Trng THPT chuyờn H Ni Amsterdam, 2011 Ngun ti liu: http://www.hn-ams.edu.vn. 1 TRNG THPT CHUYấN H NI AMSTERDAM CNG HC K II MễN TON LP 12 NM HC 2010 2011 S 1. Bi 1. Cho hm s 4 2 8 1. y x x = - - 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ( ) C ca hm s. 2) Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi ( ) , C cỏc ng 1, 2 x x = - = v trc honh. Bi 2. Gii h phng trỡnh v bt phng trỡnh sau: 1) 3 1 2 3 2 2 2 3.2 . 3 1 1 x y y x x xy x + - + ỡ + = ù ớ + + = + ù ợ 2) 2 4 2 1 log . 2 2 x x x ổ ử - ỗ ữ ỗ ữ - ố ứ Bi 3. 1) Tỡm nguyờn hm 2 1 . 3 I dx x = - ũ 2) Tớnh tớch phõn 1 4 1 . 1 2 x x I dx - = + ũ Bi 4. Trong khụng gian vi trc ta , Oxyz hóy lp phng trỡnh mt phng ( ) P trong cỏc trng hp sau: 1) ( ) P cha hai ng thng ( ) 1 1 1 : 1 1 1 x y z + + D = = v ( ) 2 2 2 : 2 3 1 x y z + - D = = - - ct nhau. 2) ( ) P cha ( ) 1 1 1 : 1 1 1 x y z + + D = = v tip xỳc vi ( ) 2 2 2 : 8 2 4 7 0. S x y z x y z + + - + + + = 3) ( ) P cha ( ) 3 2 1 3 : 2 3 1 x y z + - - D = = - v ct ( ) 2 2 2 : 8 2 4 7 0 S x y z x y z + + - + + + = theo mt ng trũn cú bỏn kớnh ln nht. Bi 5. Tỡm phn thc v phn o ca s phc , z bit rng 1) z tha món biu thc ( ) ( ) ( ) 2 1 2 8 1 2 . i i z i i z + - = + + + 2) z tha món biu thc 2 1 3 . 1 2 i i z i i + - + = - + HT Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: http://www.hn-ams.edu.vn. 2 ĐỀ SỐ 2. Bài 1. Cho hàm số 3 2 1 2 3 . 3 y x x x = - + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) C và trục hoành. Bài 2. 1) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 log 1 2 log 1 2 4 . log 1 2 log 1 2 2 x y x y y y x x y x + - + - ì - + + + + = ï í + + + = ï î 2) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm đúng x " : ( ) 2 log 4 1 0. a x x a - + + > Bài 3. 1) Tìm nguyên hàm . cos dx I x = ò 2) Tính tích phân ( ) 2 3 0 4sin . sin cos x I dx x x p = + ò Bài 4. 1) Lập phương trình mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) :2 1 0; : 1 0 x y z a b - - = - = và khoảng cách từ điểm ( ) 1;2;3 A - đến ( ) P bằng 3. 2) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D với ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , ' 0;0;1 . A B D A Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa ' A C và tạo với mặt phẳng ( ) Oxy một góc a sao cho 6 cos . 6 a = 3) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho điểm ( ) 2;3;5 A và đường thẳng 1 2 : . 2 1 2 x y z d - - = = Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) P là lớn nhất. Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho ba điểm , , A B C lần lượt biểu diễn các số phức ( )( ) 1 2 3 4 2 6 ; 1 1 2 ; . 1 3 i i z z i i z i i + = = - + = - - 1) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. 2) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông. HẾT Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: http://www.hn-ams.edu.vn. 3 ĐỀ SỐ 3. Bài 1. Cho hàm số 3 2 1 1 2 2 . 3 3 y x mx x m = + - - - 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số trên ứng với 1 . 2 m = 2) Tìm 5 0; 6 m æ ö Î ç ÷ è ø sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số đã cho và các đường 0, 2, 0 x x y = = = có diện tích bằng 4. Bài 2. Giải hệ phương trình và bất phương trình sau: 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 log 1 log 1 . 4 5.2 6 x y x y x y y x + + ì + - + = - ï í + = ï î 2) ( ) 3 1 1 3 3 1 log log 1 1 . 2 x x < + - Bài 3. 1) Tìm nguyên hàm ( ) 2001 1002 2 . 1 x I dx x = + ò 2) Tính tích phân 2 0 1 sin . 1 cos x x I e dx x p + = + ò Bài 4. 1) Viết phươn trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm ( ) 2; 1;3 B - và cách điểm ( ) 1;3;5 A - một khoảng lớn nhất. 2) Cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 2;1;0 , 2;0;2 . A B C Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm , B C và cách A một khoảng lớn nhất. Đáp số: 5 2 8 0. x y z - + + + = 3) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng ( ) ( ) : 1 0 P m x y mz - + + = và điểm ( ) 1;1;2 . A Tìm m để khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Bài 5. Tìm tất cả số phức z trong các trường hợp sau: 1) 2 0. z z + = 2) 2 10 z i- - = và . 25. z z = HẾT Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: http://www.hn-ams.edu.vn. 4 ĐỀ SỐ 4. Bài 1. Cho hàm số 4 2 6 4. y x x = - + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) C và parabol ( ) 2 : . P y x = - Bài 2. 1) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 log log log 1 13 . log log . log 7 x x y x y y xy x y ì - + = ï í = - ï î 2) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: ( ) ( ) 2 2 1 5 log 5 1 .log 6 log 3 0. a a x ax x ax + + + + + + ³ Bài 3. Tính các tích phân sau: 1) 2 2 cos . 1 x x I dx e p p - = + ò 2) 2 0 sin . sin cos x I dx x x p = + ò Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz viết phương trình đường thẳng D trong những trường hợp sau: 1) D qua ( ) 1;2;3 , A vuông góc với 1 2 2 3 : 2 1 1 x y z d - + - = = - và cắt 2 1 1 1 : . 1 2 1 x y z d - - + = = - 2) D nằm trong ( ) : 2 3 4 0, P x y z + - + = cắt và vuông góc 2 2 : . 1 1 1 x y z d + - = = - 3) D vuông góc với ( ) :7 4 0 P x y z + - = và cắt cả 1 2 1 2 1 2 : ; : 1 . 2 1 1 3 x t x y z d d y t z = - + ì - + ï = = = + í - ï = î Bài 5. Tìm các số phức z thỏa mãn: 1) 4 1. z i z i + æ ö = ç ÷ - è ø 2) 1 1 z z i - = - và 3 1. z i z i - = + HẾT Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: http://www.hn-ams.edu.vn. 5 ĐỀ SỐ 5. Bài 1. Cho hàm số 3 2 2 . y x x x = - + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C . 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) C và đường thẳng : 4 . d y x = Bài 2. Giải hệ phương trình và bất phương trình sau: 1) 2 3 2 3 log 3 5 log 5 . 3 log 1 log 1 x y x y ì + - = ï í - - = - ï î 2) ( ) ( ) 2 2 1 log 2 log 1,25 0,64 . x x x - + < Bài 3. Tích các tích phân sau: 1) 2 3 3 sin cos . sin cos x x I dx x x p p + = - ò 2) ( ) 4 0 sin 4 . sin 2 2 1 sin cos x dx I x x x p p æ ö - ç ÷ è ø = + + + ò Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz lập phương trình đường thẳng D trong những trường hợp sau: 1) D đi qua ( ) 1;2; 1 , H - cắt 3 3 : 1 3 2 x y z d - - = = và song song với ( ) : 3 0. P x y z + - + = 2) D qua ( ) 2; 1;1 M - đồng thời vuông góc với cả 1 2 1 0 2 1 0 : , : . 2 0 0 x y x y d d x z z + + = + - = ì ì í í - = = î î 3) D nằm trong ( ) : 2 0 P y z + = đồng thời cắt cả 1 2 1 2 : ; : 4 2 . 4 1 x t x t d y t d y t z t z = - = - ì ì ï ï = = + í í ï ï = = î î Bài 5. Tìm tập hợp các điểm ( ) ; M x y trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z x yi = + nếu như thỏa mãn một trong các điều kiện sau: 1) 2 2 . z i z z i - = - + 2) 4 4 10. z i z i- + + = HẾT Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: http://www.hn-ams.edu.vn. 6 ĐỀ SỐ 6. Bài 1. Cho hàm số 2 . 1 x y x - = + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. 2) Tìm giá trị của k biết rằng thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi ( ) C và trục Oy khi quay quanh Oy là . k p Bài 2. 1) Giải hệ phương trình: 4 3 0 . log log 0 y x x y x y ì - + = ï í - = ï î 2) Giải bất phương trình: ( ) ( ) 3 4 2 2 2 1 2 1 2 2 2 32 log log 9.log 4.log . 8 x x x x æ ö æ ö - + < ç ÷ ç ÷ è ø è ø Bài 3. 1) Tìm nguyên hàm ( ) ( ) 3 2 3 2 . 2 1 x x dx I x x x - + = + + ò 4) Tính tích phân 2 2 2 0 3sin 4cos . 3sin 4cos x x I dx x x p + = + ò Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz lập phương trình đường thẳng D trong những trường hợp sau: 1) D vuông góc với 1 3 3 : , 1 2 1 x y z d - + - = = - nằm trong ( ) :2 2 9 0 P x y z + - + = và đi qua giao của d và ( ) . P 2) D song song với 1 5 : 3 1 1 x y z d - - = = - và cắt cả 1 2 1 2 2 4 7 : ; : . 1 4 3 5 9 1 x y z x y z d d - + - + + = = = = 3) D là đường vuông góc chung của 1 1 2 : 2 1 1 x y z d - + = = và 2 d là giao tuyến của ( ) : 2 3 0 P x y - + = và ( ) : 3 0. Q z - = Bài 5. Giải các phương trình sau: 1) ( ) ( ) 2 2 3 4 3 1 0. i z i z i - + - + - = 2) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 4 0. i z i z - - + - = HẾT Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: http://www.hn-ams.edu.vn. 7 ĐỀ SỐ 7. Bài 1. Cho hàm số 1 . 1 x y x - = + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. 2) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox của hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) , C trục hoành và trục tung. Bài 2. 1) Giải hệ phương trình: ( ) 3 3 4 1 1 3 . log 1 y x x x y x ì - + - = ï í ï + = î 2) Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2 3 log 2 1 log 4 2 2. x x + + + £ Bài 3. 1) Tìm nguyên hàm ( )( ) 2 2 2 1 . 5 1 3 1 x I dx x x x x - = + + - + ò 3) Tính tích phân 2 2 2 0 4 . I x x dx = - ò Bài 4. Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh , a góc 60 , o BAD SO = vuông góc với ( ) ABCD và 3 . 4 a SO = Gọi , E F lần lượt là trung điểm , BC BE . 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) . SBC 2) Tính góc giữa hai đường thẳng AE và . SF 3) Gọi ( ) a là mặt phẳng chứa AD và vuông góc với ( ) SBC , cắt hình chóp . S ABCD theo một thiết diện. Hãy dựng và tính diện tích thiết diện đó. Bài 5. 1) Giải phương trình 2 4 3 1 0 2 z z z z - + + + = trên tập số phức. 2) Giải hệ phương hai ẩn 1 2 , z z sau đây trên tập số phức: 1 2 2 2 1 2 4 . 5 2 z z i z z i + = + ì í + = - î HẾT Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: http://www.hn-ams.edu.vn. 8 ĐỀ SỐ 8. Bài 1. Cho hàm số 2 1 . x x y x - + = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) , C tiếp tuyến của ( ) C qua ( ) 1;0 , A tiệm cận xiên của ( ) C và đường thẳng 2. x = Bài 2. 1) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 log log 1 . 1 x y e e y x xy x y ì - = - + ï í + = ï î 2) Tìm m để bất phương trình sau sau đúng với : x R " Î ( ) ( ) 2 2 5 5 1 log 1 log 4 . x mx x m + + ³ + + Bài 3. Tính các tích phân sau: 1) 3 2 4 tan . cos 1 os x I dx x c x p p = + ò 2) ( ) 3 2 1 3 ln . 1 x I dx x + = + ò Bài 4. Giải bài toán sau bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh bằng . a Các điểm , I J thuộc ', AD BD sao cho ( ) 0 2 . AI DJ m m a= = < < 1) Tính theo a khoảng cách giữa ' A B và ' . B D Đs: . 6 a 2) Chứng minh rằng IJ luôn song song với mặt phẳng ( ) ' ' A BCD khi m thay đổi. 3) Tìm m để đoạn thẳng IJ nhỏ nhất. Khi đó hãy chứng tỏ IJ là đường vuông góc chung của ' AD và . BD Bài 5. 1) Tìm một acgumen của số phức 1 sin cos z i j j = - + với 0 . 2 p j < < 2) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1, z i - - = hãy tìm số phức có acgumen dương và nhỏ nhất. HẾT . ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 log 1 log 1 . 4 5 .2 6 x y x y x y y x + + ì + - + = - ï í + = ï î 2) ( ) 3 1 1 3 3 1 log log 1 1 . 2 x x < + - Bài 3. 1) Tìm nguyên hàm ( ) 20 01 10 02 2 . 1 x I. = ï í - = ï î 2) Giải bất phương trình: ( ) ( ) 3 4 2 2 2 1 2 1 2 2 2 32 log log 9.log 4.log . 8 x x x x æ ö æ ö - + < ç ÷ ç ÷ è ø è ø Bài 3. 1) Tìm nguyên hàm ( ) ( ) 3 2 3 2 . 2 1 x x dx I x. = î 2) Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2 3 log 2 1 log 4 2 2. x x + + + £ Bài 3. 1) Tìm nguyên hàm ( )( ) 2 2 2 1 . 5 1 3 1 x I dx x x x x - = + + - + ò 3) Tính tích phân 2 2 2 0 4 . I