Đề thi Học kỳ II lớp 12 có đáp án

SỞ GD – ĐT QUẢNG TRỊ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II TRƯỜNG THPT LÊ THẾ HIẾU MÔN TOÁN Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (6 điểm) Câu 1 ( 3,5 điểm ) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 – 4 có đồ thị (C). a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Câu 2 ( 2,5 điểm ) Tính các tích phân: a/ 1 sin(ln ) e x dx x π ∫ b/ 4 2 0 cosx xdx π ∫ II. PHẦN RIÊNG (4 điểm) Phần 1: Theo chương trình chuẩn: Câu 3 ( 1 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: z 3 + 1 = 0. Câu 4 ( 3 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm: A(-1; -2; 0); B(2; -6; 3) ; C(3; -3; -1) ; D(-1; -5; 3). a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua D và vuông góc với (ABC). c/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. Phần 2: Theo chương trình nâng cao: Câu 3 (1,5 điểm) a/ Chứng minh đẳng thức sau trên tập số phức: 16 8 (3 ) 256(3 4 )i i+ = − ( trong đó i là số ảo ) b/ Giải bất phương trình sau: 1 1 2 2 4 log 2log ( 1) log 6 0x x+ − + ≤ Câu 4 (2,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2 4 2 6 5 0x y z x y z+ + − + − + = và hai đường thẳng: (d 1 ): 5 1 3 2 3 2 x y z+ − + = = − ; (d 2 ): 7 1 8 x t y t z = − +   = − −   =  a/ Viết phương trình mặt phẳng ( α ) song song với (d 1 ) và (d 2 ), đồng thời tiếp xúc với (S). b/ Xác định tọa độ tiếp điểm của (S) và ( α ). Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC KỲ II I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (6 điểm) Câu 1 a/ (2 điểm) i) TXĐ : R (0,25 điểm) ii) Sự biến thiên : * Ta có : y' = 3x 2 + 6x ; 0 y' = 0 2 x x =  ⇔  = −  (0,25 điểm) * Các giới hạn tại vô cực 3 3 2 2 3 lim lim ( 1) x x y x x x →−∞ →− ∞ = + − = −∞ 3 3 2 2 3 lim lim ( 1) x x y x x x →+∞ →+ ∞ = + − = +∞ * Bảng biến thiên (0,5 điểm) x −∞ – 2 0 +∞ y’ + 0 – 0 + y 0 +∞ −∞ - 4 * Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 2)−∞ − và (0; )+∞ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 2; 0 ). (0,25 điểm) * Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x = – 2 ; y CĐ = y(–2) = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y CT = y( 0) = –4. (0,25 điểm) iii ) Đồ thị : Ta có Các giao điểm của (C) với trục Ox là ( –2; 0) và (1; 0). Giao điểm của (C) với trục Oy là I(0;– 4). Đồ thị nhận I(–1; 2) làm tâm đối xứng. (0,25 điểm) Đi qua điểm (–3 ; – 4). 2 -2 -4 -2 x y O 1 -1 -3 ( Vẽ đúng đồ thị được 0,25 điểm ) b) Tại điểm x = 2 ta có : y = 16 (0,25 điểm) Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái y’(2) = 24. (0,25 điểm) Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = 24(x – 2) + 16 Hay y = 24x – 32 (0,25 điểm) c) Dựa vào đồ thị ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là : 1 2 3 2 (4 3 )S x x dx − = − − ∫ (0,5 điểm) 1 4 3 2 27 4 4 4 x x x −   = − − =  ÷   (0,25 điểm) Câu 2 a/ (1,5 điểm) I 1 = 1 sin(ln ) e x dx x π ∫ Đặt t = lnx. Ta có: dx dt x = (0,5 điểm) Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0 x e t π π = ⇒ = (0,5 điểm) Khi đó: 1 0 0 sin cos 2I tdt t π π = = − = ∫ (0,5 điểm) b/ (1 điểm) Ta có: 4 4 4 4 2 2 0 0 0 0 1 1 I = cos = (1 cos2 ) cos2 2 2 x xdx x x dx xdx x xdx π π π π    ÷ + = +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ (0,25 điểm) * 2 2 4 4 0 0 2 32 x xdx π π π = = ∫ (0,25 điểm) * Xét 4 0 cos2J x xdx π = ∫ Đặt cos2 u x dv xdx =   =  ta có 1 sin 2 2 du dx v x =    =   (0,25 điểm) Khi đó : 4 4 4 0 0 0 1 1 1 sin 2 sin 2 cos2 2 44 1 82 8 J x x xdx x π π π π π     = − = + =  ÷  ÷    −  ∫ Vậy 2 2 2 1 1 4 8 2 32 8 4 64 I π π π π + −   = + − =  ÷   (0,25 điểm) II. PHẦN RIÊNG (4 điểm) Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu 3: ) Ta có: Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái 3 2 2 z = - 1 z + 1 = 0 (z + 1)(z - z + 1) = 0 z - z + 1 = 0 (*)  ⇔ ⇔   (0,25 điểm) Xét (*), ta có: 1 4 3 3i∆ = − = − ⇒ ∆ = . (0,25 điểm) Suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm: 1,2 1 3 2 i z ± = (0,25 điểm) Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là 1,2 1 3 2 i z ± = ; z 3 = - 1 . (0,25 điểm) Câu 4 a/ (1,25 điểm) Ta có: (3; 4 ; 3); (4; 1; 1)AB AC= − = − − uuur uuur . (0,5 điểm) Mặt phẳng (ABC) có 1 vectơ pháp tuyến là: (7;15;13)n AB AC= ∧ = r uuur uuur (0,25 điểm) Suy ra phương trình tổng quát của (ABC) là: 7(x + 1) + 15(y + 2) + 13(z - 0) = 0 ⇔ 7x + 15y + 13z + 37 = 0. (0,25 điểm) * Dễ thấy D ∉ (ABC), nên A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện. (0,25 điểm) b/ (0,75 điểm) Đường thẳng d vuông góc với (ABC) nên d có 1 vectơ chỉ phương là: (7;15; 13)u n= = r r (0,5 điểm) Suy ra phương trình tham số của d: 1 7 5 15 3 13 x t y t z t = − +   = − +   = +  (0,25 điểm) c/ (1 điểm) Phương trình mặt cầu có dạng: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + = (S). (0,25 điểm) ( trong đó a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: 2 2 2 0a b c d+ + − > ). Vì (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có hệ phương trình: 5 2 4 0 6 8 6 44 1 49 4 12 6 0 8 2 2 14 4 19 6 6 2 0 5 1 35 2 10 6 0 5 2 4 0 9 a b d a b c a a b c d a b c b a b c d b c c a b c d a b d d − − + = − + − = = −       + − + + = − + + = =    ⇔ ⇔    + − − + = − = = −       − − + + = − − + = =    (0,25 điểm) Vậy mặt cầu (S) có phương trình là 2 2 2 2 8 2 9 0x y z x y z+ + − + − + = (0,25 điểm) Mặt cầu (S) có tâm là điểm I(1; -4; 1) và bán kính R = 3. (0,25 điểm) Phần 2: Theo chương trình nâng cao: Câu 3 a/ Ta có: ( ) 8 2 16 16 8 8 3 (3 ) (3 ) 256(3 4 ) 256 256 (3 4 ) 3 4 i i i i i i   + + + = − ⇔ = ⇔ =   − −     (0,25 điểm) Mà ( ) 2 3 8 6 (8 6 )(3 4 ) 50 2 3 4 3 4 25 25 i i i i i i i i + + + + = = = = − − . (0,25 điểm) Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái Suy ra 16 8 8 8 8 (3 ) (2 ) 2 . 256 (3 4 ) i i i i + = = = − (đpcm) (0,25 điểm) b/ 1 1 2 2 4 log 2log ( 1) log 6 0x x+ − + ≤ (1) Điều kiện: x > 0. (0,25 điểm) Với điều kiện trên: [ ] 2 2 2 2 2 (1) log log ( 1) log 6 0 log ( 1) log 6x x x x⇔ − − − + ≤ ⇔ − ≥ (0,25 điểm) 2 2 ( 1) 6 6 0 3 x x x x x x ≤ −  ⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔  ≥  Kết hợp với điều kiện ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là 3x ≥ .(0,25 điểm) Câu 4 a/ (1,5 điểm) (S) có tâm là điểm I(2; -1; 3) và có bán kính là R = 3 (0,25 điểm) (d 1 ) có 1 vectơ chỉ phương là 1 (2; 3;2)u = − ur . (d 2 ) có 1 vectơ chỉ phương là 2 (1; 1;0)u = − uur . (0,25 điểm) Vì ( α ) song song với (d 1 ) và (d 2 ) nên ( α ) có 1 vectơ pháp tuyến là: 1 2 (2;2;1)n u u= ∧ = r ur uur (0,25 điểm) Do đó phương trình ( α ) có dạng 2x + 2y + z + c = 0 (0,25 điểm) ( α ) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi: 2 2 4 4 2 3 ( ;( )) 3 5 9 14 2 2 1 c c d I R c c α = − + +  = ⇔ = ⇔ + = ⇔  = − + +  (0,25 điểm) Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu là: ( 1 α ): 2x + 2y + z + 4 = 0 ; ( 2 α ): 2x + 2y + z – 14 = 0 (0,25 điểm) b/ (1 điểm) Gọi ∆ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với ( α ). Khi đó tiếp điểm của (S) và ( α ) chính là giao điểm của ∆ với ( α ). ∆ vuông góc với ( α ) nên có 1 vectơ chỉ phương là: (2;2;1)u n= = r r (0,25 điểm) Do đó ∆ có phương trình tham số là: 2 2 1 2 3 x t y t z t = +   = − +   = +  (0,25 điểm) Tham số t ứng với giao điểm của (S) và ( 1 α ) là nghiệm của phương trình 2(2 + 2t) + 2(-1 + 2t) + (3 + t) + 4 = 0 ⇔ 9t + 9 = 0 1t⇔ = − (0,25 điểm) Suy ra tiếp điểm của (S) và ( 1 α ) là: A(0; -3; 2). Tương tự tiếp điểm của (S) và ( 2 α ) là B(4; 1; 4) (0,25 điểm) Ghi chú: - Học sinh làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của câu đó. Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái . điểm của (S) và ( α ). Đề thi ( tham khảo) học kỳ II Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Ái ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC KỲ II I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH (6 điểm) Câu 1. điểm) Câu 1 ( 3,5 điểm ) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 – 4 có đồ thi (C). a/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thi hàm số. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm. CHO TẤT CẢ THI SINH (6 điểm) Câu 1 a/ (2 điểm) i) TXĐ : R (0,25 điểm) ii) Sự biến thi n : * Ta có : y' = 3x 2 + 6x ; 0 y' = 0 2 x x =  ⇔  = −  (0,25 điểm) * Các