Ôn tập hè cho học sinh lớp 7 lên lớp 8

Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi Bài 2: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.. Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, Qua C vẽ đường thẳng song song với

BUỔI 01 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

A Lý thuyết

1 Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức , nhân đa thức với đa thức và viết dạng tổng quát

A.(B+C) = AB+ AC

( A+B).(C+ D) = AC+ AD+ BC+BD

2 Những hằng đẳng thức đáng nhớ

1 (A+B)2 = A2+2AB +B2 2 (A-B)2=A2-2AB +B2 3 A2- B2 =( A-B)(A+B)

4 (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 5 (A-B)2=A3-3A2B+3AB2-B3

6 A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) 7 A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)

3 Phân tích đa thức thành nhân tử

- Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

- Nhóm các hạng tử - Phối hợp nhiều phương pháp

- Thêm, bớt cùng 1 hạng tử - Tách hạng tử

- Đặt biến phụ - Nhẩm nghiệm của đa thức

Bài 1: Làm tính nhân:

b) ( -2x3 +

3

4 y2 -7xy) 4 b) ( 5x – y)2

c) 3 2 3   2

d)

e) (x2 -2x+3) (x-4) f)( 2x3 -3x -1) (5x+2)

g) ( 25x2 + 10xy + 4y2) ( 5x – 2y) h) (5x3 – x2+2x–3)(4x2 – x+ 2) k) ( x-3y)(x2 + 3xy + 9y2 ) l)

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 - 2x2 + x b) x2 – 2x – 15

c) 5x2y3 – 25x3y4 + 10x3y3 d) 12x2y – 18xy2 – 30y2

e) 5(x-y) – y.( x – y) f) y ( x – z) + 7(z-x)

g) 27x2( y- 1) – 9x3 ( 1 – y) h) 36 – 12x + x2

i) 4x2 + 12x + 9 k) x4 + y4

l) xy + xz + 3y + 3z n) 11x + 11y – x2 – xy

a)x3  3x2  4x 12 b)2x2  2y2  6x 6y

c) x 3x  3x 1 d) x4  5x2  4

Bài 6: Chứng minh rằng: x2 – x + 1 > 0 với mọi số thực x?

Bài 7: Làm tính chia: ( x4 – 2x3 + 2x – 1): ( x2 – 1)

Bài 8: a, Giá trị của m để x2 – ( m +1)x + 4 chia hết cho x -1

Bài 1: Chứng minh biểu thức sau khụng phụ thuộc vào biến x, biết:

a) A= (2x +5)3- 30x (2x+5) -8x3 b.Tìm a để đa thức f(x) = x4 – 5x2 + a chia hết cho đa thức g(x) =x2 – 3x + 2

Bài 2: Tìm x, biết

h) 5x ( x – 3 ) – 2x + 6 = 0 i) x 2 2  x 2 x 2     0

k) x2 – 5 = 0 l) x35x2  4x 20 0 

Buæi 2:

Tø gi¸c

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AC, K

là điểm đối xứng của M qua I

a) Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì sao?

b) Tứ giác AKMB là hình gì ? Vì sao?

c) Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME =MA Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi

Bài 2: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, Qua C vẽ đường thẳng song song với

BD, chúng cắt nnhau tại I

a) Chứng minh: OBIC là hình chữ nhật

b) Chứng minh AB=OI

c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBIC là hình vuông

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB và góc A =600 Gọi E, F theo thứ

tự là trung điểm của BC, AD

a) Chứng minh AE vuông góc với BF

b) Tứ giác ECDF là hình gì ? Vì sao?

c) Tứ giác ABED là hình gì ? Vì sao?

d) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật

e) Chứng minh M, E, Dthẳng hàng

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB Gọi M, N theo thứ tự là trung

điểm của BC và AD Gọi P là giao điểm của AM với BN, Q là giao điểm của MD với CN, K là giao điểm của tia BN với tia CD

a) Chứng minh tứ giác MBKD là hình thang

b) PMQN là hình gì?

c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông

Bài 5: Cho tam giác ABC (AB<AC), đường cao AK Gọi 3 ®iÓm D, E , F lần lượt

là trung điểm của AB, AC, BC

a) BDEF là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh DEFK là hình thang cân

c) Gọi H là trực tâm của tam gíac ABC M,N, P theo thứ tự là trung điểm của HA, HB, HC Chứng minh các đoạn thẳng MF, NE, PD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=8cm, BC=10cm, Gọi AM là trung

tuyến của tam giác

a) Tính đoạn AM

b) Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc Với AC Tứ giác ADME có dạng đặc biệt nào?

c) DECB có dạng đặc biệt nào?

Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm tam giác, M là trung điểm BC

Gọi D là điểm đối xứng của H qua M

a) Chứng minh các tam gíac ABD, ACD vuông

b) Gọi I là trung điểm AD Chứng minh IA=IB=IC=ID

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 600, kẻ tia Ax song song

BC Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD=DC

a) Tính các góc BAD và gãc DAC

b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân

c) Gọi E là trung điểm BC Chứng minh ADEB là hình thoi

Bài 9: Cho hình vuông ABCD, E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên tia đối tia

BC sao cho BF= DE

a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân

b) Gọi I là trung điểm EF Chứng minh I thuộc BD

c) Lấy K đối xứng của A qua I Chứng minh AEKF là hình vuông

( Híng dÉn:Tõ E kÎ EP //BC , PBD )

Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh CD, gọi AF là phân

giác của tam giác ADE Gọi H là hình chiếu của F trên AE Gọi K là giao điểm của

FH và BC

a) Tính độ dài AH

b) Chứng minh AK là phân giác của góc BAC

c) Tính chu vi và diện tích tam giác tam giác CKF

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi E,F và D lần lượt là trung điểm của AB,

BC, AC Chứng minh:

a) Tứ giác BCDE là hình thang cân

b) Tứ giác BEDF là hình bình hành

c) Tứ giác ADFE là hình thoi

Bài 2: Cho  ABC cân ở A Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

a) Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình bình hành b) BE cắt CF ở G Vẽ các điểm M ,N sao cho E là trung điểm của GN, F là trung điểm của GM.Chứng minh BCNM là hình chữ nhật , AMGN là hình thoi

c) Chứng minh AMBN là hình thang Nếu AMBN là hình thang cân thì  ABC có thêm đặc điểm gì?

Bài 3 Cho ABC vuông tại A (AB < AC) , trung tuyến AM, đường cao AH Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a) Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ?

b) Gọi I là điểm đối xứng của A qua BC Chứng minh: BC // ID

c) Chứng minh: Tứ giác BIDC là hình thang cân

d) Vẻ HE  AB tại E , HF  AC tại F Chứng minh: AM  EF

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C GọI M, N lần lượt là trung điểm của các

cạnh BC và AB Gọi P là điểm đốI xứng của M qua điểm N

a) Chứng minh tứ giác MBPA là hình bình hành

b) Chứng minh tứ giác PACM là hình chữ nhật

c) Đường thẳng CN cắt PB ở Q Chứng minh: BQ = 2PQ

d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật PACM là hình vuông ? Hãy chứng minh ?

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là trung điểm BC Gọi M là điểm đối

xứng của D qua AB, E là giao điểm của DM và AB Gọi N là điểm đối xứng của D qua AC, F là giao điểm của DN và AC

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác ADBM là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh M đối xứng với N qua A

d) Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông?

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm

của AB và CD

a) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành

b) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?

c) Gọi M là giao điểm của AF và DE ; N là giao điểm của BF và CE

d) Chứng minh bốn đường thẳng AC, EF, MN, BD đồng qui

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, Evà F lần lượt là trung điểm của AB, CD Gọi

M, N lần lượt là giao điểm của AF, CE với BD

a) Chứng minh: Tứ giác AECF là hình bình hành

b) Chứng minh: DM=MN=NB

c) Chứng minh: MENF là hình bình hành

d) AN cắt BC ở I, CM cắt AD ở J Chứng minh IJ, MN, EF đồng quy

Bài 9 Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của AB,CD Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AMCN là hình bình hành

b) Tứ giỏc AMND là hỡnh thoi

c) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua D, Gọi Q là điểm đối xứng với điểm N qua D Hỏi Tứ giỏc ANKQ là hỡnh gỡ? Vỡ sao?

d) Hỡnh bỡnh hành ABCD cú thờm điều kiện gỡ để tứ giỏc ABCN là hỡnh thang cõn

BUỔI 03 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A Lý thuyết

1 Nêu định nghĩa phân thức đại số? Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa?

2 Nêu định nghĩa 2 phân thức bằng nhau

3 Nêu tính chất cơ bản của phân thức Nêu quy tắc đổi dấu của phân thức

4 Nêu quy tắc cộng , trừ , nhân , chia các phân thức đại số

5 Giaỷ sửỷ

A(x)

B(x) laứ moọt phaõn thửực cuỷa bieỏn x Haừy neõu ủieàu kieọn cuỷa bieỏn x ủeồ giaự trũ cuỷa phaõn thức đợc xác định

B Bài tập

Bài 1: Cho phân thức:

2 3

3x 6x 12

x 8

 a) Tìm điều kiện của x để phân thức đã cho đợc xác định?

b) Rút gọn phân thức?

c) Tính giá trị của phân thức sau khi rút gọn với x=

4001 2000

Bài 2: Cho biểu thức sau:

2

a) Rút gọn biểu thức A?

b) Tính giá trị của A khi

1 x 2



?

Bài 4: Cho biểu thức:

2 2

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức đợc xác định?

b) CMR: khi giá trị của biểu thức đợc xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x?

100 x

10 x

2 x 10 x

2 x





























a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định ?

b) Tính giá trị của A tại x = 20040 ?

Bài 6: Cho phân thức

2 2

x 10x 25

x 5x

 a) Tìm giá trị của x để phân thức bằng 0?

b) Tìm x để giá trị của phân thức bằng 5/2?

c) Tìm x nguyên để phân thức có giá trị nguyên?

Bài 7: Biến đổi mỗi biểu thức sau thành 1 phân thức đại số:

1 1

x a)

1 x

x





b)

x 4x 4 x   4x 4 x 2 x 2  

c)

2 2

d)





3

Bài 8: Chứng minh đẳng thức: 3 2

:



Bài 9: Cho biểu thức:

2

B 2x 10 x 2x(x 5)

a) Tìm điều kiện xác định của B ?

b) Tìm x để B = 0; B =

1

4 c) Tìm x để B > 0; B < 0?

BUỔI 4:

TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

A Lý thuyết

1) Phỏt biểu định lý ta-lột trong tam giỏc, hệ quả của định lớ Ta-let Vẽ hỡnh và viết giả thiết, kết luận

2) Phỏt biểu định lý ta-lột đảo trong tam giỏc Vẽ hỡnh và viết giả thiết, kết luận 3) Phỏt biểu định lý về tớnh chất đường phõn giỏc trong tam giỏc Vẽ hỡnh và viết giả thiết, kết luận

4) Cỏc dấu hiệu hai tam giỏc đồng dạng, hai tam giỏc vuụng đồng dạng

Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB = 36cm ; AC = 48cm và đường cao AH

a) Tớnh BC; AH

b) HAB HCA

c) Kẻ phân giác góc B cắt AC tại F Tính BF

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 9cm Gọi H là chân đường

vuông góc kẻ từ A xuống BD

a) Chứng minh  HAD đồng dạng với  CDB

b)Tính độ dài AH

c) Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; AH; DH Tứ giác BMPN là hình

gì ? vì sao ?

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD =

5cm và DAB DBC 

a) CMR: ABD BDC

b) Tính cạnh BC; DC

Bài 5: Cho tam giác ABC; có AB = 15cm;

AC = 20cm; BC = 25cm

a) Chứng minh: ABC vuông tại A

b) Trên AC lấy E tuỳ ý , từ E kẻ EH  BC tại H và K là giao điểm BA với HE CMR: EA.EC = EH.EK

c) Gọi E là giao điểm của AC và BD Qua E kẻ đường thẳng bất kỳ cắt AB; CD lần lượt tại M; N Tính

ME

?

NE 

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tai A có AB = 6 cm; AC = 8cm Trên một nửa

mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ax song song với BC Từ C vẽ CD 

Ax ( tại D )

a) Chứng minh hai tam giác ADC và CAB đồng dạng b) Tính DC c) BD cắt AC tại I Tính diện tích tam giác BIC

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC Lấy các điểm D,E

theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME bằng góc B

a) Chứng minh  BDM đồng dạng với  CME

b) Chứng minh BD.CE không đổi

c) Chứng minh DM là phân giác của góc BDE

BU

ỔI 6 : GIẢI BÀI TẬP BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

I MỤC TIÊU:

- Tiếp tục rèn luyện cho HS kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình

- HS biết cách chọn ẩn khác nhau hoặc biểu diễn các đại lượng theo các cách khác nhau, rèn luyện kỹ năng trình bày bài, lập luận chính xác

II TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY:

Giải toán bằng cách lập PT :

* PP:

- B1: Lập phương trình

+ Chọn ẩn, đơn vị & ĐK cho ẩn.

+ Biểu thị số liệu chưa biết theo ẩn.

+ Lập PT biểu thị mối quan hệ các địa

lg.

- B2: Giải phương trình.

- B3: Chọn nghiệm thoả ĐK của ẩn và

trả lời.

* Aùp dụng: 1) Hiện nay mẹ hơn con 30

tuổi , biết rằng 8 năm nữa thì tuổi mẹ sẽ

gấp ba lần tuổi con Hỏi hiện nay mỗi

người bao nhiêu tuổi ?

Giải:

Gọi x (tuổi) là tuổi của con hiện nay

(ĐK: x nguyên dương)

x + 30 (tuổi) là tuổi của mẹ hiện

nay

Và x + 8 (tuổi) là tuổi con 8 năm sau

x + 38 (tuổi) làtuổi của mẹ 8 năm

sau

Theo đề bài ta có phương trình:

3(x + 8) = x + 38

 3x + 24 = x + 38

 2x = 14

 x = 7 ,thoả ĐK

Vậy tuổi con hiện nay là 7 tuổi và tuổi

mẹ là 37 tuổi

2) Lúc 6h sáng, một xe máy khởi

hành từ A để đến B Sau đĩ 1h,

một ơtơ cũng xuất phát từ A đến

Ta cĩ hệ phương trình:

7

2 x =

5

2 (x + 20)

=> x = 50 (thoả ĐK) Vậy quãng đường AB là: 50 3,5 = 175km

* Bài tập tự giải:

1) Tuổi ông hiện nay gấp 7 lần tuổi cháu , biết rằng sau 10 năm nửa thì tuổi ông chỉ còn gấp 4 lần tuổi cháu Tính tuổi mỗi người hiện nay

( ĐS: Cháu 10 tuổi ; ông 70 tuổi)

2) Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm một chữ số 4 vào cuối của số đó thì số ấy tăng thêm 1219 đơn vị

(ĐS: số 135)

3) Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình15km/h Lúc về người đĩ

đi với vận tốc 12km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút Tính độ dài quãng đường AB

4) Một canơ xuơi dịng từ bến

A đến bến B mất 5 giờ và ngược dịng từ bến B về bến A mất 6 giờ Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dịng nước là 2km/ h

B với vận tốc trung bình lớn hơn

vận tốc trung bình của xe máy là

20km/h Cả hai xe đến B đồng

thời vào lúc 9h30’ sáng cùng

ngày Tính độ dài quãng đường

AB

Quãng đường(km) = Vận tốc(Km/

h) * Thời gian(h)

v

(km/h

)

t(h) S(km)

Xe

7 2

7

2 x

Ôtô x +

20

5 2

5

2 (x + 20) Giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy (x

> 20)

x + 20 (km/h) là vận tốc của ôtô

7

2 x là quãng đường xe máy đi

được

5

2 (x + 20) là quãng đường ôtô đi

được

Bài 1 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h Đến B người đó làm

việc trong một giờ rồi quay về A với vận tốc 24 km/h Biết thời gian tổng cộng hết

5 giờ 30 phút Tính quãng đường AB

Bài 2 Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h

Sau khi đi được

2

3 quãng đường bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó, biết rằng thời gian bạn ấy đi từ nhà đến trường là 28 phút

Bài 3 Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B

18 lít thì số lượng dầu ở hai thùng bằng nhau Tính số lượng dầu ở mỗi thùng lúc đầu

Bài 4 Một người đi xe đạp từ A đén B với vận tốc trung bình 12km/h Khi đi về từ

B đến A; người đó đi với vận tốc trung bình là 10 km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 15 phút Tính độ dài quảng đường AB ?

Bài 5 Có 15 quyển vở gồm hai loại: loại I giá 2000 đồng một quyển , loại II giá

1500 đồng một quyển Số tiền mua 15 quyển vở là 26000 đồng Hỏi có mấy quyển

vở mỗi loại ?

Bài 6 Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, và ngược dòng từ bến B

đến bến A mất 5h Tính khoảng cách giữa hai bến, biết vận tốc dòng nước là

2km/h

III Giải bất phương trình và biểu diển tập hợp nghiệm trên trục số

1) 2x + 5  7; 2)

; 3)

2x 1 5



-

2x 2 3

 > -7;

IV Các bài tập đại số khác khác:

1)Tìm x biết: a)

2 1

x 1  ; b) x2 < 1; c) x2 – 3x + 2 < 0 2) Tìm x để phân thức:

2

5 2x không âm 3) Chứng minh rằng: 2x2 +4x +3 > 0 với mọi x

4) Giải các phương trình: a) x2 – 7x – 30 = 0;

b) (x2 + x + 3) (x2 + x + 4) = 12;