Đang tải... (xem toàn văn)
ĐIỆN XOAY CHIỀU HAY PHƯƠNG PHÁP GIÀI ĐẠI SỐ 12
GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 HTTP://THAYTOAN.NET Trang 1 1. Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến trên K (x 1 , x 2 K, x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghòch biến trên K (x 1 , x 2 K, x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I. c) Nếu f(x) = 0, x I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác đònh của hàm số. – Tính y . Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số. Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 2 4 3y x x b) 3 2 2 2y x x x c) 4 2 1 2 1 4 y x x d) 2 1 5 x y x e) 2 4 15 9 3 x x y x Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 4 3 2 6 8 3 1y x x x b) 2 2 1 4 x y x c) 2 2 1 1 x x y x x d) 2 2 1x y x e) 2 3 2 x y x x f) 3 2 2y x x g) 2 1 3y x x h) 2 2y x x i) 2 2y x x CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Trang 2 HTTP://THAYTOAN.NET k) sin2 2 2 y x x l) sin2 2 2 y x x x VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh) Cho hàm số ( , ) y f x m , m là tham số, có tập xác đònh D. Hàm số f đồng biến trên D y 0, x D. Hàm số f nghòch biến trên D y 0, x D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y ax bx c 2 ' thì: 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a 3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai 2 ( ) g x ax bx c : Nếu < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. Nếu = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2 b a ) Nếu > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai 2 ( ) g x ax bx c với số 0: 1 2 0 0 0 0 x x P S 1 2 0 0 0 0 x x P S 1 2 0 0 x x P 5) Để hàm số 3 2 y ax bx cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: Tính y . Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến: 0 0 a (1) Biến đổi 1 2 x x d thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 x x x x d (2) Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) 3 5 13 y x x b) 3 2 3 9 1 3 x y x x c) 2 1 2 x y x GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 HTTP://THAYTOAN.NET Trang 3 d) 2 2 3 1 x x y x e) 3 sin(3 1) y x x f) 2 2 1 x mx y x m Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) 5 cot( 1) y x x b) cos y x x c) sin cos 2 2 y x x x Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh) của nó: a) 3 2 3 ( 2) y x mx m x m b) 3 2 2 1 3 2 x mx y x c) x m y x m d) 4 mx y x m e) 2 2 1 x mx y x m f) 2 2 2 3 2 x mx m y x m Bài 4. Tìm m để hàm số: a) 3 2 3 y x x mx m nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. b) 3 2 1 1 2 3 1 3 2 y x mx mx m nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. c) 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. Bài 5. Tìm m để hàm số: a) 3 2 ( 1) ( 1) 1 3 x y m x m x đồng biến trên khoảng (1; +). b) 3 2 3(2 1) (12 5) 2 y x m x m x đồng biến trên khoảng (2; +). c) mx y m x m 4 ( 2) đồng biến trên khoảng (1; +). d) x m y x m đồng biến trong khoảng (–1; +). e) 2 2 2 3 2 x mx m y x m đồng biến trên khoảng (1; +). f) 2 2 3 2 1 x x m y x nghòch biến trên khoảng 1 ; 2 . VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, , ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác đònh do đề bài chỉ đònh. Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến. Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Trang 4 HTTP://THAYTOAN.NET Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 sin , 0 6 x x x x với x b) 2 1 sin tan , 0 3 3 2 x x x với x c) tan , 0 2 x x với x d) sin tan 2 , 0 2 x x x với x Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tan , 0 tan 2 a a với a b b b b) sin sin , 0 2 a a b b với a b c) tan tan , 0 2 a a b b với a b VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: Chọn được nghiệm x 0 của phương trình. Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 5 5x x b) 5 3 1 3 4 0x x x c) 5 7 16 14x x x x d) 2 2 15 3 2 8x x x I. Khái niệm cực trò của hàm số Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D R) và x 0 D. a) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) D và x 0 (a; b) sao cho f(x) < f(x 0 ), với x (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f. b) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) D và x 0 (a; b) sao cho f(x) > f(x 0 ), với x (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x 0 là điểm cực trò của f thì điểm (x 0 ; f(x 0 )) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại điểm đó thì f (x 0 ) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò 1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x 0 } a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . I I . CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 HTTP://THAYTOAN.NET Trang 5 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . 2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f (x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . a) Nếu f (x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . b) Nếu f (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1. Tìm f (x). Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trò tại x i . Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2. Tính f (x). Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …). Tính f (x) và f (x i ) (i = 1, 2, …). Nếu f (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i . Nếu f (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i . Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 2 3 3 2 y x x b) 3 2 2 2 1 y x x x c) 3 2 1 4 15 3 y x x x d) 4 2 3 2 x y x e) 4 2 4 5 y x x f) 4 2 3 2 2 x y x g) 2 3 6 2 x x y x h) 2 3 4 5 1 x x y x i) 2 2 15 3 x x y x Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 3 4 ( 2) ( 1) y x x b) 2 2 4 2 1 2 3 x x y x x c) 2 2 3 4 4 1 x x y x x d) 2 4 y x x e) 2 2 5 y x x f) 2 2 y x x x Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 3 2 1 y x b) 3 2 2 1 x y x c) 4 x x y e e d) 2 5 5 2ln y x x x e) 2 4sin y x x f) 2 ln(1 ) y x x VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x 0 . Chú ý: Hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d có cực trò Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x 0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0 ) bằng hai cách: Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Trang 6 HTTP://THAYTOAN.NET + 3 2 0 0 0 0 ( ) y x ax bx cx d + 0 0 ( ) y x Ax B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y . Hàm số 2 ' ' ax bx c y a x b = ( ) ( ) P x Q x (aa 0) có cực trò Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a . Khi đó nếu x 0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0 ) bằng hai cách: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x hoặc 0 0 0 '( ) ( ) '( ) P x y x Q x Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là đònh lí Vi–et. Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: a) 3 2 2 3 3 3( 1) y x mx m x m b) 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 y x m x m m x c) 2 2 4 ( 1) 1 x m m x m y x m d) 2 2 1 x mx m y x m Bài 2. Tìm m để hàm số: a) 3 2 ( 2) 3 5 y m x x mx có cực đại, cực tiểu. b) 3 2 2 3( 1) (2 3 2) ( 1) y x m x m m x m m có cực đại, cực tiểu. c) 3 2 2 3 ( 1) 2 y x mx m x đạt cực đại tại x = 2. d) 4 2 2( 2) 5 y mx m x m có một cực đại 1 . 2 x e) 2 2 2 x mx y x m đạt cực tiểu khi x = 2. f) 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x có cực đại, cực tiểu. g) 2 1 x x m y x có một giá trò cực đại bằng 0. Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trò: a) 3 2 3 3 3 4 y x x mx m b) 3 2 3 ( 1) 1 y mx mx m x c) 2 5 3 x mx y x d) 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số: a) 3 2 y ax bx cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4 27 tại x = 1 3 b) 4 2 y ax bx c có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò bằng –9 tại x = 3 . GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 HTTP://THAYTOAN.NET Trang 7 c) 2 1 x bx c y x đạt cực trò bằng –6 tại x = –1. d) 2 ax bx ab y bx a đạt cực trò tại x = 0 và x = 4. e) 2 2 2 1 ax x b y x đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. Bài 5. Tìm m để hàm số : a) 3 2 2 2 2( 1) ( 4 1) 2( 1) y x m x m m x m đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 2 x x x x . b) 3 2 1 1 3 y x mx mx đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 1 2 8 x x . c) 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 1 2 2 1 x x . Bài 6. Tìm m để đồ thò hàm số : a) 3 2 4 y x mx có hai điểm cực trò là A, B và 2 2 900 729 m AB . b) 4 2 4 y x mx x m có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm. Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số : a) 3 2 2 12 13 y x mx x có hai điểm cực trò cách đều trục tung. b) 3 2 3 3 4 y x mx m có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. c) 3 2 3 3 4 y x mx m có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3 2 8 0 x y . VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò 1) Hàm số bậc ba 3 2 ( ) y f x ax bx cx d . Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B. Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trò thì: 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) y f x Ax B y f x Ax B Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B. 2) Hàm số phân thức 2 ( ) ( ) ( ) P x ax bx c y f x Q x dx e . Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trò thì 0 0 0 '( ) '( ) P x y Q x . Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Trang 8 HTTP://THAYTOAN.NET ấy là: '( ) 2 '( ) P x ax b y Q x d . Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số : a) 3 2 2 1y x x x b) 2 3 3 2y x x c) 3 2 3 6 8y x x x d) 2 2 1 3 x x y x e 2 1 2 x x y x Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số: a) 3 2 2 3 3 3( 1)y x mx m x m b) 2 6 x mx y x m c) 3 2 2 3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m d) 2 2 1 x mx m y x m Bài 3. Tìm m để hàm số: a) 3 2 2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song với đường thẳng y = –4x + 1. b) 3 2 2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên đường thẳng y = –4x. c) 3 2 7 3y x mx x có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7. d) 3 2 2 3y x x m x m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (): 1 5 2 2 y x . 1. Đònh nghóa: Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D R). a) 0 0 ( ) , max ( ) : ( ) D f x M x D M f x x D f x M b) 0 0 ( ) , min ( ) : ( ) D f x m x D m f x x D f x m 2. Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f b f x f a . b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f a f x f b . VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng. III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 HTTP://THAYTOAN.NET Trang 9 Tính f (x). Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]. Tính f (x). Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (nếu có). Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ). So sánh các giá trò vừa tính và kết luận. 1 2 [ ; ] max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b M f x f a f b f x f x f x 1 2 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b m f x f a f b f x f x f x Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2 4 3y x x b) 3 4 4 3y x x c) 4 2 2 2y x x d) 2 2y x x e) 2 1 2 2 x y x x f) 2 2 2 4 5 1 x x y x g) 2 1 ( 0)y x x x h) 2 2 1 1 x x y x x i) 4 2 3 1 ( 0) x x y x x x Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 3 2 2 3 12 1y x x x trên [–1; 5] b) 3 3y x x trên [–2; 3] c) 4 2 2 3y x x trên [–3; 2] d) 4 2 2 5y x x trên [–2; 2] e) 3 1 3 x y x trên [0; 2] f) 1 1 x y x trên [0; 4] g) 2 4 7 7 2 x x y x trên [0; 2] h) 2 2 1 1 x x y x x trên [0; 1] i) 2 100y x trên [–6; 8] k) 2 4y x x Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2sin 1 sin 2 x y x b) 2 1 cos cos 1 y x x c) 2 2sin cos 1y x x d) cos2 2sin 1y x x e) 3 3 sin cosy x x f) 2 4 2 1 1 x y x x g) 2 2 4 2 5 2 3y x x x x h) 2 2 4 4 3y x x x x 1. Đònh nghóa: Điểm 0 0 ; ( )U x f x đgl điểm uốn của đồ thò hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x 0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x 0 ) và (x 0 ; b) tiếp tuyến của đồ thò tại điểm U nằm phía trên đồ thò còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thò 2. Tính chất: IV . ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Trang 10 HTTP://THAYTOAN.NET Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x 0 , f(x 0 ) = 0 và f(x) đổi dấu khi x đi qua x 0 thì 0 0 ; ( )U x f x là một điểm uốn của đồ thò hàm số. Đồ thò của hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d (a 0) luôn có một điểm uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thò. Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thò các hàm số sau: a) 3 2 6 3 2y x x x b) 3 2 3 9 9y x x x c) 4 2 6 3y x x d) 4 2 2 3 4 x y x e) 4 3 2 12 48 10y x x x f) 5 4 3 5 3 2y x x x Bài 2. Tìm m, n để đồ thò của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra: a) 3 2 3 3 3 4y x x mx m ; I(1; 2). b) 3 2 8 ( 1) ( 3) 3 3 x y m x m x ; I(1; 3) c) 3 2 1y mx nx ; I(1; 4) d) 3 2 2y x mx nx ; 2 ; 3 3 I e) 3 2 3 2 x y mx m ; I(1; 0) f) 3 2 3 4y mx mx ; I(–1; 2) Bài 3. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn: a) 5 4 3 4 (4 3) 5 1 5 3 x y x m x x b) 2 2 1 1 x mx y x Bài 4. Chứng minh đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng: a) 2 2 1 1 x y x x b) 2 1 1 x y x c) 2 2 2 3 1 x x y x d) 2 2 1 1 x y x e) 2 1 x y x f) 2 2 2 5 1 x x y x x g) 2 2 2 3 3 3 x x y x x h) 2 2 3 1 x x y x i) 3 2 4 5 x y x x Bài 5. Tìm m, n để đồ thò của các hàm số: a) 4 3 2 2 6 2 1y x x x mx m có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2). b) 3 2 2 3 3 x y x mx có điểm uốn ở trên đường thẳng 2y x . c) 4 2 1 4 y x mx n có điểm uốn ở trên Ox. 1. Đònh nghóa: Đường thẳng 0 x x đgl đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số ( )y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 0 lim ( ) x x f x ; 0 lim ( ) x x f x ; 0 lim ( ) x x f x ; 0 lim ( ) x x f x Đường thẳng 0 y y đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số ( )y f x nếu ít nhất V . ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ [...]... tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân e) y 3 x 3 (2 m 2) x 2 9mx 192 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân 2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của... đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thò Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương. .. luận theo m số nghiệm của phương trình: Bài 3 Cho hàm số y f ( x ) 2 x 2 (m 1) x m 1 0 x2 x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1) c) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: Bài 4 Cho hàm số y f ( x ) (1 m ) x 2 (1 m ) x 1 0 VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình... hàm số: x 1 x2 1 2x d) y 1 2x a) y 2x 1 x 1 3x 1 e) y x 3 b) y 3 x x4 x 2 f) y 2x 1 c) y VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1 Cho hai đồ thò (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm) Số nghiệm của phương trình (*) bằng số. .. (m 2 9) x 2 10 (1) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = 1 b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trò ĐS: b) m 3 hay 0 m 3 (2m 1) x m 2 Bài 10 Cho hàm số: y (1) (m là tham số) x 1 Trang 34 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1) ứng với m = –1 b) Tính diện... b b Trang 35 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 a > 1 : a a ; Với 0 < a < b ta có: 0 < a < 1 : a a am b m m 0 ; am b m m 0 Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương 3 Đònh nghóa và tính chất của căn thức Căn bậc n của a là số b sao cho bn... = f (x0) Phương trình tiếp tuyến là: y – y0 = f (x0).(x – x0) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Tính f (x0) có hệ số góc k f (x0) = k (1) Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0) Từ đó viết phương trình của Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc Phương trình... HÀM SỐ Bài 1 Cho hàm số: y x 3 ax 2 4, a là tham số a) Khảo sát và vẽ đồ thò với a = 3 b) Tìm các giá trò của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x 3 ax 2 4 0 ĐS: b) a < 3 Bài 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: y x 3 6 x 2 9 x 1 b) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thò của hàm số? ĐS: b) một tiếp tuyến Bài 3 Cho hàm số: ... 1 Trang 11 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Bài 6 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thò của các hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số: x2 x 1 2 x2 5x 4 a) y b) y x 1 x 3 x2 x 7 c) y x3 VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số Tìm tập xác đònh của hàm số Xét sự... của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x 4 ĐS: b) S 1 4 ln c) m 1 3 Bài 11 Cho hàm số: y x 3 3 x 2 m (1) (m là tham số) a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 2 ĐS: a) m > 0 1 Bài 12 Cho hàm số: y x 3 2 x 2 3 x (1) có đồ thò (C) 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) b) . hàm số: a) 3 2 2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song với đường thẳng y = –4x + 1. b) 3 2 2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x có các điểm. x m 2 2 1 2( 1) 2 f) 2 3 2 2 1 y x mx m Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Trang 12 HTTP://THAYTOAN.NET Bài 6. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ. cho gián tiếp như sau: + tạo với chiều dương trục hoành góc thì k = tan + song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a + vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b