’E’A”B”C” 10Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệBậc của một đỉnh-Bậc (degree) của một đỉnh v, ký hiệu là d(v), chính là số cạnh tới đỉnh đó. Mỗi vòng tại một đỉnh sẽ được xem như 2 cạnh tới đỉnh đó.-Nếu d(v) = 0, v được gọi là đỉnh cô lập (isolated vertex).-Nếu d(v) = 1, v được gọi là đỉnh treo (perdant vertex), cạnh tới đỉnh treo được gọi là cạnh treo (perdant edge).-Đồ thị mà mọi đỉnh đều là đỉnh cô lập được gọi là đồ thị rỗng (null graph). [...]... ớ ệ - Đồ thị có số đỉnh và số cạnh hữu hạn gọi là đồ thị hữu hạn (finite graph), ngược lại là đồ thị vô hạn (infinite graph). 3 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Các đỉnh: A, B, C, D  Các cạnh: AB, AC, AD, BD, BC A B C D Cạnh không phân biệt thứ tự của đỉnh được gọi là cạnh vô hướng. Đồ thị bao gồm các cạnh vô hướng được gọi là đồ thị vô hướng. 36 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Tóm tắt - Đồ thị, ... thi uươ ớ ệ  Một đồ thị có hướng G gọi là liên thơng mạnh (strongly connected) nếu với mọi cặp đỉnh phân biệt v, w luôn luôn tồn tại 1 đường đi nối v với w. A B C DE 7 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi là 1 đồ thị con (sub graph) của đồ thị G = (V, E) nếu V’ ⊂ V và E’ ⊂ E. A B CD E B’ C’ A’ E’ 35 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Định lý 1.4: Trong một đồ thị có hướng G, tổng... của G.  Định lý 1.5: Tổng số các phần tử trên hàng (cột) thứ i của ma trận liên kết của đồ thị có hướng G bằng bậc ngoài (trong) của đỉnh v i , nghĩa là: và ∑ = = n k ikiout mvd 1 )( ∑ = = n k kiiin mvd 1 )( 14 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Định lý 1.1: Với mọi đồ thị G = (V, E), ta có:  Hệ quả 1.1: Tổng số bậc của các đỉnh bậc lẻ trong 1 đồ thị là 1 số chẵn  Hệ quả 1.2: Mọi đồ thị đều có một... được gọi là cạnh treo (perdant edge). - Đồ thị mà mọi đỉnh đều là đỉnh cô lập được gọi là đồ thị rỗng (null graph). 29 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Đồ thị có hướng Nếu mỗi cạnh e ∈ E của G được xác định bởi một cặp có thứ tự (v, w) của 2 định v, w ∈ V thì ta nói e là 1 cạnh có hướng từ v đến w, ký hiệu e = vw, và đồ thị G khi này được gọi là một đồ thị có hướng (directed graph). - v được gọi... lần. 6 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Đồ thị khơng có cạnh song song và khun được gọi là đơn đồ thị (simple graph), ngược lại là đa đồ thị (multi graph). A B C A B C D 11 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Bậc của các đỉnh: A: 2 B: 5 C: 0 (đỉnh cô lập) D: 2 E: 1 (đỉnh treo) F: 4 A B C D E F X Y Z T G G’ 24 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Xét G = (V, E) là một đồ thị vô hướng. Trên tập hợp V, ta định... 15 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Hệ quả 1.3: Đồ thị K n có n(n-1) cạnh. 2 1 18 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Định lý 1.2: Tổng các phần tử trên hàng (hoặc cột) thứ i của ma trận kề của đồ thị G có n đỉnh bằng bậc của đỉnh v i của đồ thị ấy, nghĩa là: ∑∑ == == n k ki n k iki mmvd 11 )( 21 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Một chu trình (cycle)... được gọi là cạnh vô hướng. Đồ thị bao gồm các cạnh vô hướng được gọi là đồ thị vô hướng. 36 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Tóm tắt - Đồ thị, các loại đồ thị (có hướng, vơ hướng, đơn, đa, đầy đủ). - Bậc của đỉnh, đồ thị cân bằng. - Biểu diễn một đồ thị (danh sách kề, ma trận kề). - Đẳng hình. - Đường đi, chu trình. - Miền liên thơng, liên thơng mạnh. 10 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Bậc của một... ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Hai cạnh phân biệt cùng tương ứng với một cặp đỉnh gọi là 2 cạnh song song (parallel edge). A B C 12 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau được gọi là đồ thị đầy đủ (complete graph). Đồ thị đầy đủ có n đỉnh được ký hiệu là K n . A B CD E 22 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  ABCA là một chu trình đơn giản và sơ cấp.  ACB là một đường đi đơn giản... trên V và ~ phân hoạch V thành các lớp tương đương. Mỗi lớp tương đương này ứng với một đồ thị con liên thông của G và được gọi là một thành phần liên thông (connected component) của G. 9 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Biểu đồ A B CD A’ B’ C’ D’ E’ A” B” C” 2 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Định nghĩa: Đồ thị (graph) G = (V,E) là một bộ gồm 2 tập hợp các đỉnh (vertices) V (V≠Ø) và các cạnh (edges)... 19 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Đường đi và chu trình Cho một đồ thị G. Một đường đi P trong G là một dãy các cạnh nối tiếp có chung đầu mút v 0 v 1 , v 1 v 2 , , v k-1 v k . Ký hiệu: P = v 0 v 1 v k hay P = v 0 v 1 v k k (số cạnh tạo thành P) được gọi là chiều dài của P. Ký hiệu l(P) = k. e 1 e 2 e k 31 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Một đồ thị có hướng gọi là cân bằng (balanced) nếu mọi đỉnh của . uươ ớ ệ -Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi là 1 đồ thị con (sub graph) của đồ thị G = (V, E) nếu V’ ⊂ V và E’ ⊂ E.ABCDEB’C’A’E’ 8Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ -Đồ thị có. uươ ớ ệĐịnh lý 1.1:Với mọi đồ thị G = (V, E), ta có:Hệ quả 1.1:Tổng số bậc của các đỉnh bậc lẻ trong 1 đồ thị là 1 số chẵnHệ quả 1.2: Mọi đồ thị đều có