Newton Grammar School Th.S. Phạm Hồng Phong (Sưu tầm) 1 BÀI TẬP ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 – VECTƠ Bài 1. Cho tam giác ABC và điểm M . Chứng minh M là trung điểm của BC khi và chỉ khi 1 2 AM AB AC . Bài 2. Cho tam giác ABC và điểm G . Chứng minh các khẳng định sau tương đương 1) G là trọng tâm tam giác ABC . 2) GA GB GC 0 . 3) MA MB MC 3MG M . Bài 3. Chứng minh hai tam giác ABC , A'B'C' có cùng trọng tâm khi và chỉ khi AA' BB' CC' 0 . Bài 4. Cho M , N , P , Q , R , S lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD , DE , EF , FA của lục giác ABCDEF . Chứng minh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài 5. Cho tam giác đều ABC với tâm là. H là một điêm bất kỳ nằm bên trong tam giác. Gọi A' , B' , C' lần lượt là các điểm đối xứng với H qua các cạnh BC , CA , AB . Chứng minh rằng hai tam ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm. Bài 6. Nếu M , N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AD , BC thì 1 1 2 2 MN AB DC AC DB . Bài 7. Cho tứ giác ABCD . Các điểm M , N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD , CB sao cho CN AM AD CB . Tìm quỹ tích trung điểm I của MN . Bài 8. Cho ngũ giác ABCDE . Các điểm M , N , P , Q , R , S lần lượt là trung điểm các đoạn EA , AB , BC , CD , MP , NQ . Chứng minh RS / /ED và 1 4 RS ED . Bài 9. Cho tam giác ABC . M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng MC MB BC BC AM AB AC . Bài 10. Cho tam giác ABC . Chứng minh nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì aIA bIB cIC 0 . Điều ngược lại có đúng không? Bài 11. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Đường tròn I tiếp xúc với các cạnh BC , CA , AB của tam giác lần lượt tại D , E , F . Chứng minh aID bIE cIF 0 . Newton Grammar School Th.S. Phạm Hồng Phong (Sưu tầm) 2 Bài 12. (Định lý con nhím) Cho đa giác lồi 1 2 n A A A và các vectơ đơn vị i e ( i 1,2, ,n ) lần lượt vuông góc với i i 1 A A (xem n 1 1 A A ). Chứng minh rằng 1 2 1 2 3 2 n 1 n A A e A A e A A e 0 . Bài 13. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I . Hai điểm E , F lần lượt là trung điểm của AC và BD . Chứng minh I , E , F thẳng hàng. Bài 14. Về phía ngoài tam giác ABC , dựng các tam giác đồng dạng XBC , YCA , ZAB . Chứng minh rằng các tam giác ABC , XYZ có cùng trọng tâm. Bài 15. Cho tam giác ABC . M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng S MBC SA S MCA SB S MAB SC 0 . Bài 16. Cho tam giác đều ABC tâm O . M là điểm bất kỳ trong tam giác. D , E , F lần lượt là hình chiếu của M lên BC , CA , AB . Chứng minh 3 2 MD ME MF MO . Bài 17. [HSG10V1-Hà Nội-1992] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và có trực tâm H . Chứng minh 1) OA OB OC OH . 2) sin2A.OA sin 2B.OB sin2C.OC 0 (với giả thiết tam giác ABC nhọn) Bài 18. [HSG10V1-Hà Nội-1993] Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ. 1) Chứng minh vectơ 3MA 5MB 2MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M . 2) Chứng minh nếu điểm H thỏa mãn hệ thức OA OB OC OH ( O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) thì H là trực tâm tam giác. 3) Tìm tập hợp điểm M sao cho 3MA 2MB 2MC MB MC . Bài 19. [HSG10V1-Hà Nội-1993] Cho tam giác ABC với H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi G , 0 A , 0 B , 0 C lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , HBC , HCA , HAB . Chứng minh 0 0 0 OA OB OC 5OG . . Newton Grammar School Th.S. Phạm Hồng Phong (Sưu tầm) 1 BÀI TẬP ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 – VECTƠ Bài 1. Cho tam giác ABC và điểm M . Chứng minh M . RS / /ED và 1 4 RS ED . Bài 9. Cho tam giác ABC . M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Chứng minh rằng MC MB BC BC AM AB AC . Bài 10. Cho tam giác ABC . Chứng minh. 0 . Newton Grammar School Th.S. Phạm Hồng Phong (Sưu tầm) 2 Bài 12. (Định lý con nhím) Cho đa giác lồi 1 2 n A A A và các vectơ đơn vị i e ( i 1,2, ,n ) lần