BAI TAP CHUNG MINH DUONG THANG DONG QUY

BÀI 3 Trang 148 Cho tam giác ABC, ở miên ngoài tam giác ABC dựng hai hình vuông ABEF và ACGH, kẻ đường cao AD của tam giác ABC.. Chứng minh rằng tất cả cac đường thẳng đều đồng quy tại m

BÀI TẬP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

BÀI 1 (Trang 148)

CM:

Xét tứ giác A1A2A4A5 có

A1A2  A4A5 (gt) A1A2A4A5 là hình bình hành

Gọi 0 là giao của A1A4 với A2A5

Ta có 0A1 OA4 (1)

Xét tứ giác A1A3A4A6 có:

A1A6A3A4 (gt) A1A3A4A6 là hình bình hành

Gọi 0’ là giao của A1A4 với A3A6

Ta có 0’A1 0’A4 (2)

Từ 1 và 2 suy ra 0 0’ hay A1A4, A2A5, A3A6 đồng quy

B ÀI 2 (Trang 148)

Cho tứ giác ABCD có AB không song song với CD; AD không song song với BC M,I,N,K,H,G lân lượt là trung điểm của AD, DC, CB, BA, DB, AC Chứng minh rằng

MN, ỊK, HG đông quy

H

G

N

M

I K

B

C

CM :

Vì M, I lần lượt là trung điểm của AD và DC  MI là đường trung bình của tam giác ADC  MI 1/2 AC (1)

lục giác A1A2A3A4A5A6,

A1A2A4A5; A2A3A5A6;

A3A4A6A1.

A1A4, A2A5, A3A6 đồng quy

gt

kl

O

A3 A6

Vì N, K lần lượt là trung điểm của BC và AB NK là đường trung bình của tam giác ABC  NK 1/2 AC (2)

Từ 1 và 2 suy ra MI  NK Suy ra tứ giác MINK là hình bình hành.Gọi 0 làgiao điểm của MN và NK Ta có 0M=0N ( *)

Chứng mịnh tương tự ta có :

NG là đường trung bình của tam giác CHB suy ra NG ½ AB (3)

MH là đường trung bình của tam giác ABD suy ra MH  ½ AB (4)

Từ 3 và 4 suy ra MH  NG Suy ra tứ giác GNKM là hình bình hành Gọi 0’ giao của

MN và GH Ta có 0’M= 0’N (**)

Từ ( *) và (**) suy ra 0 0’ hay MN, ỊK, HG đông quy

BÀI 3 (Trang 148)

Cho tam giác ABC, ở miên ngoài tam giác ABC dựng hai hình vuông ABEF và

ACGH, kẻ đường cao AD của tam giác ABC Chứng minh rằng AD, EC, BG đồng quy

Q

G A

H F

E

I

D Chứng minh :

Kẻ hình bình hành AFIH

Xét tam giác AIE và tam giác ABC có :

AB= AF (gt)

Góc BAC=AFI (cùng FAH=180O)

AC=AH=FI (tứ giác ACGH là hình vuông)

ctam giác AIF=tam giác ABC (c.g.c)

AI=BC và góc FAI= góc ABC (1)

Mặt khác AD là đường cao của tam giác ABC  góc ABD+BAD= 900 (2)

Từ (1) và (2)  góc FAI= BAD=900  A, I, D thẳng hàng

Xét hai tam giác AID và tam giác BGC có

AI= BC (CMT)

Góc IAH=ACB (+DAC = 900 ) góc IAC=BCG( =IAH+900=ACB+900)

AC=CG(gt)

AIC =CBG (c.g.c)  góc GBC=AIC

gọi Q =IC  BG

Xét BQC có :QBC +QCB=900

 BQC là tam giác vuông tại Q nên ta có BQ vuông góc với IC (3)

Tương tự xét  IAB và  EBC ta có góc ECB= BID

gọi P =EC  IB  IBC+PCB=900 EC vuông góc với BI (4)

Từ (3) và (4)  BQ, CP là hai đường cao của tam giác AIC

Suy ra A, I, D thẳng hàng ID là đường cao của tam giác AICID, CP, BQ đ ồng quy hay CE, AD, BG đ ồng quy

BÀI 4 ( trang 148)

Cho hai đường thẳng a và b Trên a lấy các điểm A, B, C thoả mãn OA=AB=BC, trên b lấy các điểm L, M, N thoả mãn LO=OM=ML Chứng minh rằng LA,BN, CM đồng quy,

a

b

O A

B C

L

M N

CM

Vì OL=OM (gt) CO là trung tuyến của tam giác COL

Mặt khác OA= 1/3 OC A là trọng tâm tam giác LCM

 LA, MA là hai đường trung tuyến của tam giác CML

Gọi I = MC  LA

Vì OA=AB và OM=MN (gt)  AM 1/2 BN (1)

Mặt khác LA là đường trung tuyến của tam giác CMN ta có AB=BC (gt) và IC=IM (CMT)

AB BI (2)

Từ (1) và (2)  I BN LA, BN, CM đồng quy,

BÀI 5 (Trang 148)

Cho hình vuông A1A2A3A4, lấy một điểm P bất kì thuộc miền trong của hình vuông

kẻ A1M vuông góc với A2P kẻ A2I vuông góc với A3P, kẻ A3K vuông góc với A4P, k

ẻ A4N vu ông g óc v ới A1P

Ch ứng minh r ằng A1M, A2I, A3K, A4N đồng quy

K

A2

A3 A4

P

A1

N

N M

CM:

giả sử A1M vuông góc với A2P tại M, A2I vuông góc với A3P tại I, A1M cắt A2I tại L

Ta có tứ giác MPIL là tứ giác nội tiếp (Mˆ Nˆ =900)

MLˆ I= MPˆ I=1800

Tam giác A1LA2 và tam giác PA2A3 có

A2A3=A1A2 (2 cạnh góc vuông )

MLˆI=A1 Lˆ A2 =A2 Pˆ A3 (+IPˆ M =1800)

LAˆ 2A1=PAˆ 3A2 (+IAˆ 2A3=900 )

LAˆ 2A1=PAˆ 2A3 LA2A1= PA2A3 (c.g.c)

LA2=PA3

Xét hai tam giác LA2A3 và tam giác PA3A4 có

LA2= PA3 (CMT)

LAˆ 2A3 =PAˆ 3A4 (CMT)

A2A3= A3A4 (2 cạnh góc vuông)

LA2A3= PA3A4 (c.g.c)

A3 Lˆ A2= A4 Pˆ A3  KLˆ I= KPˆ I  tứ giác KLPI nội tiếp  PI L= PKˆ L=900

A4P= A3L

Chứng minh tương tự ta có

A4L vuông góc với A1P

 A1M, A2I, A3K, A4N đồng quy t ại L

B ÀI 6 (trang 149)

Cho tam giác ABC vẽ về phía ngoài 3 tam giác đều ABC1, AB1C, A1BC1 Chứng minh rằng AA1, BB1, CC1 đồng quy

CM:

0 A

C'

B'

A'

+) Q-60

C: B’ A

Q-60

C: BA’

C :B’BAA’

 BB’= AA’ v à (BB’, AA’)=600 (1)

+)Q-60

B: AC’

Q-60

B: A’C

 Q-60B: AA’ C’C

 AA’=CC’ v à (AA’ ,C’C)= 600 (2)

tương tự:

BB’= CC’ v à (BB’, CC’)= 600 (3)

từ (1)(2)(3)  AA’, BB’, CC’ đ ồng quy

B ÀI 7 (trang 147)

Trong mặt phẳng ta kẻ những đường thẳng từng đôi một khong song song, qua giao điểm của hai đ ường thẳng bất ki (trong số đường thẳng đã kẻ ) đi qua Chứng minh rằng tất cả cac đường thẳng đều đồng quy tại một điểm

l A

CM:

Gỉa sử tất cả các đường thẳng khong đồng quy Xét giao điểm của cac đường thẳng và chọn khoảng cách nhỏ nhất từ các điểm đó đến các đường thẳng đã cho G ỉa sử khoảng cách ngắn nhất là khoảng cách từ C đến đường thẳng l Qua điểm A có ít nhất 3 đường thẳng đã cho đi qua A Gọi B, C, D là giao điểm của đường thẳng l với 3 đường thẳng đó Vẽ từ điểm A đường thẳng vuông góc

AQ đ ến đường thẳng l Hai trong ba điểm B, C, D nằm cùng phía đối với điểm Q

giả sử là điểm C, D Khi đó khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AD l à nhỏ hơn khoảng cách từ A đến đường thẳng l , điều này mâu thuẫn với cách chọn điểm A và đương thẳng l

B ÀI 9

Cho 3 đường tròn cùng bán kính R cắt nhau tại I Đường tròn (O1, R) (O2,,R)= A; (O1,R)(O3, R)=B; (O3,R) (O2, R)= C Chứng minh rằng AO3, CO1, BO2 đồng quy

CM:

K

B

C

O3

I O2

Theo giả thiết ta có :

O2A= AO1= O1B= BO3 =CO3= CO2=R

L ại có :

O1I= IO3= IO2 =R

tứ giác O2AO1I là hình thoi AO2 O1I (1)

Tương tự tứ giác O1IO3B là hình thoi O1I O3B (2)

T ừ (1)(2) AO2 O3B

Mặt khác AO2=BO3=R

Tứ giác AO2O3B là hình bình hành

AO3 BO2 tại trung điểm mỗi đường

 AO3 BO2 =K (*)

Chứng minh tương tự tứ giác AO1O3C là hình bình hành  AO3  CO1 tại trung điểm mỗi đường gỉa sử tại K (**)

Tương tự tứ giác O1BCO2 là hình bình hành O1C  BO2 =K (***)

Từ (*)(**)(***) CO1 BO2  AO3= K

BÀI 10(Trang 149)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Lấy các điểm A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC MA=MB, NB=NC, PC= PD, QD=

QA Kẻ các đường thẳng qua M, N, P, Q lần lượt vuông góc với CD, AD, AB, BC CMR

a) AA’, BB’, CC’, DD’ đi qua một điểm cố định và các điểm A’, B’, C’,D’ nội tiếp một đường tròn

b) Các đường thẳng qua M, N, P, Q lần lượt vuông góc với CD, AD, AB, BC đ ồng quy

BL:

A' B'

D' C'

M

P

N

Q

O

B A

D

C

A’ là trọng tâm BCD 

BP

P ' A

=

3 1

B’ là trọng tâm ACD 

AP

P ' B

=

3 1

A’B’ //AB và

AB

' B ' A

=

3

1

(1)

Tứ giác A’B’AB là hình thang; gọi I=AA’ BB’



IA

'

IA =

IB

'

IB =

BA

' A '

3

1 (2)

C’ là trọng tâm ABD 

MD

M ' C

=

3 1

D’ là trọng tâm ABC 

MC

' MD

=

3 1

 C’ D’ //=

3

1

CD (3)

C’D’CD là hình thang Gọi I’ =CC’  DD’



C

'

I

'

C

'

D '

I

' D '

CD

' D '

3

1 (4)

C’ là trọng tâm ABD  QCQB'=

3 1

B’ là trọng tâm ACDQBQB' =

3 1

B’C’//=

3

1

BC (5)

Tứ giác B’C’BC là hình thang Gọi I’’= BB’ CC’

 I ' C

'

C

'

I

= I ' B

' B

'

I

' C ' B

= 3

1

(6)

Từ (2)(4)(6) BB’,CC’, AA’, DD’ đồng quy tại I

Lại có:

A’ là trọng tâm BCD 

ND

' NA

=

3 1

D’ là trọng tâm ABC

NA

' ND

=

3 1

A’D’ //=

3

1

AD (7)

Từ (1) và (7) suy ra :B’Aˆ ’D’ =BAˆ D (2 góc có cạnh tương ứng song song)

từ (3)và (5) suy ra : B’ Cˆ ’D’ =BCˆ D (2 góc có cạnh tương ứng song song)

Suy ra :B’

Aˆ ’D’ + B’ Cˆ ’D’ = BAˆ D + BCˆ D

Mà tứ ABCD là tứ giác nội tiếp :  BAˆ D+ BCˆ D =1800  B’

Aˆ ’D’ + B’ Cˆ ’D’ =1800

tứ giác A’B’C’D’ nội tiếp

BÀI 11 (trang 149)

Cho tam giác ABC , lấy một điểm P thuộc miền trong tam giác ABC sao cho MA=MB, NA=NC, BQ=QC, PQ=QA’ , PN=NB’, PM=MC’ Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy

A

P

A'

B' C'

CM

Ta có :+) AN=NC và BQ=QC  QN //=

2

1

AB +) PN= NB’ và PQ=QA’ QN //=

2

1

A’B’

AB //= A’B’ Tứ giác ABA’B’ là hình bình hànhBB’  AA’ =I (*)

 IA=IA’ ; IB=IB’ (1)

Lại có :MA=MB và BQ=QC MQ //=

2

1

AC MP=MC’ và PQ=QA’ MQ //=

2

1

A’C’

AC //=A’C’Tứ giác ACA’C’ là hình bình hành AA’ CC’ =I’

I’A=I’A’; I’C=I’C’ (2)

Từ (1)(2) I I’  AA’, BB’, CC’ đồng quy tại I

BÀI 12 (149)

Cho hình thang ABCD đáy lớn AB Từ D kẻ đường thẳng DX // BC, DX AC =M Từ C kẻ đường thẳng CY // AD; CY AB = F Từ F kẻ đường thẳng Fm //AC; Fm  BC=P Chứng minh rằng MP, CF, BD đồng quy

M I

P

FAB CD //BF CDFB là hình thang Gọi I =CF BD 

IF

IC

=

IB

ID

=

BF

CD

(1)

CA // FP và M AC CM //PF  tứ giác CMFP là hình thang Gọi I’ =CF MF 

P

'

I

M

'

I

=

F

'

I

C

'

I

=

PF

CM

(2)

Gọi Dx AB= N  Tứ gíac CDNB là hình bình hành CDˆ N=NBˆ P

FP // CA PFˆ B = CAˆ F (ĐV) và FC // AD CAˆ F= ACˆ D (SLT)  PFˆ B = ACˆ D

X ét  CDM v à  FBP có

BÀI 13 (Trang 149)

Cho tứ giác ABCD có EF // AC, HG // AC Chứng minh rằng BD, EG, HF đồng quy

N

F E

C D

K

G

H

Kéo dài GE cắt BD tại K, ta cần chứng minh HF đi qua K

Thật vậy từ giả thiết ta suy ra :

ED

AE

=

FD

CF

GA

BG

=

HC

BH

Xét  ABD với cát tuyến GEK, áp dụng định lí Mênlaus ta có :

ED

AE

KB

DK

GA

BG

=1 

HC

BH

FD

CF

KB

DK

= 1

Từ đó áp dụng định lý Mênêlaus cho tam gíac BDC  H, F, K thẳng hàng

BÀI 14 (Trang 149)

Cho tam giác ABC đường thẳng d cắt các cạnh của tam giác sao cho khoảng cách

từ điểm A đến đường thẳng d bằng tổng khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d với khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng d Chứng minh rằng các đường thẳng

d như vậy đồng quy tại một điểm

CM:

K

M

A

O

I H1

H3

H2

Ta có AH1 =BH2 + CH3

Gọi M là trung điểm BC và I là trung điểm H2H3 MI là đường trung bình của hình thang BCH2H3

MI=

2

1

( BH2+ CH3) =

2

1

AH1

Gọi K= AM H2H3

Ta có  H1AK   IMK (AH1, MI cùng vuông góc với H2H3  AH1// MI )

IM

1

KM

AK =2 

AM

AK =

3

2  AK=

3

2 AM

Do A, B, C cố định  M cố định  K cố định, do đó cách xác định K là duy nhất

các đường thẳng d như vậy đồng quy tại K

BÀI 16 (Trang 149)

Cho đường tròn tâm O1 và đường tròn tâm O2, (O1) (O2) tại 2 điểm M, N và

O1M (O1) = A1, O1M (O2) = A2, O2M (O1)= B1, O2M (O2) =B2

Chứng minh rằng A1B1, A2B2, MN đồng quy

O2

M

O1

B2

B1

A2

Xét  A1MB2 có A2B2 vuông góc với A1M

A1B1vuông góc với MB2

MN vuông góc với A1B2

A1B1, A2B2, MN là 3 đường cao của  A1MB2

 A1B1, A2B2, MN đồng quy

BÀI 17 (Trang 150)

Cho  ABC đường cao AH, lấy H1 đ ối xứng với H qua AB, H2 đối xứng với H qua

AC, H1H2AB =K, H1H2 AC=I

Chứng minh rằng AH, BI, CK đồng quy

I K

A

H1

H2

H

Ta s ẽ chứng minh bài toán này bằng cách lật ngược vấn đề Gỉa sử AH, CK, BI là 3 đường cao của  ABC Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt KI tại H1 Từ H

kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt KI tại H2 Ta sẽ chứng minh rằng H1,H2 là điểm đối xứng với H qua AB, AC

Ta c ó :

Tứ giác AKHC nội tiếp HAˆ C =HKˆ C (cùng chắn cung CH )

Mà BKˆ H =900 -HKˆ C

ACˆ H= 900 - HAˆ C

BKˆ H= ACˆ H (1)

Tứ giác BKIC nội tiếp  IKˆ C = IBˆ C (cùng chắn cung BC )

M à H1 Kˆ B =AKˆ I (ĐĐ)

AKˆ I =900 - IKˆ C = 900- IBˆ C = ACˆ B

 H1 Kˆ B= ACˆ H (2)

Từ (1) và (2) BKˆ H= H1 Kˆ B BK là phân giác H1 Kˆ H mà BK là đường cao

 H1KH   H1KH cân KB là đường trung trực HH1.

H1 đối xứng với H qua AB

CMTT : H2 đối xứng với H qua AC

Do cách kẻ H1H2 AB =K; H1H2 AC= I là duy nhất AH, CK, BI là 3 đường cao của  ABC  AH, BI, CK đồng quy

BÀI 18 (Trang 150)

Cho  ABC có 3 góc nhọn H là trực tâm  ABC A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB G ọi R= A’B’ BC; S= A’B’ CA ; M= B’C’ 

AC ; N= B’C’ AB; P= A’C’ AB; Q= A’C’ BC Chứng minh rằng PS, QM, NR đồng quy tại H

P

S

M N

H A

B

C

C'

B'

A'

Gọi L=AH vuông góc với BC; I = CH vuông góc với AB ; K là giao điểm của BH vuông góc với AC

Ta có tứ gíac AIHK nội tiếp IAˆ H=IKˆ H (Cùng chắn cung IH)

Mà IKˆ H=NBˆ ’H (IK là đường trung bình của  C’HB’ nên IK // B’C’ )

IAˆ H=NBˆ'H

Tứ giác KHCN nội tiếp HKˆ L= HCˆ L (cùng chắn cung HL)

Mà HKˆ L = HBˆ'B ( KL là đường trung bình  A’HB’ nên KL //A’B’ )

HCˆ L=HBˆ'R

Tứ giác AILK nội tiếp  IAˆ L= ICˆ L

NBˆ'H=HBˆ'R

Tứ giác MHSB’ là hình thoi

CMTT tứ giác NC’PH, HQA’R là hình thoi.

Do tứ giác MHSB’ là hình thoi HS //B’C’

Tứ giác NC’PH l à hình thoi PH// B’C’

S,H,P thẳng hàng

PS đi qua H

CMTT ta có QM, NR qua H

PS, QM, NR đồng quy tại H

B ÀI 20 (Trang 150)

Cho A,E,F,B thuộc một đường thẳng Vẽ các hình vuông ABCD, EFGH thuộc nửa mặt phẳng bờ AB Chứng minh rằng AG, BH, CE, GH đồng quy

B A

Gọi O= AG BH

Do HG //AB 

OA

OG

=

OB

OH

=

AB

HG

Mà :

AB

HG

=

BC

HE



OB

OH

=

BC HE

Mà EHˆ O= OBˆ C (SLT)

  HOE   BOC (c.g.c)HOˆ E= BOˆ C

E, O, C thẳng hàng  EC đi qua O

CMTT DF đi qua O

Vậy AG, BH, CE, DF đồng quy tại O