DE THI HSG CAP THI XA( de 1)

TR ường THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển toán 8( lần 1 ) ( thời gian : 120’) Câu 1: Cho biểu thức : ( )( ) ( )( ) ( )( ) yx yx xyx y yyx x B −+ − ++ − −+ = 1111 2222 a) Rút gọn B b) Tìm các cặp số nguyên (x,y) sao cho B = -3 Câu 2: a) Tìm số dư trong phép chia (x +2) (x +4) ( x+6) (x+8) +2010cho đa thức : x 2 +10x +21 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số: 3 4 2 2 3 1 n n n n + + + là phân số tối giản. Câu 3: Cho 0ax by cz+ + = . Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )bc y z ca z x ab x y A ax by cz − + − + − = + + Câu 4: a) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: 2 2 1 x y+ = . b) Giải phương trình: 2 2 (8 1) (4 1) 9x x x− − = . Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm M, N thuộc các cạnh AD, BC sao cho AM CN MD NB = . Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở H. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh rằng: HN // BD. b) Gọi I là giao điểm của HO và MN. Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF. Câu 6 : Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB,CD . Lấy M, N sao cho : AM =CN= AB/3 . Gọi K là giao điểm của AN và DM . Chứng minh rằng trực tâm tam giác ADK thuộc BC Câu 7: a) Cho x, y, z là ba số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thoả mãn 1 1 1 x y z + = . Hỏi x y + có là số chính phương không ? Vì sao ? b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: 60; 100z x y z≥ + + = . Tìm giá trị lớn nhất của A xyz = . Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Së gi¸o dôc ®µo t¹o thanh ho¸ Phòng giáo dục Bỉm sơn TRng THCS Lờ Quý ụn Bm Sn xut thi hc sinh gii cp th xó . Nm hc : 2010 - 2011 ( Thi gian : 150) Gv ra ờ : Mai Th Huyn Cõu 1: (4 iểm) Cho biu thc : P = [ ] + + + ++ + +++ + )1(2 3 1 5 : 2)1()1( 102 1 )2(3 22 2 23 x xxxx xx xxx x a) Rỳt gn B b)Tỡm tt c cỏc giỏ tr nguyờn ca x P cú giỏ tr l bi ca 4 Cõu 2: (4 iểm) a) Phân tích thành nhân tử : ( x+y+z ) 3 x 3 y 3 z 3 b) Chứng minh : ( a+b+c) 3 - ( a+b-c) 3 ( b+c-a) 3 ( c+a b) 3 Chia hết cho 24 với mọi a,b,c Cõu 3: (4 iểm) a) Tỡm cỏc s t nhiờn x, y tho món: 2 2 1 x y+ = . b) Gii phng trỡnh: 2 2 (8 1) (4 1) 9x x x = . Cõu 4: (4 iểm) Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). Cỏc im M, N thuc cỏc cnh AD, BC sao cho AM CN MD NB = . Gi cỏc giao im ca MN vi BD, AC theo th t l E, F. Qua M k ng thng song song vi AC, ct DC H. Gi O l giao im ca AC v BD. a)Chng minh rng: HN // BD. b)Gi I l giao im ca HO v MN. Chng minh rng: IE = IF, ME = NF. Cõu 5: (2iểm) Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cnh AB,CD . Ly M, N sao cho : AM =CN= 3 AB . Gi K l giao im ca AN v DM . Chng minh rng trc tõm tam giỏc ADK thuc BC Cõu 6: (2 iểm) a) Chứng minh rằng : ++ + + + + + cba bcac ab cbab ca caba bc 111 2 1 222222 b) Cho x, y, z l cỏc s dng tho món: 60; 100z x y z + + = . Tỡm giỏ tr ln nht ca A xyz = . Sở giáo dục đào tạo thanh hoá Phòng giáo dục Bỉm sơn TRng THCS Lờ Quý ụn Bm Sn Đáp án và biểu điểm Cõu Ni dung trỡnh by iêm Cõu 1 (4) a)(2) P= )1( 2 . )1)(1)(1(2 )1)(1(3)1)(1(3)1(10 : )1)(1( 102 )1)(1( )2(3 2 222 2 2 2 ++ ++++ ++ + ++ + x xxx xxxxx xx xx xx x = . )1)(1( 422 2 2 ++ + xx xx . 661010 )1)(1)(1(2 22 2 ++ xx xxx )1( 2 x = )4(4 )2(8 2 2 + x xx = 2 )1(2 )2)(2(4 )1)(2(2 = + + x x xx xx 0,5 0,5đ 0.5đ 0,5đ b) ( 2) k : x 2,2.1,1 xxx P= 2 2 2 2 )1(2 += xx x Vỡ x nguyờn P cú gớ tr nguyờn thỡ : => 2 2 2 xZ x (2) M (2)= }{ 2;2;1;1 + x-2 = -1 => x = 1 khụng tho món k xỏc nh + x-2 = 1 => x= 3 tho món KX Khi ú p =4 l bi ca 4 + x-2= -2 => x = 0 => p = 1 khụng l bi ca 4 + x-2 = 2= > x=4 => p= 3 khụng l bi ca 4 Vởy x = 3 thoả mãn đề bài 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ cõu 2 (4) a)( 2 ) ( x + y + z ) 3 = (x+ y ) 3 + 3( x+ y )z ( x+y +z) + z 3 = x 3 + y 3 + 3 ( x +y )xy + 3( x+ y )z ( x+y +z) +z 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3 ( x+y ) ( y+z) ( x +z) => ( x + y + z ) 3 - x 3 - y 3 - z 3 = 3 ( x+y ) ( y+z) ( x +z) b)(2) Đặt a+ b c =x , b+ c a = y , c+a b = z ta có : x+ y +z = a+ b +c x+y = 2b , x +z = 2a , y +z = 2c Theo câu a) ta có : ( a +b +c) 3 - ( a+b c) 3 - ( b+c-a) 3 ( c+a b) 3 = ( x + y + z ) 3 - x 3 - y 3 - z 3 = 3( x+y ) ( y+z) ( x +z) = 3 . 2a .2b .2c = 24 abc 24 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0.75đ 0.5đ 0,25 Cõu 3 (3) a) (1,5) Ta cú: 0,5 0.5đ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 2 3 x x m m n n m n n y y y y m n y n x m y − + = ⇒ = + −  + = ⇒ > ⇒ − = − =  − =  = =   ⇒ ⇒   = =   0,5đ b) (1.5đ) 2 2 2 (8 1) (4 1) 9 8 (8 1) (8 2) 72x x x x x x− − = ⇔ − − = Đặt 8x – 1 = y ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1 72 9 1 2 3 1 4 y y y y x y x + − = ⇔ =  =  ⇔ = ± ⇔   = −   0,5đ 0.5® 0,5đ 4 (4đ) I K Q H F E O A B D C M N G a) (2đ) Theo định lí Ta-let ta có: / / DH DM BN HN BD HC MA NC = = ⇒ (theo định lí Ta-let đảo) 2đ b)(2đ) Gọi G là giao điểm của HM và BD, Q là giao điểm của HN và AC. Ta có: / / MG AO BO NQ GQ MN GH OC OD QH = = = ⇒ Gọi K là giao điểm của HO và GQ. Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ. Do đó: IE = IF, IM = IN, ME = NF. 1đ 1đ Cõu5 (3) Cõu 6 (2 ) Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1 3 BC = 1 3 AB AM = NC = 1 3 AB (gt) AM = BE = CN Chỉ ra ABE = DAM (c.g.c) BAE = ADM BAE + EAD = ADM + DAE = DAB = 90 0 DM AE (1) Chứng minh tơng tự ta cũng có DE AN (2) Do AB // CD, áp dụng hệ quả của định lí Talet vào AKM ta có: 1 2 AK AM KN DN = = Mà 1 2 BE EC = KE // AB (định lí Talet đảo) Mà AB AD EK AD (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra trực tâm của AKD là điểm E thuộc BC. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a) 1điểm p dụng bất đắng thức cô si cho 2 ssố không âm ta có : abc cb caba bc bc cb caba bc 1 4 2 4 2222 = + + + + + abc caba bc 1 ) 11 ( 4 1 22 ++ + (1) bca cbab ac 1 ) 11 ( 4 1 22 ++ + (2) cba bcac ab 1 ) 11 ( 4 1 22 ++ + (3) 0.25đ 0.25đ 0,25 1 2 BE AK EC KN = = Tõ (1) , (2) , (3) ta cã : + + caba bc 22 + + cbab ac 22 22 bcac ab + ) 111 ( 2 1 cba ++≥ b) (1điÓm) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 60; 100 60 60 60 0 3600 60 0 60 60 60 60 60 60 15.40 24000 4 z x y z y y z y z yz yz y z x y z A xyz x y z ≥ + + = ⇒ < ⇒ − − ≤ ⇒ − + + ≤ ⇒ ≤ + − + + − ⇒ = ≤ + − ≤ = = (áp dụng bất đẳng thức Côsi) Dấu “=” xảy ra khi 60 60 60 100 20 , 0 z x x y z z x y z x y x y =   = + + − =   ⇔   + + = = =    ≥  Vậy Max A = 24000 60 20 z x y =  ⇔  = =  0.25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25đ . 1 (4) a)(2) P= )1( 2 . )1)( 1)(1(2 )1)( 1(3 )1)( 1(3)1(10 : )1)( 1( 102 )1)( 1( )2(3 2 222 2 2 2 ++ ++++ ++ + ++ + x xxx xxxxx xx xx xx x = . )1)( 1( 422 2 2 ++ + xx xx . 661010 )1)( 1)(1(2 22 2 ++ xx xxx )1( 2 x =. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Së gi¸o dôc ®µo t¹o thanh ho¸ Phòng giáo dục Bỉm sơn TRng THCS Lờ Quý ụn Bm Sn xut thi hc sinh gii cp th xó . Nm hc : 2010 - 2011 ( Thi gian : 150) . ⇒ = + −  + = ⇒ > ⇒ − = − =  − =  = =   ⇒ ⇒   = =   0,5đ b) (1.5đ) 2 2 2 (8 1) (4 1) 9 8 (8 1) (8 2) 72x x x x x x− − = ⇔ − − = Đặt 8x – 1 = y ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1 72 9 1 2 3 1 4 y