Dap an HSG huyen Yen Lac 2011

Đáp án đề thi giao lu học sinh giỏi huyện yên lạc năm học 2010-2011. (TG: 90phút) C âu 1 :a) 5 1 b) Ta có a+b =a.b= a:b a+b =a.b a=b(a-1) (1) a+b= a:b a+b= a:b (2) Từ (1), (2) a+b= a-1 b=-1 thay vào (2) ta đợc a = 2 1 Vậy a = 2 1 và b= -1 C âu 2 : a) 67)62( 2010 302011 2 + =++ x y (1) Ta có: ( ) 062 2 x với x Z ( ) 676762 2 +x với x Z 30 67 2010 67)62( 2010 2 = +x với x Z 02011 +y với y Z 30302011 ++y với y Z Do đó (1) có nghiệm nguyên x,y khi và chỉ khi ( ) =+ = 02011 062 y x = = 2011 3 y x b) 1)( 258 ++= xxxxxf * xét x=0 ta có 1)0( =f > 0 * xét x<0 ta có 0 5 > xx 01)( 258 >++= xxxxxf * xét 0<x<1 ta có >++= 1)( 258 xxxxxf 1 248 ++ xxxx 0 2 1 2 1 2 1 )( 22 4 >+ + > xxxf * xét 1<x ta có xxxx >> 258 ; 01)( 258 >++= xxxxxf Vậy 1)( 258 ++= xxxxxf có giá trị dơng với mọi giá trị của x C âu 3 : b 2 = ac=> 2011 2011 2011 2011 b a a b b a b a b c b b c c b c b c + = = = = = + 2 2011 2011 2011 . . 2011 2011 2011 a b a b a b a a b b c b c b c c b c + + + = = ữ + + + Do ú: c a = 2 2 ( 2011 ) ( 2011 ) a b b c + + C âu 4 :a) * ABC cân tại A có Â = 80 0 nên B = (180 0 - Â) : 2 =50 0 Lại có: BAD = Â - CAD = 80 0 30 0 =50 0 B = BAD=50 0 ABD cân tại D AD =BD * ABD cân tại D có BAD=50 0 ADB=180 0 - 2 BAD = 80 0 Lại có : CBE = BAD- ABE = 50 0 30 0 =20 0 BID =180 0 ( DBI+ IDB) = 180 0 ( CBE+ ADB)=80 0 * BID = ADB(= 80 0 ) BDI cân tại B BI =BD * DIE=180 0 - BID =100 0 ( 2 góc kề bù) mà DIE= EAI+ AEI (góc ngoài của AIE) AEI = DIE- EAI= DIE- CAD=100 0 30 0 =70 0 Trên đoạn BI lấy K sao cho BAK = 10 0 ta có : KAE= Â- BAK= 80 0 10 0 =70 0 Do đó KAE= AEI=70 0 AKE cân tại K AK = KE (1) * KAI= BAD - BAK =50 0 -10 0 =40 0 Vẽ tia phân giác của KAI cắt KI tại N ta có : KAN= DAN(=20 0 ) BAN = BAK+ KAN=30 0 Do BAN = ABN (=30 0 ) nên ABN cân tại N AN = BN * ADN và BDN có : AN = BN AD =BD DN là cạnh chung Suy ra ADN = BDN(c.c.c) ADN = BDN( 2 góc tơng ứng) Mặt khác ADN + BDN= ADB=80 0 A B C E D I N K 30 0 30 0 10 0 ADN =40 0 Do đó : AND = 180 0 -( DAN+ AND)=120 0 * AKN = BAK+ ABK=40 0 (góc ngoài của ABK) ANK=180 0 -( AKN+ KAN)=120 0 * AKN và ADN có : KAN= DAN(=20 0 ) AN là cạnh chung ANK= AND (=120 0 ) Suy ra AKN = ADN(g.c.g) AK = AD(2) ( 2 cạnh tơng ứng) Từ (1), (2) suy ra : AD = KE(3) * KAI= AKI(=40 0 ) AKI cân tại I AI =KI(4) Từ (3), (4) suy ra : AD AI = KE KI hay DI = IE Vậy IDE cân tại I b)Theo a) ta có IDE cân tại I có DIE=100 0 Suy ra : IDE = IED =(180 0 - DIE):2=40 0 C âu 5 : Giả sử n 2004 +1 là số chính phơng với n là số lẻ ta có : n 2004 +1 = a 2 ( a N*) a 2 (n 1002 ) 2 = 1 (a-n 1002 )(a+n 1002 )=1 1 (a+n 1002 ) =1 điều này vô lí vì (a+n 1002 ) >2 với n là số lẻ Vậy n 2004 +1 không là số chính phơng với n là số lẻ . ac=> 2011 2011 2011 2011 b a a b b a b a b c b b c c b c b c + = = = = = + 2 2011 2011 2011 . . 2011 2011 2011 a b a b a b a a b b c b c b c c b c + + + = = ữ + + + Do ú: c a = 2 2 ( 2011. đó : AND = 180 0 -( DAN+ AND)=120 0 * AKN = BAK+ ABK=40 0 (góc ngoài của ABK) ANK=180 0 -( AKN+ KAN)=120 0 * AKN và ADN có : KAN= DAN(=20 0 ) AN là cạnh chung ANK= AND (=120 0 ) Suy. giác của KAI cắt KI tại N ta có : KAN= DAN(=20 0 ) BAN = BAK+ KAN=30 0 Do BAN = ABN (=30 0 ) nên ABN cân tại N AN = BN * ADN và BDN có : AN = BN AD =BD DN là cạnh chung Suy ra