Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi.. Để kí hiệu một phân số có tử số bằng a mẫu số bằng b với a là s
Trang 1CHỦ ĐỀ 1: BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ
I KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Tính số lượng số hạng của dãy số cách đều:
Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + 1(d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp)
2 Tính tổng của dãy số cách đều:
3 Tìm số hạng thứ n trong dãy số cách đều:
số cuối = (số số hạng - 1) khoảng cách + số đầu
Trang 2b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên
Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91 Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501
Hãy tìm công thức biểu diễn các dãy số trên
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, biểu diễn là 2k+ 1, k ∈NCác số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là 2k, k ∈N)
III LUYỆN TẬP
Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……
Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27,…,…,…
Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
Trang 3a) Dãy số được viết theo quy luật nào?
b) Số 2009 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?
Bài 6: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……
a) Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?
b) Số 2009 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
Bài 7: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,
a) Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo
b) Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?
Bài 8: Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68 Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Bài 9: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992 Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Bài 10: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?
Bài 11: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,…
a Tìm số hạng thứ 100 của dãy
b Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
Bài 12: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?
Bài 13: Tìm số số hạng của các dãy số sau:
a 1, 4, 7, 10, ……,1999
b 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0
Bài 14: Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010?
Bài 15: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật:
a) 3, 8, 15, 24, 35,… b) 3, 24, 63, 120, 195,… c) 1, 3, 6, 10, 15,… Bài 16: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó Bài 17: Một quyển sách có 234 trang Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số
Bài 18: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số
Bài 19: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số Hỏi quyển sách
đó có bao nhiêu trang?
Bài 20: Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6,
8 để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 để ghi các nhà ở dãy trái của đường phố đó Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biếtrằng khi đánh thứ tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy Bài 21: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào?
Bài 22: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào?
Bài 23: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó
Bài 25: Cho dãy số: 1, 2, 3, , n Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 136
Bài 26: Cho dãy số: 21, 22, 23, , n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + + n = 4840
3
Trang 4Bài 27: Cho biết: 1 + 2 + 3 + + n = 345 Hãy tìm số n
Bài 28: Tìm số n biết rằng: 98 + 102 + + n = 15050
Bài 29: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106 Bài 30: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên
Bài 31: Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195 Tính tổng các chữ số trong dãy?
CHỦ ĐỀ 2: BÀI TẬP VỀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
2 Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng không đổi.
3 Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị.
4 Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số bị trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị.
7 Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị
giảm đi n lần thì tích không thay đổi
8 Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì
tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi n lần,các thừa
số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần (n > 0)
Trang 54 a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
5 Trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ
nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần
6 Trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ
nguyên thì thương giảm đi n lần và ngược lại
7 Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n lần (n > 0)
thì thương không thay đổi
E TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
1 Biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ có phép cộng và phép trừ (hoặc chỉ có phép
nhân và phép chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải
2 Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì ta thực
hiện các phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng trừ sau
3 Biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn trước,
các phép tính ngoài dấu ngoặc đơn sau
II BÀI TẬP:
Dạng 1 Tính nhanh :
*Chú ý: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo
giữa 2 chữ số đó Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị váo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục.
5
Trang 66
Trang 7k) 136.23 + 136.17 – 40.36
l) 17.93 + 116.83 + 17.23
m)19.27 + 47.81 + 19.20n) 87.23 + 13.93 + 70.87
g 1+6+11+16+ +46+51
h i 49-51+53-55+57-59+61-63+65
7
Trang 812 26 108 26
− +
− +
− +
Trang 9Bài 4: Tỡm số tự nhiờn x biết
o) (x + 73) – 26 = 76
w) 140 : (x – 8) = 7x) 4(x + 41) = 400
Trang 102 Những số có tân cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
3 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
4 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
5 Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
6 Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
7 Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
8 Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.
9 a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m (m > 0) thì tổng a + b và hiệu a- b (a > b)
cũng chia hết cho m
Trang 1110 Cho một tổng có một số hạng chia cho m dư r (m > 0), các số hạng còn lại chia
hết cho m thì tổng chia cho m cũng dư r
11 a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì (a - b) chia hết cho m ( m > 0).
12 Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m >0).
13 Nếu a chia hết cho m đồng thời a cũng chia hết cho n (m, n > 0) Đồng thời m và
n chỉ
cùng chia hết cho 1 thì a chia hết cho tích m x n
Ví dụ: 18 chia hết cho 2 và 18 chia hết cho 9 (2 và 9 chỉ cùng chia hết cho 1) nên 18chia hết cho tích 2 x 9
14 Nếu a chia cho m dư m - 1 (m > 1) thì a + 1 chia hết cho m.
15 Nếu a chia cho m dư 1 thì a - 1 chia hết cho m (m > 1).
1 Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi tổng các chữ số ở vị trí lẻ bằng tổng các chữ số ở vị tríchẵn và chỉ những số đó mới chia hết cho 11
2 Dấu hiệu chia hết cho 4, 25
Những số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 (hoặc 25) thì chia hết cho 4 (hoặc25) và chỉ những số đó mới chia hết cho 4 (hoặc 25)
3 Dấu hiệu chia hết cho 8, 125
Những số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 (hoặc 125) thì chia hết cho 8 (hoặc125) và chỉ những số đó mới chia hết cho 8 (hoặc 125)
II BÀI TẬP:
11.1 Trong các số sau số nào chia hết cho 2 , số nào chia hết cho 5 ?
7123; 4980; 308;7775; 6922; 981
11.2 Điền chữ số thích hợp vào dấu * sao cho số :
a) 11 * chia hết cho 2 b) * 15 chia hết cho 5 c)22 * không chia hết cho 2 d) 219 * không chia hết cho 5
11.3 Cho số có 3 chữ số A = x5 y
a) Tìm các chữ số x,y để A chia hết cho 2 b) Tìm các chữ số x,y để A chia hết cho 5 c) Tìm các chữ số x,y để A chia hết cho cả 2 và 5
11.4 Từ 3 chữ số 8,5,1
a) Hãy viết tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau b) Hãy viết tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2 c) Hãy viết tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5
$12 12.1 Cho các số 234 ; 607 ; 22224 ; ;9654; 2043; 2046 Trong các số đó :
a) Số nào chia hết cho 3 ? b) Số nào chia hết cho 9 ?
Trang 12b) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
12.2 Điền số thích hợp vào dấu * sao cho số :
a) 35 * chia hết cho 3 b) 57 * 2chia hết cho 3 c)25 *chia hết cho 9 d)7 * 3 chia hết cho 9
Bài 1: Trong các số: 4827; 5670; 6915; 2007
a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?
Bài 2: Trong các số: 825; 9180; 21780.
a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?
Bài 3:
a) Cho A = 963 + 2493 + 351 + x với x ∈ N Tìm điều kiện của x để A chia hết cho 9, để A không chia hết cho 9.
b) Cho B = 10 + 25 + x + 45 với x ∈ N Tìm điều kiện của x để B chia hết cho 5,
B không chia hết cho 5.
Bài 4:
a) Thay * bằng các chữ số nào để được số 73* chia hết cho cả 2 và 9
b) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho cả 2 và 5
c) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho 3 mà không chia hếtcho 9
d) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho cả 2 và 3
e) Thay * bằng các chữ số nào để được số 792* chia hết cho cả 3 và 5
f) Thay * bằng các chữ số nào để được số 25*3 chia hết cho 3 và không chia hếtcho 9
g) Thay * bằng các chữ số nào để được số 79* chia hết cho cả 2 và 5
h) Thay * bằng các chữ số nào để được số 12* chia hết cho cả 3 và 5
i) Thay * bằng các chữ số nào để được số 67* chia hết cho cả 3 và 5
j) Thay * bằng các chữ số nào để được số 277* chia hết cho cả 2 và 3
k) Thay * bằng các chữ số nào để được số 5*38 chia hết cho 3 nhưng không chiahết cho 9
l) Thay * bằng các chữ số nào để được số 548* chia hết cho cả 3 và 5
m)Thay * bằng các chữ số nào để được số 787* chia hết cho cả 9 và 5
n) Thay * bằng các chữ số nào để được số 124* chia hết cho 3 nhưng không chiahết cho 9
o) Thay * bằng các chữ số nào để được số *714 chia hết cho 3 nhưng không chiahết cho 9
Bài 5: Tìm các chữ số a, b để:
Trang 13Số 4a12b chia hết cho cả 2; 5 và 9
b) Số 5a43b chia hết cho cả 2; 5 và 9
c) Số 735a2b chia hết cho5 &9 không chia hết cho 2
d) Số 5a27b chia hết cho cả 2; 5 và 9
e) Số 2a19b chia hết cho cả 2; 5 và 9
f) Số 7a142b chia hết cho cả 2; 5 và 9
g) Số 2a41b chia hết cho cả 2; 5 và 9
Số 40ab chia hết cho cả 2; 3 và 5
Bài 6: Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và 953 <
n < 984
Bài 7:
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số sao cho số đó chia hết cho 9
b) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số sao cho số đó chia hết cho 3
Bài 8: khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư là 12 hỏi a có chia hết cho 4
không? Có chia hết cho 9 không
Bài 9*:
a) Từ 1 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 5
b) Tổng 1015 + 8 có chia hết cho 9 và 2 không?
c) Tổng 102010 + 8 có chia hết cho 9 không?
d) Tổng 102010 + 14 có chí hết cho 3 và 2 không
e) Hiệu 102010 – 4 có chia hết cho 3 không?
Bài 10*:
a) Chứng tỏ rằng ab(a + b) chia hết cho 2 (a;b ∈ N)
b) Chứng minh rằng ab + ba chia hết cho 11
c) Chứng minh aaa luôn chia hết cho 37
Chứng minh aaabbb luôn chia hết cho 37
Bài 11:
Tìm x ∈ N, biết:
b) x 25 và x < 100 d*) x + 16 x + 1
Trang 14Bài 12*:
a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 3 không?
b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 không?
c) Chứng tỏ rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3
d) Chứng tỏ rằng trong bốn số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 4
b/ Vì chữ số tận cùng của B là 5 nên BM5 khi * ∈ {0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9}
c/ Không có giá trị nào của * để BM2 và BM5
Bài 3: Thay mỗi chữ bằng một số để:
a/ 972 + 200a chia hết cho 9
b/ 3036 + 52 2a a chia hết cho 3
Hướng dẫn
a/ Do 972 M 9 nên (972 + 200a)M 9 khi 200a M 9 Ta có 2+0+0+a = 2+a, (2+a)M9 khi a = 7.b/ Do 3036 M 3 nên 3036 + 52 2a a M 3 khi 52 2a a M 3 Ta có 5+2+a+2+a = 9+2a, (9+2a)M3khi 2aM3 ⇒ a = 3; 6; 9
Bài 4: Điền vào dẫu * một chữ số để được một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết
Trang 15(999a+ 99b+ 9 ) 9c M nên abcdM 9khi (a b c d+ + + ) 9 M
Do đó 8260 có 8 + 2 + 6 + 0 = 16, 16 chia 9 dư 7 Vậy 8260 chia 9 dư 7
Tương tự ta có:
1725 chia cho 9 dư 6
7364 chia cho 9 dư 2
105 chia cho 9 dư 1
Ta cũng được
8260 chia cho 3 dư 1
1725 chia cho 3 dư 0
7364 chia cho 3 dư 2
105 chia cho 3 dư 1
Bài 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất đồng thời chia hết cho 2, 3, 5, 9, 11, 25
Trang 16Bài 3: a/ Viết tập hợp các số x chia hết cho 3 thoả mãn: 250 ≤ x ≤ 260
b/ Viết tập hợp các số x chia hết cho 9 thoả mãn: 185 ≤ x ≤ 225
Hướng dẫn
a/ Ta có tập hợp các số: 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260
Trong các số này tập hợp các số chia hết cho 3 là {252, 255, 258}
b/ Số đầu tiên (nhỏ nhất) lớn hơn 185 chia hết cho 9 là 189; 189 +9 = 198 ta viết tiếp
số thứ hai và tiếp tục đến 225 thì dừng lại có x ∈{189, 198, 207, 216, 225}
Bài 4: Tìm các số tự nhiên x sao cho:
c/ Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, x∈Ư(12) và 3 < ≤x 12 nên x∈{3, 4,6,12}
d/ 35 xM nên x∈Ư(35) = {1; 5; 7; 35} và x< 35 nên x∈{1;5;7}
Dạng 3:
Bài 1: Một năm được viết là A abcc= Tìm A chia hết cho 5 và a, b, c ∈ {1,5,9}
Hướng dẫn
A M 5 nên chữ số tận cùng của A phải là 0 hoặc 5, nhưng 0 ∉{1,5,9} , nên c = 5
Bài 2: a/ CMR Nếu tổng hai số tự nhiên không chia hết cho 2 thì tích của chúng chia
b/ - Nếu a và b cùng chẵn thì ab(a+b)M2
- Nếu a chẵn, b lẻ (hoặc a lẻ, b chẵn) thì ab(a+b)M2
- Nếu a và b cùng lẻ thì (a+b)chẵn nên (a+b)M2, suy ra ab(a+b)M2
Trang 17Vậy nếu a, b ∈N thì ab(a+b)M2
suy ra 6100 – 1 có chữu số hàng đơn vị là 5 Vậy 6100 – 1 chia hết cho 5
b/ Vì 1n = 1 (n N∈ ) nên 2120 và 1110 là các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 1, suy
ra 2120 – 1110 là số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 0 Vậy 2120 – 1110 chia hết cho 2
và 5
Bài 4: a/ Chứng minh rằng số aaa chia hết cho 3
b/ Tìm những giá trị của a để số aaachia hết cho 9
Hướng dẫn
a/ aaa có a + a + a = 3a chia hết cho 3 Vậy aaa chia hết cho 3
b/ aaachia hết cho 9 khi 3a (a = 1,2,3,…,9) chia hết cho 9 khi a = 3 hoặc a = 9
CHỦ ĐỀ 3: BÀI TẬP VỀ PHÂN SỐ
I KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I.Khái niệm phân số :
1 Để kí hiệu một phân số có tử số bằng a mẫu số bằng b (với a là số tự nhiên , b
là số tự nhiên khác 0)ta viết b a.(đọc là: a phân b)
a gọi là: tử số (tử số a chỉ số phần được lấy đi)
b gọi là mẫu số (Mẫu số b chỉ số phần bằng nhau được chia ra trong một đơn vị)
Phân số b a còn được hiểu là thương của phép chia a cho b
2 Mỗi số tự nhiên a có thể coi là phân số có mẫu số bằng 1: a = 1a
3 Phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1 có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1 và có tử số băng mẫu số thì phân số bằng 1
4 Nếu nhân cả tử số và mấu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho
b
a bxn
Trang 187.Nếu ta cộng thêm vào cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tư nhiên
thì hiệu của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi
8 Nếu ta trừ cả tử số và mẫu số của một phân số đi cùng một số tự nhiên thi hiệu giữa
tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi
9 Nếu ta cộng thêm vào tử số đồng thời bớt đI ở mẫu số của một phân số với cùng một
số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi
9 Nếu ta bớt đi ở tử số đồng thời thêm vào mẫu số của một phân số với cùng một số tự
nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi
II TÍNH CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ
1 Khi ta cùng nhân hoặc cùng chia cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số
tự nhiên lớn hơn 1, ta đươc một phân số mới bằng phân số ban đầu
2 Biểu diễn phân số trên tia số:
- Vẽ tia số, gốc là điểm 0, đoạn đơn vị là từ 0 đến 1
- Căn cứ vào mẫu số, chia đoạn đơn vị ra những phần bằng nhau
- Ghi phân số ứng với mỗi điểm chia (dựa vào tử số)
+ Trên tia số, các phân số bằng nhau được biểu diễn bởi một điểm duy nhất
+ Trên tia số, với hai phân số khác nhau được biểu diễn bởi hai điểm khác nhau và điểmbiểu diễn phân số lớn ở bên phải điểm biểu diễn phân số nhỏ
3 Vận dụng tính chất cơ bản của phân số:
3.1 Phân số tối giản:
- Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số tự nhiênnào khác 1