Lý thuyết đồ thị

Trang 1

Lý thuyết đồ thị

Chương 1: Giới thiệu

Trang 2

 Định nghĩa:

Đồ thị (graph) G = (V,E) là một bộ gồm 2 tập hợp các đỉnh (vertices) V (VØ) và các cạnh (edges) E

Mỗi cạnh tương ứng với 2 đỉnh Nếu cạnh e tương ứng với 2 đỉnh v, w thì ta nói v và w là 2 đỉnh liên

kết hay kề (adjacent) với nhau và e được gọi là tới

các đỉnh v, w Ký hiệu hay v w.

vw

Trang 3

D

Cạnh không phân biệt thứ tự của đỉnh được gọi

là cạnh vô hướng Đồ thị bao gồm các cạnh vô hướng được gọi là đồ thị vô hướng.

Trang 4

 Định nghĩa:

- Cạnh uv tương ứng với 2 đỉnh trùng nhau gọi

là vòng (loop) hay khuyên.

A

B

C

Trang 5

- Hai cạnh phân biệt cùng tương ứng với một

cặp đỉnh gọi là 2 cạnh song song (parallel

edge).

A

B

C

Trang 6

- Đồ thị không có cạnh song song và khuyên được gọi là đơn đồ thị (simple graph), ngược lại là đa đồ thị (multi graph)

Trang 7

- Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi là 1 đồ thị con (sub

graph) của đồ thị G = (V, E) nếu V’  V và E’

 E

A

B

C D

C’

A’

E’

Trang 8

- Đồ thị có số đỉnh và số cạnh hữu hạn gọi là

đồ thị hữu hạn (finite graph), ngược lại là đồ thị vô hạn (infinite graph).

Trang 9

 Biểu đồ

C D

Trang 10

 Bậc của một đỉnh

- Bậc (degree) của một đỉnh v, ký hiệu là d(v),

chính là số cạnh tới đỉnh đó Mỗi vòng tại một đỉnh sẽ được xem như 2 cạnh tới đỉnh đó

- Nếu d(v) = 0, v được gọi là đỉnh cô lập (isolated vertex).

- Nếu d(v) = 1, v được gọi là đỉnh treo (perdant vertex), cạnh tới đỉnh treo được gọi là cạnh treo (perdant edge).

- Đồ thị mà mọi đỉnh đều là đỉnh cô lập được gọi

là đồ thị rỗng (null graph)

Trang 11

 Bậc của các đỉnh:

A: 2B: 5C: 0 (đỉnh cô lập)D: 2

E: 1 (đỉnh treo)F: 4

D E

F

Z T

G

G’

Trang 12

- Đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau được

gọi là đồ thị đầy đủ (complete graph) Đồ thị

đầy đủ có n đỉnh được ký hiệu là Kn

A

B

C D

E

Trang 13

- Đồ thị bù của một đồ thị G, ký hiệu là G, là

một đồ thị có cùng đỉnh với G và có các cạnh

là những cạnh mà ta phải bổ sung vàođể G trở thành đầy đủ

Trang 14

 Định lý 1.1:

Với mọi đồ thị G = (V, E), ta có:

 Hệ quả 1.1:

Tổng số bậc của các đỉnh bậc lẻ trong 1 đồ thị là 1 số chẵn

 Hệ quả 1.2:

Mọi đồ thị đều có một số chẵn các đỉnh bậc lẻ







V v

E v

d ( ) 2

Trang 15

 Hệ quả 1.3:

Đồ thị Kn có n(n-1) cạnh

2 1

Trang 16

 Biểu diễn đồ thị - Danh sách kề

Trang 17

Trang 18

Tổng các phần tử trên hàng (hoặc cột) thứ i của ma trận kề của đồ thị G có n đỉnh bằng bậc của đỉnh vi của đồ thị ấy, nghĩa là:

) (

Trang 19

 Đường đi và chu trình

Cho một đồ thị G Một đường đi P trong G là một dãy các cạnh nối tiếp có chung đầu mút

Trang 20

 Đường đi P: EACB

 l(P) = 3A

B

C E

D

Trang 21

 Một chu trình (cycle) trong G là một đường

đi trong G có dạng c=v0v1 vk-1v0 với l(c)  1

 Một đường đi (hoặc chu trình) được gọi là

sơ cấp nếu nó không đi qua đỉnh nào quá

một lần Một đường đi (hoặc chu trình) được gọi là đơn giản nếu nó không đi qua cạnh

nào quá một lần

Trang 22

 ABCA là một chu trình đơn giản và sơ cấp

 ACB là một đường đi đơn giản và sơ cấp

 EABCAD là một đường đi đơn giản nhưng không sơ cấp

 EACBADE là một chu trình đơn giản nhưng không sơ cấp

A

B

C E

D

Trang 23

 Liên thông

Một đồ thị được gọi là liên thông (connected) nếu mọi

cặp đỉnh của nó đều được nối với nhau bởi một

đường đi.

A

B E

Trang 24

 Xét G = (V, E) là một đồ thị vô hướng Trên tập hợp V, ta định nghĩa một quan hệ ~ như sau:

v, w V, v ~ w  có 1 đường đi trong G giữa

v và w Khi đó:

~ là một quan hệ tương đương trên V và ~ phân hoạch V thành các lớp tương đương Mỗi lớp

tương đương này ứng với một đồ thị con liên

thông của G và được gọi là một thành phần liên

thông (connected component) của G.

Trang 25

 Hai thành phần liên thông bất kỳ của G thì

Trang 26

Một đơn đồ thị G có n đỉnh và k thành phần thì có tối đa là

(n – k)(n – k + 1) cạnh

2 1

Trang 27

 Đẳng hình

Hai đồ thị G = (V, E) và G’ = (V’, E’) gọi là

đẳng hình (isomorphic) với nhau nếu có 1

song ánh giữa hai tập hợp V, V’ và 1 song

ánh giữa 2 tập hợp E, E’ sao cho nếu cạnh e

= vw  E tương ứng với cạnh e’ = v’w’  E’ thì cặp đỉnh v, w  V cũng là tương ứng của cặp đỉnh v’, w’  V’

Trang 28

A

B

C D

Trang 29

 Đồ thị có hướng

Nếu mỗi cạnh e  E của G được xác định bởi một cặp có thứ tự (v, w) của 2 định v, w  V thì

ta nói e là 1 cạnh có hướng từ v đến w, ký hiệu

e = vw, và đồ thị G khi này được gọi là một đồ

thị có hướng (directed graph).

- v được gọi là đỉnh đầu (initial vertex).

- w được gọi là đỉnh cuối (terminal vertex).

Trang 30

- e được gọi là tới ngoài (incident out) đỉnh v

và tới trong (incident in) đỉnh w.

- Số cạnh tới ngoài đỉnh v gọi là bậc ngoài (out degree) của v, ký hiệu dout(v); số cạnh tới

trong đỉnh w gọi là bậc trong (in degree) của

w, ký hiệu din(w)

C D

E

Trang 31

 Một đồ thị có hướng gọi là cân bằng

(balanced) nếu mọi đỉnh của nó đều có bậc

trong và bậc ngoài bằng nhau

C D

Trang 32

 Đồ thị có hướng G gọi là liên thông nếu đồ thị

vô hướng tương ứng của nó là liên thông

 Một đường đi P trong một đồ thị có hướng G

là một dãy hữu hạn các cạnh nối tiếp v0v1,

v1v2, , vk-1vk P còn được viết là: v0v1 vk

C D

E

Trang 33

 Một đồ thị có hướng G gọi là liên thông mạnh (strongly connected) nếu với mọi cặp đỉnh

phân biệt v, w luôn luôn tồn tại 1 đường đi

nối v với w

C

Trang 34

 Một chu trình trong đồ thị có hướng G là một đường đi trong G có dạng v0v1 vkv0

 Đồ thị có hướng G gọi là đầy đủ nếu đồ thị vô hướng tương ứng của nó là đầy đủ

C D

E

Trang 35

Trong một đồ thị có hướng G, tổng các bậc trong và tổng các bậc ngoài của các đỉnh thì bằng nhau và cùng bằng số cạnh của G

n

m v

Trang 36

- Đường đi, chu trình

- Miền liên thông, liên thông mạnh

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	176 KB