Trờng THCS ba đình Đề dự kiến thi HSG cấp thị lớp 8 Môn : toán (Năm học 2010 - 2011) Thời gian làm bài thi : 150 phút Bài 1: Cho biểu thức 2 2 2 3 1 1 3 1 1 : 3 ( 1) 1 1 1 a a a a P a a a a a + + = + a) Tìm những giá trị của a để P xác định. b) Rút gọn P. c) Tìm giá trị của a để 1 P nhỏ nhất và tìm giá trị đó. Bài 2: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x 2 (y - z) + y 2 (z -x) +z 2 (x - y) b) Tìm d của phép chia f(x) cho q(x) với f(x) = 1 + x + x 19 + x 199 + x 1995 và q(x) = 1 - x 2 Bài 3: a) Giải phơng trình sau: 1 2 3 4 5 6 99 98 97 96 95 94 x x x x x x + + = + + b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 4 1 x A x = + Bài 4: Chứng minh rằng: a) a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 với a; b b) 2 ab bc ca a b c a b b c a c + + + + + + + với a; b; c > 0 Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đờng chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P . a) Tứ giác AMDB là hình gì ? b) Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB . Chứng minh: EF // AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. Hết Hớng dẫn chấm Đề dự kiến thi HSG cấp thị lớp 8 - THCS Ba Đình 2010-2011 Câu Nội dung điểm 1 1a, (1đ) P xác định với mọi a 1 1 1b, (1,5đ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 1 3 1 3 ( 1) 1 1 1 ( 1)( 1) 1 ( 1) (1 3 ) 1 ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) a a a a a a P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + = = + + + + + + + = = + + + + (Đặt = Q) Vậy 2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 1 : : 1 ( 1)( 1) 1 1 a a a P Q a a a a a a a + + + = = = + + + + 1 0,5 1c, (1,5đ) 2 2 1 1 3 3 1 1 2 4 4 a a a a P = + + = + + ữ => 1 P min = 3/4 a = - 1/ 2 1 0,5 2 2a, (2đ) Phân tích : A = x 2 (y - z) + y 2 (z -x) +z 2 (x - y) = x 2 (y - z) + yz(y - z) - x(y 2 - z 2 ) = (y - z)(x 2 +yz - xy - xz) = (y - z)[x(x - y) - z(x - y)] = ( y - z)( x - y)( x - z) . 1 1 2b, (2đ) Gọi Q(x) là thơng của phép chia f(x) cho q(x) = 1 - x 2 thì f(x) = (x 2 -1) Q(x)+ ax+b Đẳng thức đúng với mọi x. Với x=1; f(1)= a+b = 5 , với x= - 1; f(-1) = - a + b = - 3 Giải ra đợc a =4, b = 1 Vậy d của phép chia f(x) cho q(x) là 4x+ 1 1,5 0,5 3a, (2đ) Giải PT : 1 2 3 4 5 6 99 98 97 96 95 94 x x x x x x + + = + + Trừ 1 vào mỗi phân thức ở 2 vế của phơng trình, các phân thức nhận đợc sẽ có tử bằng nhau. 1 2 3 4 5 6 (1) 1 1 1 1 1 1 99 98 97 96 95 94 1 1 1 1 1 1 ( 100) 0 99 98 97 96 95 94 x x x x x x x + + = + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ + + = ữ 1,5 3 Vì 1 1 1 1 1 1 0 99 98 97 96 95 94 + + nên x - 100 = 0 => x = 100 Vậy phơng trình có 1 nghiệm là x = 100 . 0,5 3b, (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 4 1 x A x = + Ta có 2 2 2 2 2 4 4 4 4 1 (2 1) 4 4 1 1 x x x x A x x + + = = + + Max A = 4 khi và chỉ khi x = - 1/2 1,5 0,5 4 4a, (2đ) Chứng minh : a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 ( 1) với a; b Ta có (1) <=> a 4 + b 4 - a 3 b - ab 3 0 HS biến đổi đợc (a - b) 2 (a 2 + b 2 - ab) 0 với a; b 0,5 1,5 4b, (2đ) Chứng minh : 2 ab bc ca a b c a b b c a c + + + + + + + với a; b; c > 0 Ta có (a+ b) 2 4ab <=> 4 ab a b a b + + . Tơng tự 4 bc b c b c + + ; 4 ca c a c a + + => 4 4 4 2 ab bc ca a b b c c a a b c a b b c a c + + + + + + + + + = + + + (đpcm) 1,5 0,5 5 5, (4đ) a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có PO là đờng TB của MAC AM // PO tứ giác AMDB là hình thang. b) ( 1 điểm ) Do AM// BD OBA= MAF ( đồng vị ) (1) Xét tam giác cân OAB OBA = OAB (2) Gọi I là giao điểm của MA và EF AFI cân ở I IAF = IFA(3) Từ (1) ; (2) và (3) IFA = OAB EF //AC (*) Mặt khác IP là đờng trung bình của MAC IP // AC (**) Từ (*) và (**) suy ra E,F, P thẳng hàng. c) (2 điểm ) Do MAF DBA ( g-g) AB AD FA MF = không đổi. 1 1 2 (GV ra đề và làm đáp án: Trần Thị Hà - THCS Ba Đình - BS) M D F A C B O P E I . thi HSG cấp thị lớp 8 - THCS Ba Đình 2010-2011 Câu Nội dung điểm 1 1a, (1đ) P xác định với mọi a 1 1 1b, (1,5đ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 1 3 1 3 ( 1) 1 1 1 ( 1)( 1) 1 ( 1) (1 3. Bài 3: a) Giải phơng trình sau: 1 2 3 4 5 6 99 98 97 96 95 94 x x x x x x + + = + + b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 4 1 x A x = + Bài 4: Chứng minh rằng: a) a 4 + b 4 a 3 b. Trờng THCS ba đình Đề dự kiến thi HSG cấp thị lớp 8 Môn : toán (Năm học 2010 - 2011) Thời gian làm bài thi : 150 phút Bài 1: Cho biểu thức 2 2 2 3 1 1 3 1 1 : 3 ( 1) 1 1 1 a a a a P a a a a