KIẾN THỨC TỔNG QUÁT THCS

Tổng hợp kiến thức toán THCS Đại số: Tập hợp, các khái niệm về ẩn số, hằng số, các loại phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, các bất đẳng thức thông dụng ... Hình học: khái niệm điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tia, tiên để Euclide, Các loại tam giác và đường đặc biệt trong tam giác, hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp, vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng, vị trí tương đối điểm và đường tròn, các góc đặc biệt trong đường tròn ...

longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 1 ĐẠI SỐ Tập hợp: ; ; ; (nếu thêm dấu * vào thì có nghĩa là các tập hợp ấy không chứa phần tử 0) *; *; *; * Phép toán: + (-); . (/) (phép trừ là phép cộng với phần tử đối, phép chia là phép nhân với phần tử nghịch đảo) Lũy thừa: . n nthuaso a a a a Một số phép toán cơ bản với lũy thừa: (bắt nguồn từ tính chất của phép nhân)   0 . 1 . 1 m n m n n m m n n n a a a a aa a a       Ngoài ra: Nếu 2n thì điều kiện xác định là 0a  . Ngược lại ta không cần điều kiện cho a. Phép lấy giá trị tuyệt đối:   2 2 ,0 ,0 aa a aa aa aa         Một số khái niệm cơ bản: Hằng số (đối số): là những giá trị đã biết (hoặc được cho là đã biết) trong phương trình. Kí hiệu thường dùng: a,b,c,m,n,… Biến số (ẩn số): là những con số mà đề bài đặt ra và yêu cầu tìm. Kí hiệu thường dùng: x,y,z,t,… Bậc của một đa thức (một biến số): Đa thức là tổ hợp của nhiều đơn thức, mỗi đơn thức gồm tích của một hằng số và một số biến số. Đa thức một biến có bậc là n nếu n là số mũ cao nhất của biến trong một đơn thức nào đó của nó. Các hằng đẳng thức:              2 22 22 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 33 2 2 2 a b a ab b a b a b a b a b a a b ab b a b a b a ab b a b c a b c ab ac bc                          1 n n aa longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 2 Đa thức bậc nhất một ẩn số: Đa thức bậc nhất có dạng: f(x)=ax+b ( 0a  ) Giải phương trình   00 b f x ax b x a        Một số dạng phương trình đưa về phương trình bậc nhất một ẩn số: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:   0f x ax b   ta giải quyết trên từng đoạn xác định dấu của phương trình dựa theo ẩn số để đưa về các phương trình bậc nhất và tìm nghiệm Phương trình chứa căn thức:   0f x ax b   Đặt điều kiện của x để biểu thức dưới dấu căn có giá trị dương sau đó bình phương 2 vế của phương trình để đưa về lại phương trình bậc nhất một ẩn số và giải. Đa thức bậc hai một ẩn số: Đa thức bậc hai một ẩn số có dạng:   2 f x ax bx c   Giải phương trình bậc hai: 2 0ax bx c   + Nếu: a+b+c=0 thì pt có 2 nghiệm: 1 2 11xx cc xx aa                 + Nếu: a+b-c=0 thì pt có 2 nghiệm: 1 2 11xx cc xx aa                      Nếu phương trình bậc 2 không có các hệ số rơi vào 2 dạng đặc biệt trên thì ta tiến hành: + Lập biệt thức : 2 4b ac   Nếu 0 : Phương trình vô nghiệm Nếu 0 : Phương trình có nghiệm kép: 12 22 bb x x x aa         Nếu 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 22 22 bb xx aa bb xx aa                               + Lập biệt thức: 2 ''b ac   (với 1 ' 2 bb ) Nếu 0 : Phương trình vô nghiệm Nếu 0 : Phương trình có nghiệm kép: 12 ''bb x x x aa         Nếu 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 ' ' ' ' ' ' ' ' bb xx aa bb xx aa                               longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 3 Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai: Phương trình trùng phương: 42 0ax bx c   Đặt t= 2 0x  sau đó giải phương trình bậc 2 theo ẩn t: 2 0at bt c   . Nhận các nghiệm t không âm và giải x. Liên hệ giữa hệ thức Viet và phương trình bậc hai: Nếu ta có 2 số u và v bất kì. Đặt     12 12 S u v x x P uv x x           Khi đó u và v là nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn: 2 0x Sx P   (tức là phương trình trên sẽ có 2 nghiệm và 2 nghiệm đó lần lượt bằng u và v (hay lần lượt bằng 1 x và 2 x )) Đa thức một ẩn số bậc cao hơn bậc 2: Đa thức bậc cao hơn hai có dạng :   1 1 1 0 nn nn f x a x a x a x a        Giải phương trình có bậc cao hơn hai: 1 1 1 0 0 nn nn a x a x a x a        Yêu cầu: Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng cách solve hoặc nhẩm nghiệm Sau khi đã tìm được nghiệm nào đó của phương trình, ta thực hiện các phép chia Horner cho đến khi phương trình chỉ còn lại nhân tử bậc 2 hoặc bậc 3. Tiến hành giải nghiệm của phương trình bậc 2 hoặc bậc 3 này Phép chia Horner: “Đầu rơi, nhân ngang, cộng chéo” Sau khi thực hiện phân tích f(x) thành nhân tử. Khi đó: f(x)=0  từng nhân tử bằng 0 Đa thức hai ẩn số bậc nhất: (lưu ý khái niệm bậc của đa thức nhiều ẩn số có một số mở rộng so với đa thức một ẩn số) Đa thức hai ẩn số có dạng:   f x ax by c   Khi cho f(x)=0 ta có: 0ax by c   Đây được gọi là một hàm số. Biểu thị một đường thẳng trên hệ trục tọa độ Oxy. Đường thẳng đó là tập hợp tất cả các điểm (x;y) thỏa mãn phương trình ax+by+c=0 Khi 0 ac b by ax c y x bb          Để cho ngắn gọn ta viết: y=Ax+B (với ; ac AB bb     ); A được gọi là Hệ số góc của đường thẳng. Lưu ý dạng y=Ax+B là dạng tổng quát của đường thẳng trong hệ trục tọa độ Oxy, dạng này không biểu thị được đường thẳng có dạng x=C (khi b=0 thì 0 c ax c x a      ,đặt c C a  ) bao hàm trong dạng ax+by+c=0 . Nếu (d’): y=A’x+B’; (d): y=Ax+B . Nếu (d)//(d’) hoặc (d) vuông góc (d’) thì ta có:         ' / / ' : ' ' : . ' 1 AA dd BB d d A A              Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số: Đây là hệ phương trình có dạng: 0 ' ' ' 0 ax by c a x b y c          Đây là loại hệ phương trình cơ bản, ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng hoặc thế. Ngoài ra còn có một số loại hệ phương trình nâng cao. Cần sử dụng linh hoạt và hợp lý các phương pháp đặt ẩn số phụ, một số bất đẳng thức cơ bản để giải. longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 4 Bất phương trình: (bất đẳng thức) Lưu ý cơ bản khi giải quyết bất đẳng thức: Khi nhân 2 vế của bất đẳng thức cho một số âm (khác 0) thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều. Một số bất đẳng thức thông dụng: Bất đẳng thức Cauchy: Với n số không âm: 12 ; ; ; 0 n a a a  ta có: 12 12 . n n n a a a a a a n     Dấu “=” xảy ra khi: 12 n a a a   Bất đẳng thức Bunhiacopxki (hay còn gọi là BDT BCS (Bunhiacopxki – Cauchy – Swatch)) Với mọi bộ số 1 2 1 2 ; ; ; ; ; ; ; nn a a a b b b bất kì ta có:      2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n a b a b a b a a a b b b          Dấu “=” xảy ra khi: 12 12 n n a aa b b b    longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 5 HÌNH HỌC : Điểm Đoạn thẳng Tia Đường thẳng Góc Các tiên đề Ơclit: Các cặp góc so le trong, so le ngoài, đối đỉnh, đồng vị là bằng nhau Các cặp góc trong cùng phía, ngoài cùng phía có tổng số đo bằng 180 độ Tam giác: Tam giác có tổng số đo 3 góc bằng 180 độ Các dạng tam giác đặc biệt: Tam giác cân: Là tam giác có 2 cạnh bên bằng nhau, 2 góc đáy bằng nhau. Đường cao của tam giác cân (xuất phát từ đỉnh cân) cũng chính là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của đỉnh đó. (Tam giác cân có 1 đường cao có tính chất này) longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 6 Tam giác đều: Là tam giác có 3 cạnh bằng nhau, 3 góc bằng nhau đều bằng 60 độ. Cả 3 đường cao của tam giác đều đều là đường phân giác, trung tuyến, trung trực. Tam giác vuông: Là tam giác có 1 góc vuông. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Định lý Pitago: 2 2 2 BC AB AC 2 2 2 2 2 2 . . . 1 1 1 AB BC BH AC BC CH AH HB HC AB AC BC AH AH AB AC      Đường cao: Kẻ từ đỉnh, vuông góc với cạnh đối diện. Giao điểm 3 đường cao được gọi là trực tâm. Đường trung tuyến: Kẻ từ đỉnh, qua trung điểm cạnh đối diện Giao điểm 3 đường trung tuyến là trọng tâm. Nằm ở 2/3 kể từ đỉnh. Đường phân giác: Kẻ từ đỉnh, chia góc làm 2 góc bằng nhau. Giao điểm 3 đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp. Giả sử AM là đường phân giác kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC (M thuộc BC). Khi đó ta có tỉ số sau: AB BM AC CM  Tỉ số này cũng đúng đối với đường phân giác ngoài của tam giác. Đường trung trực: qua trung điểm và thẳng góc với cạnh đó. Giao điểm 3 đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp. longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 7 Hai tam giác bằng nhau: Hai tam giác thường: Có 3 trường hợp Cạnh – Cạnh – Cạnh (2 tam giác có 3 cặp cạnh đôi một bằng nhau) Cạnh – Góc – Cạnh (2 tam giác có 1 cặp góc bằng nhau xen giữa 2 cặp cạnh đôi một bằng nhau) Góc – Cạnh – Góc (2 tam giác có 1 cặp cạnh bằng nhau xen giữa 2 cặp góc đôi một bằng nhau) Hai tam giác vuông: (mỗi tam giác đã có sẵn 1 góc vuông) Cạnh huyền – góc nhọn (cặp cạnh huyền của 2 tam giác bằng nhau và 1 cặp góc nhọn của 2 tam giác bằng nhau) Cạnh huyền – cạnh góc vuông (cặp cạnh huyền của 2 tam giác bằng nhau và 1 cặp cạnh góc vuông của 2 tam giác bằng nhau) 2 cặp cạnh góc vuông đôi một bằng nhau Hai tam giác đồng dạng: Hai tam giác thường: Có 3 trường hợp Cạnh – Cạnh – Cạnh (2 tam giác có 3 cặp cạnh đôi một tỉ lệ) Cạnh – Góc – Cạnh (2 tam giác có 1 cặp góc bằng nhau xen giữa 2 cặp cạnh đôi một tỉ lệ) Góc – Góc (2 tam giác có 2 cặp góc đôi một bằng nhau) Hai tam giác vuông: 1 cặp góc nhọn bằng nhau 2 cặp cạnh bất kì đôi một tỉ lệ Tứ giác: tứ giác là hình có 4 cạnh, 4 góc và tổng số đo 4 góc bằng 360 độ Hình thang: là hình có 2 cặp cạnh đối song song. Hình bình hành: là hình có 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau. Hình chữ nhật: là tứ giác có 3 góc vuông Hình thoi: là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. Hình vuông: là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau. longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 8 Dấu hiệu nhận biết: Hình bình hành: - Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành - Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành - Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành - Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành - Hình thang cân có 2 góc đối bằng nhau là hình bình hành Hình thoi: - Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi - Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi - Hình bình hành có 1 đường chéo là phân giác là hình thoi Hình chữ nhật: - Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật - Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật - Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật Hình vuông: - Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông - Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau là hình vuông - Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông - Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc nhau là hình vuông - Hình chữ nhật có các đường chéo là phân giác là hình vuông Ta có sơ đồ dấu hiệu nhận biết các hình: Đường tròn: Cho một điểm O bất kì và một giá trị khoảng cách R>0. Tập hợp tất cả các điểm cách đều O một khoảng không đổi bằng R được gọi là đường tròn tâm O bán kính R. Ký hiệu là : (O;R) Vị trí tương đối giữa đường tròn với điểm, đường thẳng: longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 9 Cung và dây cung: Nếu một đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt thì đường nối hai điểm đó được gọi là dây cung. 2 cung tròn bị chắn bởi dây đó được gọi là hai cung bị chắn. Các loại góc đối với đường tròn: Góc ở tâm: là góc có số đo bằng số đo cung bị chắn. AOB sd AB Góc nội tiếp: là góc có đỉnh nằm trên đường tròn. Có số đo bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung 11 22 AMB AOB sd AB Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung (và bằng số đo góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 10 Góc có đỉnh nằm trong đường tròn có số đo bằng một nửa tổng số đo 2 cung bị chắn.   1 2 sd AB sdCD   Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn: có số đo bằng nửa hiệu số đo 2 cung bị chắn.   1 2 M sd AB sdCD Tứ giác nội tiếp: là tứ giác có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180 độ hoặc có 2 đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau. Lượng giác: sin 1 sin ;tan cos cot doi AC doi AC huyen BC ke AB          cos 1 cos ;cot sin tan ke AB ke AB huyen BC doi AC          Một số công thức liên hệ giữa các giá trị lượng giác của góc: 22 2 2 2 2 sin cos 1 tan .cot 1 1 1 tan cos 1 1 cot sin           Liên hệ giữa các góc và độ dài các cạnh: Cạnh góc vuông = cạnh huyền . sin góc đối = cạnh huyền . cos góc kề = cạnh góc vuông còn lại . tan góc đối = cạnh góc vuông còn lại . cot góc kề . bất đẳng thức cơ bản để giải. longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 4 Bất phương trình: (bất đẳng thức) Lưu ý cơ bản khi giải quyết bất đẳng thức: Khi nhân 2 vế của bất đẳng thức cho một.                     1 n n aa longpham KIẾN THỨC TỔNG QUAN TOÁN THCS 2 Đa thức bậc nhất một ẩn số: Đa thức bậc nhất có dạng: f(x)=ax+b ( 0a  ) Giải phương trình . thường dùng: x,y,z,t,… Bậc của một đa thức (một biến số): Đa thức là tổ hợp của nhiều đơn thức, mỗi đơn thức gồm tích của một hằng số và một số biến số. Đa thức một biến có bậc là n nếu n là số