Phân tích cartan trong đại số lie và cài đặt một số thuật toán lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG ĐÌNH SƠN PHÂN TÍCH CARTAN TRONG ĐẠI SỐ LIE VÀ CÀI ĐẶT MỘT SỐ THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐỖ NGỌC DIỆP Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Người thầy đáng kính, đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, dày công hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin - Cơ học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội nói chung và các thầy cô trong bộ môn Đại số - Hình học - Tô Pô. Các thầy cô đã truyền đạt cho chúng tôi nhiều kiến thức khoa học mới bổ ích và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho chúng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, những người thân đã động viên giúp đỡ trong suốt quá trình học tập thực hiện luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Đặng Đình Sơn 1 MỤC LỤC Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Chương 1 - TỔNG QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. Tổng quan về thuật toán lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.1. Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Thanh ghi lượng tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Đo lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.1.3. Cổng lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.2. Thuật toán lượng tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.2.1 Thuật toán lượng tử mức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2. Mô hình dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2.1. Giới thiệu về nhóm Lie và Đại số Lie của một nhóm Lie. . . . . . . . . 21 2.2. Cấu trúc của su(N) và so(N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2.2.1. Hệ nghiệm của nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2.2.2. Cấu trúc của su(N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 2.2.3. Cấu trúc của so(2N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 3. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2 Chương 2 - PHÂN TÍCH CARTAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 1. Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 2. Phân tích Cartan chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1. Phân tích không gian nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Phân tích Cartan chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. Phân tích su(N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4. Phân tích so(2N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Chương 3 - CÀI ĐẶT MỘT SỐ THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ . . . . . . . 51 1. Phép biến đổi hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2. Cài đặt phép chuyển đổi dịch bít . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. Cài đặt phép biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 4. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 KẾT LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 TÀI LIỆU THAM KHẢO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 3 Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt Trong luận văn này, chúng tôi dùng thống nhất sử dụng các kí hiệu và viết tắt sau: Ký hiệu U(n): nhóm unita cấp n; SU(n): nhóm unita cấp n có định thức bằng đơn vị; SO(n): nhóm trực giao cấp n có định thức bằng đơn vị; u(n): đại số Lie của U(n); su(n): đại số Lie của SU(n); so(n): đại số Lie của SO(n) ; P r(A): xác suất xảy ra biến cố A; G và g : nhóm Lie và đại số Lie tương ứng; T và t : xuyến tối đại chuẩn và đại số Lie tương ứng; H :phép biến đổi Hadamard; F : phép biến đổi Fourier lượng tử ; U f : hộp đen lượng giá hàm mẫu f; Viết tắt Qubit: Bit lượng tử. 4 MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài. Lí thuyết Lie ra đời như một tương tự liên tục cho lí thuyết nhóm Galois. Nó được ứng dụng trước hết vào lí thuyết phương trình vi phân. Mỗi biểu thức bất biến dưới tác động của nhóm Lie cho một tích phân đầu của hệ phương trình vi phân do vậy cho ta phép hạ bậc của hệ. Nói một cách khác khi hệ mô tả chuyển động cơ học hay vật lí thì tích phân đầu cho ta các định luật bảo toàn. Tìm được càng nhiều định luật như vậy hệ càng dễ dàng được giải triệt để. Một ứng dụng khác của lí thuyết Lie là lí thuyết đối xứng trong cơ học và vật lí. Các hệ cơ học và vật lí có đối xứng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hệ cơ học và vật lí nói chung. Mỗi hệ cơ học có nhóm đối xứng tương ứng với một đa tạp symplectic có đối xứng, như không gian thuần nhất. Mỗi hệ lượng tử có đối xứng, tương ứng với một biểu diễn unita của nhóm đối xứng đó. Lí thuyết nhóm lượng tử ra đời như một ứng dụng của nhóm Lie. Năm 1982, Feynman đã khẳng định “một hệ cơ học lượng tử không thể được mô hình bởi các hệ cổ điển, mà chỉ có thể được mô hình bởi một hệ cơ học lượng tử khác” và lần đầu tiên đề xuất sử dụng hệ lượng tử thực hiện 5 việc tính toán, khai sinh ý tưởng sử dụng các hiệu ứng cơ học lượng tử để làm tính toán. Khả năng lưu trữ theo cấp số nhân, kết hợp với một số hiệu ứng như rối lượng tử (quantum entanglement), đã dẫn các nhà nghiên cứu thăm dò sâu hơn vào sức mạnh của máy tính lượng tử. Tính toán lượng tử có khả năng có khả năng cách mạng hóa lĩnh vực khoa học máy tính tuy nhiên, tính toán lượng tử vẫn đang ở trong giai đoạn phôi thai, khả năng của nó có thể đạt bao xa vẫn còn một câu hỏi mở. Có ba hoạt động đang cùng diễn ra trên ba ngành khoa học khác nhau. Các nhà vật lý tìm cách chế tạo ra máy tính lượng tử; các nhà toán học xây dựng các mô hình tính toán lượng tử; và các nhà tin học tìm kiếm các thuật toán lượng tử và xây dựng ngôn ngữ mô phỏng tính toán lượng tử. Trong lúc chờ đợi các nhà vật lý khắc phục được các rào cản công nghệ để xây dựng máy tính lượng tử, các nghiên cứu về thuật toán vẫn phải được tiến hành. Ở Việt Nam, có thể xem việc nghiên cứu về tính toán lượng tử được khởi đầu vào năm 2004 với một số bài báo tổng quan trên Tạp chí Ứng dụng Toán học của Đỗ Ngọc Diệp (2004), Cao Long Vân (2005, 2006); một số báo cáo hội thảo của các thành viên nhóm Phan Trung Huy (2004, 2005, 2006); Luận văn Tiến sĩ Công nghệ thông tin của Huỳnh Văn Đức (2012). Như vậy, xây dựng thuật toán lượng tử là một lĩnh vực rất mới mẻ và có sức hút, cơ hội và tầm quan trọng. Mục đích nghiên cứu. Từ cấu trúc của một số đại số Lie đặc biệt các nhóm biến đổi unita, phân tích Cartan của đại số Lie nửa đơn, hữu hạn chiều xây dựng một số thuật toán phân tích các phép biến đổi. Từ đó cài đặt một số thuật toán lượng tử 6 (Phần chính của một thuật toán lượng tử là các phép biến đổi unita). Đối tượng, phạm vi nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu của luận văn là các phép biến đổi unita. Phạm vi nghiên cứu của luận văn giới hạn trong hộp đen và phép biến đổi trực giao. Phương pháp nghiên cứu. Nghiên cứu thông qua các tài liệu, sách báo, internet. Trình bày hệ thống lại các kiến thức và tường minh các chứng minh. Trao đổi các nghiên cứu với giáo viên hướng dẫn. Ý nghĩa khoa học. Áp dụng thành công công cụ lý thuyết nhóm cho thấy có thể sử dụng được các kết quả của toán học hiện đại trong xây dựng thuật toán lượng tử. Cấu trúc của luận văn. Luận văn gồm 3 chương - Chương 1. Tổng quan. - Chương 2. Phân tích Cartan. - Chương 3. Cài đặt một số thuật toán lượng tử. 7 CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN Có thể xem khác biệt cơ bản của máy tính lượng tử so với máy tính cổ điển nằm ở 2 điểm chính: qubit so với bit, và cổng lượng tử so với phép toán logic. Trong lúc bit chỉ lưu một giá trị 0 hoặc 1, thì qubit lưu đồng thời hai giá trị này ở dạng chồng chất trạng thái mà khi kết hợp lại thành một thanh ghi, thanh ghi cổ điển vẫn chỉ lưu một giá trị còn thanh ghi lượng tử có khả năng lưu tất cả các giá trị quan tâm, cũng dưới dạng chồng chất trạng thái. Ngoài ra trong lúc các phép toán logic nhận các bit đầu vào và trả kết quả cho bit đầu ra, thì các cổng lượng tử tác động lên qubit làm thay đổi chính nó, nghĩa là xử lý đồng thời các giá trị nằm trong thạng thái chồng chất. Như vậy máy tính lượng tử ưu việt hơn máy tính cổ điển ở chỗ nó có khả năng lưu trữ và xử lý đồng thời các giá trị quan tâm. Một thuật toán lượng tử bản chất là một phép biến đổi unita, cài đặt một thuật toán lượng tử là phân tích phân tích các phép biến đổi unita thành các cổng lượng tử (là các phép biến đổi unita cho trước). Đại số Lie so(n) và su(n) là các đại số các phép biến đổi tuyến tính đặc biệt có vai trò rất quan trọng trong việc cài đặt các thuật toán lượng tử. Trong chương này chúng tôi giới thiệu tổng quan về 8 thuật toán lượng tử và một số kiến thức cơ bản về đại số Lie so(n) và su(n). 1 Tổng quan về thuật toán lượng tử 1.1 Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử bao gồm: thanh ghi lượng tử, đo lượng tử, cổng lượng tử. Trong mục này chúng tôi cũng giới thiệu một số phép biến đổi unita quan trọng thường được dùng trong xây dựng các thuật toán lượng tử. 1.1.1 Thanh ghi lượng tử Tại một thời điểm, trong lúc bit cổ điển nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1, thì bit lượng tử (được gọi là qubit) lại nhận đồng thời cả hai giá trị này. Dùng ký hiệu bra-ket (Paul Dirac, 1902-1984), một qubit là một hệ vật lý gồm các trạng thái |b = α 0 |0 + α 1 |1 với α 0 , α 1 là các số phức thỏa mãn |α 0 | 2 + |α 1 | 2 = 1 và {|0, |1} là một cơ sở chính tắc của C 2 . Thanh ghi lượng tử lưu trữ đồng thời các giá trị tính toán hình thành một phân bố xác suất xác định. Một thanh ghi n qubit là một hệ vật lý gồm các trạng thái |ψ = 2 n −1  k=0 α k |k (1.1) với các số phức α k thỏa mãn 2 n −1  k=0 |α k | 2 = 1 và {|k} 2 n −1 k=0 là một cơ sở chính tắc trong (C 2 ) ⊗n . Trạng thái tổng quát (1.1) được gọi là trạng thái chồng chất 9 [...]... chuyển pha 1 và 2 qubit Hình 1.5 Các cổng Pauli Hình 1.6 Cổng CNOT Cài đặt các thuật toán lượng tử Một trong những bài toán chính của tính toán lượng tử là phân tích phép biến đổi unita U ở trên thành các cổng lượng tử, trong đó phép biến đổi unita ứng với một cổng lượng tử được xây dựng nhờ vào tích tensor Trong luận văn này nghiên cứu về phân tích Cartan và ứng dụng cài đặt một số thuật 18 toán liên... −Xxz (1.41) Trong đó x, y, z, u, v ∈ {0, 1, 2, , 7} , x < y < z, u < v 3 Kết luận Chúng tôi đã giới thiệu tổng quan về thuật toán lượng tử, không gian nghiệm và cấu trúc đại số Lie su(N ) và so(2N ); dùng cấu trúc đại số Lie kết hợp với phân tích Cartan trong chương 2 xây dựng thuật toán phân tích số phép biến đổi Nhằm mục đích cài đặt một số thuật toán trong chương 3 33 CHƯƠNG 2 - PHÂN TÍCH CARTAN 1... Một số kiến thức chuẩn bị 2.1 Giới thiệu về nhóm Lie và Đại số Lie của một nhóm Lie Định nghĩa 1.4 Không gian véctơ L với một tích nội (gọi là tích Lie) L × L → L phản xứng, song tuyến tính, (không kết hợp nhưng) thỏa mãn hệ thức Jacobi được gọi là một đại số Lie Không gian véctơ thực một chiều R là một đại số Lie với tích Lie tầm thường [a, b] = 0, không gian véctơ 3 chiều R3 là một đại số Lie với tích. .. tích véctơ trong R3 Không gian véctơ End(Rn ) là một đại số Lie với tích Lie [f, g] = f og − gof Không gian véctơ sln (R) = {M atn (R); T rA = 0} là một đại số Lie với tích Lie [A, B] = AB − BA Không gian véctơ các ma trận thực phản đối xứng, so(n) = {M atn (R); A + At = 0} là một đại số Lie với tích Lie [A, B] = AB − BA Không gian véctơ u(n) = {M atn (C); A + A∗ = 0} là một đại số Lie với tích Lie. .. Xét đại số Lie nửa đơn hữu hạn chiều g, một phân tích không gian véc tơ g=l⊕m (2.1) được gọi là một phân tích Cartan nếu l và m thỏa các quan hệ giao hoán [l, l] ⊂ l, [l, m] ⊂ m, [m, m] ⊂ l (2.2) Khi ấy cặp (l, m) được gọi là một cặp Cartan của g và một đại số con giao hoán cực đại của m được gọi là một đại số con Cartan Với 2 đại số con Cartan a0 , a tùy ý, tồn tại T ∈ em sao cho a = T ea0 T ∗ , trong. .. là nhóm Lie liên kết với m ; số chiều chung của các đại số con Cartan được gọi là hạng của phân tích Định lý 2.1 (Định lý phân tích Cartan) Giả sử g là một đại số Lie nửa đơn hữu hạn chiều với phân tích Cartan 34 g = l ⊕ m Khi ấy với mỗi G ∈ eg , G được phân tích thành G = K1 AK2 (2.3) trong đó K1 , K2 ∈ el và A ∈ ea với a là đại số con giao hoán cực đại của m Nếu l nửa đơn, quá trình phân tích được... hiện thực trên một máy tính lượng tử thật sự Trong mục này chúng tôi giới thiệu thuật toán lượng tử ở mức tổng quát, đơn giản nhất; giới thiệu mô hình 15 dây và minh họa một số thuật toán 1.2.1 Thuật toán lượng tử mức tổng quát Trong tính toán lượng tử bài toán chính là tìm một phép biến đổi unita đưa hệ từ trạng thái |ψ0 về trạng thái |ψ , chứa nhiều thông tin cho phép giải quyết một bài toán nào đó... là đại số con giao hoán bất biến và g1 là nửa đơn giao hoán với g0 , chúng ta có thể thêm g0 vào l1 hoặc m1 trong phân tích Cartan g1 = l1 ⊕ m1 Vì su(N ), với N > 1, là đơn nên là nửa đơn và u(N ) = u(1) ⊕ su(N ) định lý phân tích Cartan có thể được dùng để phân tích các phép biến đổi unita, qua đó xây dựng thuật toán lượng tử Chúng ta có các phân tích khác nhau, tùy thuộc vào việc chọn đại số con Cartan. .. là một đại số Lie Định nghĩa 1.5 Nhóm Lie G là một đa tạp đồng thời là một nhóm mà các ánh xạ lấy tích hai phần tử và ánh xạ lấy phần tử ngược là ánh xạ trơn Tập R các số thực với phép cộng là một nhóm Lie (cộng tính).Tập R∗ tập các số thực khác 0 với phép nhân là một nhóm Lie (nhân tính) Đường tròn đơn vị S 1 = {z ∈ C; |z| = 1} với phép nhân hai số phức là một nhóm Lie Tích Descartes của hai nhóm Lie. .. u(n) Định nghĩa 1.8 Đại số Lie g gọi là nửa đơn nếu nó không chứa một ideal Abel nào khác (0) su(n) là một đại số Lie nửa đơn Quan hệ giữa g và G được cho bởi các ánh xạ: Ánh xạ mũ: Theo định lí Ado: Mọi đại số Lie đều là đại số Lie (con) các matrận Do đó ánh xạ mũ được định nghĩa như sau (trong khuôn khổ luận văn này chúng ta chỉ chỉ xét các đại số Lie so(N ), u(N ), su(N ) đều là đại số các ma trận) . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG ĐÌNH SƠN PHÂN TÍCH CARTAN TRONG ĐẠI SỐ LIE VÀ CÀI ĐẶT MỘT SỐ THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: . Cartan của đại số Lie nửa đơn, hữu hạn chiều xây dựng một số thuật toán phân tích các phép biến đổi. Từ đó cài đặt một số thuật toán lượng tử 6 (Phần chính của một thuật toán lượng tử là các phép. đại số Lie của U(n); su(n): đại số Lie của SU(n); so(n): đại số Lie của SO(n) ; P r(A): xác suất xảy ra biến cố A; G và g : nhóm Lie và đại số Lie tương ứng; T và t : xuyến tối đại chuẩn và đại