1 Câu 1 ( 2 điểm ) Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 1 ( ) a. Khảo sát và v ẽ đồ th ị hàm số 1 ( ) b. Viế t phươ ng trình tiếp tuy ến v ới đồ th ị hàm số 1 ( ) bi ết ti ếp tuy ến vuông góc vớ i đườ ng thẳng d ( ) : x + 9y −1 = 0 . Câu 2 ( 1 đi ểm ) Giả i phương trình: l og 3 2 x − l o g 3 9 x 2 ( ) − 1 = 0 Câu 3 ( 1 đ i ể m ) Tìm nguyên hàm sau: F x ( ) = s in x 1+ c os x ∫ d x Câu 4 ( 1 đ iểm ) a. Tìm n ∈ N biết C n + 1 1 + 3 C n + 2 2 = C n + 1 3 b. Cho 100 t ấm thẻ đánh s ố t ừ 1 đế n 100, chọ n ngẫu nhiên 3 th ẻ . Tính xác suấ t để t ổ ng các s ố ghi trên 3 thẻ đượ c ch ọ n là m ộ t s ố chia h ế t cho 2. Câu 5 ( 1 đ iểm ) T rong không gian vớ i hệ tr ục to ạ độ Oxyz cho các đi ểm A 0; 1;2 ( ) , B 0;2;1 ( ) , C −2;2;3 ( ) . Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính đường cao A H c ủa nó . Câu 6 ( 1 đ iểm ) Cho hình chóp S. ABC D có đáy AB CD là hình chữ nhậ t vớ i AB = a , A D = 2 a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AD , góc giữa SB và m ặt phẳ ng đ áy ABCD ( ) là 45 0 . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH theo a Câu 7 ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Ox y , cho đường tròn C ( ) tâm I x I > 0 ( ) , C ( ) đi qua điểm A − 2; 3 ( ) và tiếp xúc với đường thẳng d 1 ( ) : x + y + 4 = 0 tại điểm B . C ( ) cắt d 2 ( ) : 3x + 4y −16 = 0 tại C và D sao cho ABC D là hình thang có hai đáy là A D và BC , hai đường chéo AC , B D vuông góc vớ i nhau. Tìm toạ độ các đi ểm B , C , D Câu 8 ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình: x 2 + xy + 2y 2 + y 2 + xy + 2x 2 = 2 x + y ( ) 8y − 6 ( ) x −1 = 2 + y − 2 ( ) y + 4 x − 2 + 3 ( ) " # $ % $ Câu 9 ( 1 điểm ) Cho x , y là các số thực không âm thoả mãn: 2x 2 + 3xy + 4y 2 + 2y 2 + 3xy + 4x 2 − 3 x + y ( ) 2 ≤ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 2 x 3 + y 3 ( ) + 2 x 2 + y 2 ( ) − xy + x 2 +1 + y 2 +1 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: TR ƯỜNG THPT NÔNG C ỐNG I T Ổ TOÁN ĐỀ CHÍNH TH ỨC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐ C GIA LẦN 2 MÔN THI: TOÁN 12 Thờ i gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề 34 2 TRƯỜNG THPT NÔNG C Ố NG I TỔ TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Đ ÁP ÁN ĐỀ THI TH Ử THPT QU Ố C GIA L Ầ N 2 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu Đáp án Đi ể m 1 2 điểm a. Khảo sát đủ các bước, đồ thị vẽ dễ nhìn chấm điểm tối đa 1,0 b. Gọi M a; a 3 − 3a 2 + 2 ( ) là tiếp điểm, do tiếp tuyến vuông góc với d ( ) . Nên có: y' a ( ) = 9 0,25 Hay 3 a 2 − 6 a − 9 = 0 ⇔ a = − 1 hoặc a = 3 0,25 Với a = − 1 PTTT là: y = 9 x + 7 0,25 Với a = 3 PTTT là: y = 9x − 25 0,25 2 1 điểm ĐK: x > 0 0,25 PT đã cho tương đương với: log 3 2 x − 4 log 3 x − 5 = 0 0,25 Hay: log 3 x = −1 log 3 x = 5 " # $ 0,25 Vậy PT có nghiệm: x = 1 3 hoặc x = 3 5 0,25 3 1 điểm Ta có F x ( ) = sin x 1+ cos x ∫ dx = − d 1+ cos x ( ) 1+ cos x ∫ = −ln 1+ cos x ( ) + C 1,00 4 1 điểm a. 0.5 đi ể m ĐK: n ∈ N, n ≥ 2 0,25 Từ đề ra ta có: n +1+ 3 n + 2 ( ) ! 2!n! = n +1 ( ) ! 3! n − 2 ( ) ! ⇔ n 2 −10n − 24 = 0 0,25 Giả i ra ta được: n = 1 2 ho ặ c n = − 2 0,25 Đố i chi ế u ĐK ta đượ c n = 1 2 0,25 b. 0.5 đ i ể m Số ph ần t ử c ủ a không gian mẫ u là: C 1 00 3 . Do tổ ng 3 s ố đượ c ch ọ n chia hế t cho 2 nên ta có các tr ườ ng hợ p sau: 0,25 + C ả 3 s ố đề u ch ẵ n, s ố cách ch ọ n là: C 5 0 3 0,25 + Trong 3 số có một số chẵn, hai số lẽ số cách chọn là: C 50 1 C 50 2 0,25 Vậ y xác su ất tính đượ c là: C 50 3 + C 50 1 C 50 2 C 100 3 = 1 2 0,25 5 1 điểm Ta có AB ! " ! ! 0;1;−1 ( ) , AC ! " ! ! −2;1;1 ( ) . Do AB ! "!! ≠ k AC ! "!! nên ABC là một tam giác 0,5 Nhận thấy AB ! "!! .AC ! "!! = 0 nên ΔABC vuông tại A . Vậy 1 AH 2 = 1 AB 2 + 1 AC 2 = 2 3 . Hay AH = 3 2 0,5 6 2 điểm a. 0.5 điểm Do SH ⊥ ABCD ( ) nên góc giữa SB và mặt phẳng đáy ABCD ( ) là góc ∠SBH = 45 0 . Ta có ΔSBH vuông cân tại H vậy SH = BH = a 2 0,25 3 Ta có V S . A B C D = 1 3 SH.dt ABCD ( ) = 2a 3 2 3 (đvtt) 0,25 a. 0.5 điểm Gọi K là trung điểm cử BC , ta có BH / /D K ⇒ BH / / S DK ( ) suy ra d BH; SD ( ) = d BH; SDK ( ) ( ) = d H; SDK ( ) ( ) 0,25 Tứ diện SHDK vuông tại H nên 1 d 2 H; SDK ( ) ( ) = 1 HS 2 + 1 HK 2 + 1 HD 2 = 5 2a 2 Vậy d BH; SD ( ) = d H; SDK ( ) ( ) = a 2 5 0,25 7 1 điểm Do ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn nên ABCD là hình thang cân. Do hai đường chéo vuông góc với nhau tại K nên ΔBKC vuông cân tại K, suy ra ∠ACB = 45 0 ⇒ ∠AIB = 90 0 (góc ở tâm cùng chắn cung AB) hay IB ⊥ AI (1) Lại do d 1 ( ) tiếp xúc C ( ) tại B nên IB ⊥ d 1 ( ) (2). Từ (1), (2) suy ta IB = d A / d 1 ( ) = 5 2 , ( AI / / d 1 ( ) ) 0,25 Ta có PT AI : x + y −1 = 0 , do I ∈ A I ⇒ I a ; 1 − a ( ) , IA = 5 2 ⇔ a = 1 2 a = − 9 2 # $ % % % % Vậy I 1 2 ; 1 2 ! " # $ % & do x I > 0 ( ) 0,25 PT đườ ng tròn C ( ) : x − 1 2 " # $ % & ' 2 + y − 1 2 " # $ % & ' 2 = 25 2 Xét hệ x − 1 2 " # $ % & ' 2 + y − 1 2 " # $ % & ' 2 = 2 5 2 3 x + 4 y − 1 6 = 0 ( ) * + * ⇔ x; y ( ) = 0; 4 ( ) hoặc x ; y ( ) = 4;1 ( ) B là hình chiế u c ủa I lên d 1 ( ) tính đượ c B −2; −2 ( ) 0,25 Do A D / / BC nên B −2 ;−2 ( ) , C 4; 1 ( ) , D 0; 4 ( ) 0,25 8 1 đi ể m ĐK: x ; y ≥ 2 0,25 PT(1) ⇔ x y ! " # $ % & 2 + x y + 2 + 2 x y ! " # $ % & 2 + x y +1 = 2 x y +1 ! " # $ % & , đặ t x y = t ; t > 0 ta đượ c PT t 2 + t + 2 + 2t 2 + t + 1 = 2 t +1 ( ) (3) v ới t > 0 0,25 Bình phương hai v ế của (3) giải ra ta được x = y 0,25 Thay x = y vào (2) ta được 8x − 6 ( ) x −1 = 2 + x − 2 ( ) x + 4 x − 2 + 3 ( ) ⇔ 4x − 4 4x − 4 ( ) 2 +1 " # $ % & ' = 2 + x − 2 ( ) 2 + x − 2 ( ) 2 +1 " # $ % & ' (4); Xét hàm số f t ( ) = t 3 + t luôn đồng biến trên R nên (4) ⇔ 4x − 4 = 2 + x − 2 (5) 4 Giải (5) ta được x = 2 hoặc x = 34 9 . Vậy hệ có 2 nghiệm x; y ( ) = 2;2 ( ) hoặc 34 9 ; 3 4 9 ! " # $ % & 0,25 9 1 đ iểm Ta có 2x 2 + 3xy + 4y 2 + 2y 2 + 3xy + 4x 2 = 2 x + 3 4 y ! " # $ % & ! " # $ % & 2 + 23 8 y ! " # $ % & 2 + 2 y + 3 4 x ! " # $ % & ! " # $ % & 2 + 23 8 x ! " # $ % & 2 ≥ 3 x + y = 3 x + y ( ) dấu bằng xảy ra khi x = y ≥ 0 . Đặt x + y = t ta có t 2 − t ≥ 0 t ≥ 0 # $ % ⇔ t = 0 t ≥1 ' ( ) (*) 0,25 Ta có P = 2 t 3 + 2t 2 − xy 6t + 5 ( ) + x 2 + 1 + y 2 + 1 , P ≥ 2t 3 + 2t 2 − t 2 4 6t + 5 ( ) + t 2 + 4 ⇔ 4P ≥ 2t 3 + 3t 2 + 4 t 2 + 4 = f t ( ) 0,25 Xét hàm số f t ( ) = 2t 3 + 3t 2 + 4 t 2 + 4 trên (*), f ' t ( ) = 6t 2 + 6t + 4t t 2 + 4 ≥ 0 v ới mọ i t tho ả mãn (*). Suy ra f t ( ) ≥ f 0 ( ) ; f 1 ( ) { } = f 0 ( ) = 8 0,25 Vậ y 4 P ≥ f t ( ) ≥ f 0 ( ) = 8 . Hay mi n P = 2 đạ t được khi x = y ≥ 0 x + y = 0 " # $ ⇔ x = y = 0 0,25 . ⇔ 4x − 4 = 2 + x − 2 (5) 4 Giải (5) ta được x = 2 hoặc x = 34 9 . Vậy hệ có 2 nghiệm x; y ( ) = 2;2 ( ) hoặc 34 9 ; 3 4 9 ! " # $ % & 0,25 9 1 đ iểm Ta có 2x 2 +. THPT QUỐ C GIA LẦN 2 MÔN THI: TOÁN 12 Thờ i gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề 34 2 TRƯỜNG THPT NÔNG C Ố NG I TỔ TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Đ ÁP ÁN ĐỀ THI TH Ử THPT QU Ố C