Chứng minh rằng là số nguyên dương với mọi nguyên dương và không chia hết cho 2016.. a Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm M của DE.. Chứng minh rằng M, N, L, K cùng thuộc một đường trò
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
M«n: to¸n (To¸n chuyªn)
Câu I 1) Giải phương trình − 8 − 3 + 6√2 + 3 = 0
2) Giải hệ phương trình
+ 2 1 − = 3
2 + 1 − = 1.
Câu II 1) Tìm các cặp số nguyên sao cho ( + 2) là lũy thừa của 2
2) Với mỗi số nguyên dương ta đặt = 2 + √3 + 2 − √3 Chứng minh rằng là số nguyên dương với mọi nguyên dương và không chia hết cho 2016
Câu III Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AD, BE,
CF đồng quy tại H với D, E, F lần lượt thuộc các đoạn BC, CA, AB CH cắt (O) tại G khác C GD cắt (O) tại K khác G
a) Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm M của DE
b) Gọi N là trung điểm DF AN cắt (O) tại L khác A Chứng minh rằng M, N, L, K cùng thuộc một đường tròn
Câu IV Các số nguyên dương từ 1 đến được viết lên bảng theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải ( ≥ 2) A và B chơi một trò chơi luân phiên như sau: A đi trước; đến lượt ai đi, người đó xóa hai số liên tiếp bất kỳ trên bảng và thay thế bằng tổng hoặc tích của chúng Hai bạn chơi cho đến khi còn lại một số Nếu số còn lại là số lẻ thì A thắng, trái lại thì B thắng Tìm tất cả các số nguyên dương
mà A có cách chơi để chắc chắn thắng
- HẾT -
Trang 2ĐÁP ÁN Toán chuyên (tóm tắt) Câu I 1) Đk ≥ −3 Ta có ( − 2 − 3) − 6 − √2 + 3 = 0
Với = −1 không thỏa mãn
Với ≠ −1 khi đó nhân liên hợp ta có ( − 2 − 3) 1 −
√ = 0 TH1 − 2 − 3 = 0 ⟹ = 3
TH2 + √2 + 3 = 6 ⟹ = 3
Cách 2 = √2 + 3 ⟹ − 22 + 24 + 45 = 0 ⟹ = 3
2) Đặt = 1 − ta có hệ + 2 = 3
2 − 2 + = 1. hay
+ 2 = 3
2 − = 1 Suy ra + 2 − 3(2 − ) = 0 hay ( − )( + 6 ) = 0
TH1 = ⟹ = = 1 ℎ = 1, = 0
TH2 = −6 ⟹ =
√ , = −
√ ⟹ = Câu II 1) Vì ( + 2) là lũy thừa của 2 nên tồn tại hai số tự nhiên < sao cho
= 2 , + 2 = 2 ⟹ 2 − 2 = 2 hay 2 2 − 1 = 2 vì 2 − 1 lẻ nên 2 =
2, 2 − 1 = 1 ⟹ = 1, = 2 nên = 2
2) Do + = ( + )( + ) − ( + ) , chọn = 2 + √3, = 2 − √3
Ta có ngay = 4 − , mà = 4, = 14 Do đó là số nguyên với mọi Khi đó ta có + ⋮ 4 mà chia 4 dư 2 nên chia 4 dư 2 với mọi
Tương tự + ⋮ 8 mà chia 8 dư 4 nên chia 8 dư 4 với mọi nên không chia hết cho 8 nên cũng không chia hết cho 2016
Câu III a) Ta thấy các tứ giác AEDB, BFHD nội tiếp nên ∠AED = 180ᵒ – ∠ABD =
∠FHD và ∠DFH = ∠DBH = ∠DAE Từ đó △ ~ △ Dễ thấy G là đối xứng của H qua BC suy ra = suy ra = / hay = Từ đó
△HGD ̴ △EAM Suy ra ∠EAM = ∠HGD = ∠CAK suy ra ≡
b) Gọi BH cắt (O) tại P khác B Tương tự phần a) suy ra LD đi qua P Dễ thấy P là đối xứng của H qua CA suy ra AG = AH = AP suy ra GP ⊥ OA ⊥ EF Từ đó GP ‖ EF ‖ MN Gọi AL cắt GP tại Q Ta có
∠MNA = ∠AQP = ∠AGQ + ∠QAG =∠APG + ∠QAG = ∠AKG + ∠GKL =∠AKL Suy ra tứ giác MKNL nội tiếp
Câu IV Nếu lẻ thì A đi bước cuối thì dù bước trước B thế nào thì A vẫn chọn được cách để thu được số chẵn nên chắc chắn thắng Nếu chắn Thay dãy trên bảng bởi dãy
1, 0, 1, 0, , 1, 0 Bước 1, A chọn 2 số cuối cùng tạo thành số 1 và được dãy 1, 0, 1, 0, , 0, 1 Ta gọi những dãy như thế này là “có lợi cho A” Đến lượt B đi và bước tiếp theo A sẽ có cách tạo ra được dãy có lợi cho mình.Thật vậy, B phải chọn hai số cạnh nhau là 0 và 1 nên chỉ có thế tạo thành số 0 hoặc 1, bước tới A sẽ đi như sau: Nếu sau khi B đi có 2 số 0 cạnh nhau thì A chọn 2 số này để lấy tổng của chúng thì thu được
1 số 0 và dãy còn lại là dãy có lợi; nếu sau khi B đi có hai số 1 cạnh nhau thì A kết hợp một số 1 với một số 0 cạnh nó để có được số 0 và dãy thu được vẫn là dãy có lợi Như vậy sau một số bước sẽ thu được dãy 1, 0, 1 và đến lượt B đi, kết quả của B chỉ có thể
là 0, 1 hoặc 1, 0 hoặc 1, 1 thì A luôn có cách chuyển về số 1 và A thắng