Đại số Boole Đại số logic - Nguyễn Quốc Cường

• • • • • ð i s Boole ð i s logic Nguy n Qu c Cư ng – 3I N i dung Gi i thi u Các tiên ñ ñ i s logic Các ñ nh lý Ngun lý c a tính đ i ng u (duality) Cách bi u di n hàm logic Tài li u tham kh o • Digital Design: Principles & Practices – John F Wakerly – Printice Hall Gi i thi u • 1854 nhà tốn h c Anh, Gorge Boole (18151864) phát minh h th ng ñ i s ch có hai giá tr • Năm 1938, t i Bell Lab, Claude E Shannon ñã ch cách áp d ng đ i s Boole vào phân tích mô t m ch s d ng rơle (cịn g i switching algebra), đư c áp d ng cho phân tích m ch s hi n • Tiên đ 1: (A1) X = if X ≠ (A1’) X = if X ≠ Tiên đ • Tiên đ 2: (đ nh nghĩa tốn t đ o) (A2): If X = then X’ = (A2’): If X = then X’ = Toán t “ ‘ “ tốn t đ o hay bù (m t s ký hi u khác c a tốn t đ o: ~ X , X ) Tuy nhiên vi c s d ng ‘ thư ng ñư c s d ng ngơn ng l p trình HDLs) • Tiên ñ , :ð nh nghĩa toán VÀ HO C logic: Toán t AND s d ng ký hi u · Toán t OR s d ng ký hi u + T t c h th ng logic đ u có th mơ t phân tích d a tiên ñ Ký hi u ph n t logic sơ ñ ð nh lý cho m t bi n Vi c ch ng minh ñ nh lý có th s d ng phương pháp quy n p hồn tồn (vì s giá tr c a bi n ch có và1 nên r t d áp d ng phương pháp quy n p) cho ba bi n Chú ý: ñ thu n ti n thư ng vi t X · Y thay cho ( X · Y ) Cho n bi n ð ch ng minh s d ng phương pháp quy n p h u h n: • ch ng minh v i n = • gi thi t ñúng v i n = i, chúng minh ñúng v i n = i+1 10 Nguyên lý ñ i ng u • Các ñ nh lý hay ñ ng nh t th c ñ i s logic s ln n u thay tráo ñ i cho ñ ng th i · + ñư c tráo ñ i cho • Hàm đ i ng u: 11 – Cho hàm logic F(X1,X2,…,Xn, + , · , ’) – Hàm ñ i ng u c a F ñư c ñ nh nghĩa hàm có d ng bi u th c v i toán t · + ñư c ñ i ch cho FD(X1,X2,…,Xn, + , · , ’) = F(X1,X2,…,Xn, · , + , ’) + · ñ i ch Nguyên lý ñ i ng u ñ nh lý DeMorgan [F(X1,X2,…,Xn)]’ = FD(X1’, X2’,…,Xn’) F(X1,X2,…,Xn) = [FD(X1’, X2’,…,Xn’)]’ (ñ nh lý DeMorgan) 12 Bi u di n hàm logic thông qua b ng B ng s th c (không bao g m hàng ROW), nhiên thư ng ñư c s d ng ñ ch giá tr t h p c a bi n 13 14 • • • • • M t s khái ni m H s ch (literal): m t bi n ñơn , ho c ph n bù c a Ví d : X, Y, X’, S h ng tích (product term): m t literal ho c tích logic c a nhi u literal Ví d : Z’, X ¢ Y, X’ ¢ Y ¢ Z’ Bi u th c t ng c a tích: m t t ng logic c a s h ng tích S h ng t ng (sum term): m t literal ho c t ng logic c a nhi u literal Ví d : X’, X+Y+Z’ Bi u th c tích c a t ng: tích logic c a s h ng t ng 15 • M t s h ng chu n (normal term): m t s h ng tích ho c t ng mà khơng có bi n xu t hi n m tl n Ví d s h ng khơng chu n: X + Y + X’, Y ¢ X ¢ X’ ¢ Z Ví d s h ng chu n: X + Y, X ¢ Y ¢ Z minterm n bi n: m t s h ng tích chu n c a n literal maxterm n bi n: s h ng t ng chu n c a n literal • • • • • • 16 17 • Minterm: có th đư c đ nh nghĩa s h ng tích ng v i m t hàng c a b ng chân lý cho tích b ng • Maxterm: có th đư c đ nh nghĩa s h ng t ng ng v i m t hàng c a b ng chân lý cho t ng b ng 18 Bi u di n hàm qua minterm maxterm • Hàm logic có th bi u di n dư i d ng: 19 – canonical sum: t ng c a minterm ng v i hàng c a b ng chân lý mà t i giá tr hàm b ng – canonical product: tích c a maxterm ng v i hàng c a b ng chân lý mà t i giá tr hàm b ng 20 • ð ñơn gi n ký hi u, ngư i ta thư ng s d ng d ng vi t rút g n sau: X, Y , Z bi n, ñi kèm v i ch s hàng tương ng c a minterm ho c maxterm 21 22 T i thi u hóa hàm logic • Hàm logic có th bi u di n thơng qua: – canonical sum – canonical product Tuy nhiên d ng chưa ñư c t i thi u • ð gi m s input hay s gate s d ng m ch c n ph i t i thi u hóa m ch Bìa Karnaugh • Là cách bi u di n ñ h a c a b ng chân lý 23 24 • • • • • 25 K-map : n bi n s có 2n ô M i m t ô K-map ng v i m t hàng b ng chân lý Quy c k t h p bi n ch ñư c khác m t giá tr K-map ch thu n ti n s d ng cho hàm logic có bi n tr xu ng T K-map có th vi t đư c canonical sum ho c canonical product tương t b ng chân lý T i thi u hóa d ng t ng tích ‘ 26 ‘ • Quy t c nhóm c a K-map: – Nhóm 2k có giá tr k cho k max ( ≤ k ≤ n, v i n s bi n) – Có xác (n-k) bi n có giá tr khơng đ i s đư c nhóm • D ng tích: 27 – n u bi n có giá tr 2k đư c nhóm product term s ch a bi n – n u bi n có giá tr 2k đư c nhóm product term s ch a bù c a bi n – n u bi n có c giá tr 2k đư c nhóm s khơng xu t hi n product term nhóm khơng 28 ví d 29 • D ng t i gi n s d ng K-map không ph i nh t 30 T i thi u hóa d ng tích t ng • Nhóm 2k có giá tr k cho k max: 31 – n u bi n có giá tr 2k đư c nhóm sumterm s ch a bù c a bi n – n u bi n có giá tr 2k đư c nhóm sumterm s ch a bi n – n u bi n có c giá tr 2k đư c nhóm s khơng xu t hi n sum term Các t h p ñ u vào “Don’t-Care” • Trong trư ng h p ng v i m t s t h p giá tr inputs giá tr hàm logic có th tùy ý (b ng ho c b ng 1) t h p “don’t-care” • S d ng t h p “don’t-care” t i gi n hàm: – Cho phép t h p don’t-care tham gia vào ô cho s ô 2k l n nh t – Khơng nhóm ch tồn don’t-care 32 33 Các phương pháp t i gi n s d ng chương trình • Khi s bi n l n, s d ng thu t toán: – Queen-McCluskey (tham kh o) – Espresso II, Espresso-MV (tham kh o) 34 ... • • • 25 K-map : n bi n s có 2n ô M i m t ô K-map ng v i m t hàng b ng chân lý Quy c k t h p bi n ch ñư c khác m t giá tr K-map ch thu n ti n s d ng cho hàm logic có bi n tr xu ng T K-map có th... “Don’t-Care” • Trong trư ng h p ng v i m t s t h p giá tr inputs giá tr hàm logic có th tùy ý (b ng ho c b ng 1) t h p “don’t-care” • S d ng t h p “don’t-care” t i gi n hàm: – Cho phép t h p don’t-care... ñ , :ð nh nghĩa toán VÀ HO C logic: Toán t AND s d ng ký hi u · Toán t OR s d ng ký hi u + T t c h th ng logic đ u có th mơ t phân tích d a tiên ñ Ký hi u ph n t logic sơ ñ ð nh lý cho m t bi