Chứng minh AH vuông góc với MN.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đê
Đề thi gồm: 01 trang
Câu 1 (3 điểm)
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 4
b) Giải hệ phương trình ( )
( )
2 3 1
2 3 2
c) Rút gọn biểu thức: 9 225 4 3
2
P
=
+
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình x2 -3x + m = 0 (1) (x là ẩn)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn
1 1 2 1 3 3
x + + x + =
Câu 3 (1 điểm)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48km Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không kể thời gian nghỉ) Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết vận tốc của nướclà 4km/h
Câu 4 (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là một điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác C) sao cho MAN = 450 Đường chéo
BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q
a) Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp
b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP Chứng minh AH vuông góc với MN
c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh: a3 + b3 ≥ ab(a+b) với mọi a, b ≥ 0 Áp dụng kết quả trên, chứng minh
bất đẳng thức 3 13 3 13 3 13 1
+ + + + + + với mọi a, b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c = 1
Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
Trang 2Câu 1 (3 điểm)
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 4
Đồ thị hàm số y = 2x - 4 là đường thẳng
cắt Ox tại điểm (2; 0) và cắt Oy tại điểm (0; -4)
b) Giải hệ phương trình ( )
( )
2 3 1
2 3 2
Thay x = 2y-3 vào (2) ta được y = 2.(2y - 3) -3 ⇒ y = 3
Thay y = 3 vào (1) ta được x = 2.3 - 3 ⇒ x = 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình 3
3
x y
=
=
hay (3; 3)
c) Rút gọn biểu thức: 3
2
2
P
=
a a
=
2
+
+
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình x2 -3x + m = 0 (1) (x là ẩn)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
Với m = 1 ta có phương trình: x2 -3x + 1 = 0
∆ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4.1.1 = 5 > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
3 5
b x
a
b x
a
Vậy với m = 1 thì tập nghiệm của phương trình 3 5 3; 5
S − +
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Thì ∆ > 0 ⇔ 9 - 4m >0 ⇒ 9
4
m<
Khi đó, theo Vi-et ta có:
3
b
x x
a c
a
−
+ = =
× = =
Mặt khác: 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1 1 2 1 3 3 1 1 2 1 2 1 1 2 1 27
2 x 1 x 1 25 x x 25 x x 2x x 25 9 2m 2 8 m
( 2 ) ( 2 ) 2 2 2 2 2
( )2
Vậy m = -3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn đ/k 2 2
1 1 2 1 3 3
x + + x + =
Câu 3 (1 điểm)
Gọi x (km/h) là vận tốc của ca-nô lúc nước yên lặng (đ/k x > 4)
Khi đó Vận tốc ca-nô lúc xuôi dòng x + 4 (km/h), vận tốc ca-nô lúc ngược dòng x - 4 (km/h)
Thời gian ca-nô đi xuôi dòng 48
4
x+ (h), thời gian ca-nô đi ngược dòng
48 4
x− (h)
Thời gian cả đi và về (không tính thời gian nghỉ) là 5 giừo nên ta có phương trình 48 48 5
phương trình (*) ⇔ 5x2−96x−80 0= ( ' 2704∆ = ⇒ ∆ =' 52) ⇒ x1 = 4 4
5
− < (loại); x2 = 20 Vậy vận tốc của ca-nô lúc nước yên lặng là 20 km/h
Trang 3Câu 4 (3 điểm)
Câu 5 (1 điểm)
a) Chứng minh: a3 + b3 ≥ ab(a+b) với mọi a, b ≥ 0
Ta cần chứng minh: a3 + b3 - ab(a+b) ≥ 0
Ta có a3 + b3 - ab(a+b) = (a+b)(a2 - ab + b2) - ab(a+b) = (a+b)(a2 + b2 - 2ab + b2) = (a+b)(a - b)2
Do a, b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 0 và (a - b)2 ≥ 0 ⇒ (a+b)(a - b)2 ≥ 0 Vậy a3 + b3 ≥ ab(a+b) với mọi a, b ≥ 0 b) Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất đẳng thức 3 13 3 13 3 13 1
+ + + + + + với mọi a, b, c
là các số dương thỏa mãn a.b.c = 1
Ta có a3 + b3 ≥ ab(a+b) kết hợp với a.b.c = 1
⇒ a3 + b3 +1 ≥ ab(a+b) +abc = ab(a+b+c) ⇒ 3 3 ( )
1 1
a b ≤ ab a b c =a b c
Tương tự 3 13
1
a
+ + + + và 3 3
1 1
b
+ +