TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề M«n: to¸n (To¸n chung) Câu I. 1) Giải phương trình √ 3+ 6 − √ 2 − = √ 2+ 2. 2) Giải hệ phương trình 2 + 3 =30 + 2− 3=6. Câu II. 1) Tìm các cặp số nguyên ( , ) thỏa mãn − − 2 + − 2=3. 2) Với các số thực a,b thỏa mãn điều kiện + +=3, tìm giá trị nhỏ nhất của = + . Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). AD là phân giác ∠ BAC với D nằm giữa B, C. AD cắt (O) tại E khác A. EF là đường kính của (O). P là một điểm nằm giữa A, D. FP cắt (O) tại Q khác F. Đường thẳng qua P vuông góc AD cắt CA, AB lần lượt tại M , N. a) Chứng minh rằng các tứ giác PQBN , PQCM nột tiếp. b) Giả sử QN và PC cắt nhau trên (O). Chứng minh rằng QM và PB cũng cắt nhau trên (O). Câu IV. Cho ,, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng +− + + − + +− ≥ + + HẾT ĐÁP ÁN Toán chung ( tóm tắt ) Câu I. 1) Đk 2≥≥1 khi đó 3 + 6≥2 − nên pt tương đương 3 + 6 + 2 − − 2 ( 3+ 6 )( 2 − ) =2+ 2 (0.5đ) hay ( 3+ 6 )( 2 − ) =3 (0.5đ) Từ đó =±1 ( thỏa mãn ). (0.5đ) 2) 2 + 3 =30 + 2− 3=6 .Phương trình thứ hai tương đương ( −3 )( + 2 ) =0 (0.5đ) TH1. =3 thay vào phương trình thứ nhất thu được nghiệm (3; 2) và (3; −2) (0.5đ) TH2. = −2 thay vào phương trình thứ nhất thu được nghiệm (3;−2) và (−3;−2) KL: ( 3;2 ) , ( 3;−2 ) , ( −3;−2 ) (0.5đ) Câu II. a) − − 2 + − 2=3⇔ ( −2 )( ++ 1 ) =3 (0.5đ) TH1. − 2=3,+ + 1=1⟹=1,=−1. TH2. − 2=1,++ 1=3⟹ = ,= loại (0.5đ) TH3. − 2=−3,+ + 1=−1⟹=− ,= loại TH4. − 2=−1,+ + 1=−3⟹=−3,=−1. KL: ( 1;−1 ) , ( −3;−1 ) ( 0.5đ ) . b) Ta có ( + 1 ) + ( + 1 ) + ( + ) ≥2 + 2 + 2=6 (1.0đ) Suy ra + ≥2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==1. Vậy min ( + ) =2 (0.5đ) Câu III. a) EF là đường kính của (O) nên AF ⊥ AE ⊥ MN do đó AF ‖ MN. Suy ra ∠QPN = ∠AFQ = 180° – ∠ABQ suy ra PQBN nội tiếp. Lại có ∠FPM = ∠AQF = ∠ACQ suy ra PMCQ nội tiếp. . b) Giả sử QN và PC cắt nhau tại R thuộc (O). Từ PQBN nội tiếp ta thấy ∠NPB = ∠ NQB = ∠BCP. Từ tứ giác PMCQ ta có ∠ PBC = ∠ RPB – ∠ PCB = ∠ RPN + ∠ NPB – ∠ NPB = ∠ RPN = ∠ MPC = ∠ MQC . Từ đó nếu QM cắt BP tại S dễ suy ra tứ giác SBQC nội tiếp hay S thuộc (O). Câu IV. = () + () + () ≥ () + () + () (0.5đ) = + + ≥2 ( ) =+ + . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==. (0.5đ) . ++ 1 ) =3 (0.5đ) TH1. − 2=3,+ + 1= 1⟹ =1, = 1. TH2. − 2 =1, ++ 1= 3⟹ = ,= loại (0.5đ) TH3. − 2=−3,+ + 1= 1 =− ,= loại TH4. − 2= 1, + + 1= −3⟹=−3,= 1. . 1= −3⟹=−3,= 1. KL: ( 1; 1 ) , ( −3; 1 ) ( 0.5đ ) . b) Ta có ( + 1 ) + ( + 1 ) + ( + ) ≥2 + 2 + 2=6 (1. 0đ) Suy ra + ≥2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = =1. Vậy min ( +. KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2 015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Thời gian làm bài: 12 0 phút, không kể thời gian phát đề M«n: to¸n (To¸n chung) Câu I. 1) Giải phương trình