Đề thi mẫu THPT quốc gia năm 2015 môn toán Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diệu

SỞGD&ĐTĐỒNGTHÁP ĐỀTHITHỬTHPTQUỐCGIANĂM2015 LẦN1 THPTChuyênNguyễnQuangDiêu Môn:TOÁN Thờigianlàmbài:180phút,khôngkểth ờigianphátđ ề Câu1(2,0điểm). Chohàmsố ( ) 3 2 2 1 1 1 3 y x mx m m x = - + - + + (1). a)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị( )C củahàmsố(1)khi 2m = . b)Tìmcácgiátrịcủa thamsố m để hàmsố(1) đạtcựcđạitại 1x = . Câu2(1,0điểm). Giảiphươngtrình ( ) ( ) 2 3 3 log 1 log 2 1 2x x - + - = . Câu3(1,0điểm). Tínhtíchphân 3 2 2 2 1 5 4 x I dx x x + = - + ò . Câu4(1,0điểm). a)Chosốphức z thỏamãn điềukiện ( ) 2 2 3 z (4 ) (1 3 ) i i z i + + + = - + .Tìmphầnthựcvàphầnảocủa z . b) Mộtchiđoàncó15đoànviêntrong đócó7namvà8nữ.Ngườitachọnra4ngườitrongchiđoànđóđể lậpmộtđộithanhniêntìnhnguyện.Tínhxácsuấtđể trong4ngườiđượcchọncó ítnhất1nữ. Câu5 (1,0điểm).Chohìnhchóp .S ABCD cóđáy ABCD làhìnhthoi cócạnhbằng 3a ; ∙ 0 120BAD = và cạnhbên SA vuônggócvớimặtphẳngđáy.Biếtrằngsốđocủagócgiữahaim ặtphẳng( )SBC và ( )ABCD bằng 0 60 .Tínhtheo a thểtíchcủakhốichóp .S ABCD vàkhoảngcáchgiữahai đườ ngthẳng BD và SC. Câu6(1,0điểm).Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz ,chomặtphẳng ( ) :2 3 1 0P x y z - - + = vàđiểm ( ) 3; 5; 2I - - .Viết phương trìnhmặtcầutâm I vàtiếpxúcvớimặtphẳng ( ) P .Tìmtọađộtiếpđiểm. Câu 7(1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 2 5C x y - + - = và đườngthẳng ( ) : 1 0x y D + + = .Từđiểm A thuộc ( ) D kẻhaiđườngthẳnglầnlượttiếpxúcvới ( ) C tại B và C .Tìm tọađộđiểm A biếtrằngdiệntíchtamgiác A BC bằng8 . Câu8(1,0điểm). Giảihệp hươngtrình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 4 1 2 1 6 x y y x x x y x x ì ï + + = + + ï ï í ï ï + + + = ï î . Câu9(1,0đi ểm).Chocácsốthựckhôngâma,b,cthỏamãn { } min , ,c a b c = .Tìmgiátrịnhỏnhấtcủa biểuthức 2 2 2 2 1 1 P a b c a c b c = + + + + + + .  Hết  Thísinhkhôngđượcsửdụngtàiliệu.Cánbộcoithikhônggiảithíchgìthêm. Họvàtênthísinh: ;Sốbáodanh:  31 SỞGD&ĐTĐỒNGTHÁPĐÁPÁN –THANGĐIỂM THPTChuyênNguyễnQuangDiêuĐỀTHITHỬTHPTQUỐCGIANĂM2015  LẦN1 Môn:TOÁN;Khối:A+B (Đápán – thangđiểmgồm01trang) ĐÁPÁN–THANGĐIỂM Câu Đápán Điểm 1 (2,0điểm) a.(1,0 điểm). ( ) 3 2 2 1 1 1 3 y x mx m m x = - + - + + (1) Với 2m = ,hàmsốtrởthành: 3 2 1 2 3 1 3 y x x x = - + + ♥ Tậpxácđịnh: D = ¡ ♥ Sựbiếnthiên: ￚChiềubiếnthiên: 2 ' 4 3y x x = - + ; ' 0 1y x = Û = hoặc 3x = . 0.25 +Hàmsốnghịchbiếntrênkhoảng ( ) 1;3 ; +Đồngbiếntrêncáckhoảng ( ) ;1 -¥ và ( ) 3;+¥ . ￚCựctrị: +Hàmsố đạtcực tiểutại 3x = ;y CT (3) 1y = = ; +Hàmsố đạtcựcđạitại 1x = ;y CĐ 7 (1) 3 y = = . ￚGiớihạn: lim ; lim  x x y y ®-¥ ®+¥ = -¥ = +¥ 0.25 ￚBảngbiếnthiên: 0.25 ♥ Đồthị: 0.25 b.(1,0điểm). Tìmcácgiátrịcủathamsố m đểhàmsố(1)đạtcựcđạitại 1x = . · Tậpxácđịnh: D = ¡ · Đạohàm: 2 2 ' 2 1y x mx m m = - + - + 0.25 ♥Điềukiệncần: Hàmsốđạtcựcđạitại 1x = Þ '(1) 0y = 0.25 Û 2 3 2 0m m - + = Û 1 2 m m é = ê ê = ë ♥Điềukiệnđủ: Với 1m = ,tacó: 2 ' 2 1 = - +y x x , ' 0 1 = Û =y x Bảngbiếnthiên x -¥ 1 +¥ 'y + 0 + y TừBBTtasuyra 1m = khôngthỏa. 0.25 Với 2 =m ,tacó: 2 ' 4 3 = - +y x x , 1 ' 0 3 é = ê = Û ê = ë x y x Bảngbiếnthiên x -¥ 1 3 +¥ 'y + 0 - 0 + y CĐ CT TừBBTtathấyhàmsốđạtcựcđạitại 1 =x . ♥ Vậy hàm sốđạtcựcđạitại 1x = khi 2m = . 0.25 2 (1,0điểm) Giảip hươngtrình ( ) ( ) 2 3 3 log 1 log 2 1 2x x - + - = (1) ♥ Điềukiện: 1 1 0 1 2 1 0 2 x x x x ì ¹ ï ì ï - ¹ ï ï ï Û í í ï ï - > > ï î ï ï î 0.25 ♥ Khiđó: ( ) ( ) 3 3 1 log 1 log 2 1 1x x Û - + - = ( ) 3 log 1 2 1 1x x é ù Û - - = ë û ( ) 1 2 1 3x x Û - - = (2) 0.25 ·Với 1 1 2 x < < thì ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 3 2 3 4 0x x x x Û - - = Û + + = :ptvônghiệm 0.25 ·Với 1x > thì ( ) ( )( ) 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 0 2 2 x x x x x x Û - - = Û - - = Û = - Ú = Đốichiếuđiềukiện,tađượcnghiệmphươngtrình đãcholà 2x = . 0.25 3 (1,0điểm) Tínhtíchphân 3 2 2 2 1 5 4 x I dx x x + = - + ò . ♥ Tacó: ( )( ) 2 2 1 2 1 3 1 5 4 1 4 4 1 x x x x x x x x + + = = - - + - - - - 0.25 ♥ Dođó: 3 3 2 2 1 1 3 4 1 I dx dx x x = - - - ò ò 0.25 3 3 2 2 3ln 4 ln 1x x = - - - 0.25 4ln 2 =- . 0.25 4 a.(0,5 điểm).Chosốphức z thỏamãn điềukiện ( ) 2 2 3 z (4 ) (1 3 )i i z i + + + = - + .Tìmphần (1,0im) thcvphnoca z . t z a bi = + , ( ) ,a b ẻ Ă tacú: ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 3 z (4 ) (1 3 ) 2 3 (4 ) (1 3 )i i z i i a bi i a bi i + + + = - + + + + + - =- + ( ) ( ) 6 2 4 2 8 6a b a b i i - + - = - 0.25 6 2 8 7 4 2 6 17 a b a a b b ỡ ỡ - = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù - = - = ù ù ợ ợ Vysphc z cntỡmcúphnthcbng 7 vphnobng 17 . 0.25 b.(0,5im). Mtchioncú15onviờntrongúcú7namv8n.Ngitachnra4 ngitrongchio núlpmtithanhniờntỡnhnguyn.Tớnhxỏcsuttrong4 ngicchncúớtnht1n. Sphntcakhụnggianmul W = = 4 15 C 1365 GiAlbinc"trong4ngi cchncúớtnht1n Sktquthun lichobi ncAl W = - = 4 4 A 15 7 C C 1330 0.25 Vyxỏcsutcntớnhl (A) W = = = W A 1330 38 P 1365 39 . 0.25 5 (1,0im) Chohỡn hchúp .S ABCD cúỏy ABCD lhỡ nhthoicúcnhbng 3a 0 120BAD = v cnhbờn SA vuụnggúcvimtphngỏy.Bitrngsocagúcgiahaimtphng ( )SBC v ( )ABCD bng 0 60 .Tớnhtheo a thtớchcakhichúp .S A BCD vkho ng cỏchgiahai ngthng BD v SC. ãDo ỏy ABCD lhỡnhthoicúcnhbng 3a 0 120BAD = nờncỏctamgiỏc ,ABC ADC lcỏctamgiỏcucnh 3a . Suyra: ( ) 2 2 3 . 3 3 3 2 2 4 2 ABCD ABC a a S S D = = = ãGi H ltrungimca BC .Suyra AH BC ^ SH BC ị ^ Doú ( ) ( ) ( ) 0 60SBC ABCD AH SH SHA ộ ự = = = ở ỷ . 0.25 ã Xộttamgiỏc SAH tacú: ( ) 0 3 . 3. 3 3 3 .tan 60 2 2 = = = a a SA AH ã Vy 2 3 1 1 3 3 3 3 9 . . . . 3 3 2 2 4 = = = ABCD a a a V S SA . 0.25 ã Gi O AC BD = ầ .Vỡ DB AC ^ , BD SC ^ nờn ( ) BD SAC ^ ti O . ã KOI SC ^ ị OI lngvuụnggúcchungca BD v SC. 0.25 · Sử dụnghaitamgiác đồngdạng ICO và ACS hoặcđườngcaocủatamgiác SAC suyra được 3 39 26 = a OI .Vậy ( ) 3 39 , 26 = a d BD SC . 0.25 6 (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) :2 3 1 0P x y z - - + = và điểm ( ) 3; 5; 2I - - .Viếtphươngtrìnhmặtcầutâm I vàtiếpxúcvớimặtphẳng ( ) P .Tìmtọađộ tiếpđiểm. ·Bánkí nhmặtcầu ( ) 2 2 2 2.3 ( 5) 3.( 2) 1 18 ;( ) 14 2 1 3 R d I P - - - - + = = = + + . 0.25 ·Phươngtrìnhmặtcầu: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 162 3 5 2 7 x y z - + + + + = . 0.25 · Tiếpđiểmchínhlàhìnhchiếuvuônggóc H của I xuốngmặtphẳng ( ) P đãcho ·Đườngthẳng IH qua I vànhậnPVT ( ) 2; 1; 3 n = - - r củamặtphẳng ( ) P làm VTCPcóphươngtrìnhlà 3 2 5 2 3 x t y t z t ì = + ï ï ï ï = - - í ï ï = - - ï ï î ( ) t Î ¡ 0.25 ·Tọađộ H lànghiệmcủahệphươngtrình 3 2 5 2 3 2 3 1 0 x t y t z t x y z ì = + ï ï ï ï = - - ï í ï = - - ï ï ï - - + = ï î · Hệnàycónghiệm 9 3 26 13 , , , 7 7 7 7 t x y z = - = = - = · Dođótiếpđiểm H cótọađộlà 3 26 13 ; ; 7 7 7 H æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø . 0.25 7 (1,0điểm) Trongmặtphẳngvớihệtọađộ Oxy ,chođườngtròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 2 5C x y - + - = vàđườngthẳng ( ) : 1 0x y D + + = .Từđiểm A thuộc ( ) D kẻhaiđườngthẳnglần lượttiếpxúcvới ( ) C tại B và C .Tìmtọađộđiểm A biếtrằngdiệntíchtamgiác ABC bằng8 . · ( ) C cótâm ( ) 2;2 ,  5I R = , ( ) ( ) ; 1A A a a Î D Þ - - · Từtínhchấttiếptuyến Þ IA BC ^ tại H làtru ngđiểmcủa BC . Giả sử ,IA m IH n = = ( ) 0m n > > 2 2 2 , 5HA m n BH IB IH n Þ = - = - = - ·Suyra: ( ) 2 1 . . 5 8 2 ABC S BC AH BH AH m n n D = = = - - = (1) 0.25 ·Trongtamgiácvuông IBAcó 2 5 . 5 .BI IH IA m n m n = Û = Û = (2) 0.25 Tha y(2)vo(1)tacú: 2 6 4 2 5 5 8 15 139 125 0n n n n n n ổ ử ữ ỗ - - = - + - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ( )( ) 2 4 2 1 14 125 0n n n - - + = Suyra 1, 5n m = = . 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 5 2 3 25 6 0 3 32 A a IA a a a a a A ộ - ộ = ờ ờ = - + - - = + - = ị ờ ờ = - - ở ờ ở 0.25 8 (1,0im) Giihp hngtrỡnh ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1(1) 4 1 2 1 6 ( 2) x y y x x x y x x ỡ ù + + = + + ù ù ớ ù ù + + + = ù ợ . iukin: 0x Tathy 0x = khụngthamónphngtrỡnh(2) Vi 0x > thỡ ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 1 4 1 1 1y y x x ổ ử ữ ỗ ữ + + = + + ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ (3) 0.25 Xộthms ( ) 2 ( ) 1 1f t t t = + + ,vi t ẻĂ . Tacú 2 2 2 1 '( ) 1 0 1 t f t t + = + > + ,vimi t ẻĂ .Suyra ( ) f t ngbintrờn Ă . Doú: ( ) ( ) 1 1 3 2 2f y f y x x ổ ử = = ỗ ữ ố ứ 0.25 Thay 1 2y x = vophngtrỡnh(2) tacphngtrỡnh: ( ) 3 2 2 1 6 0x x x x + + + - = (4) Xộthms ( ) ( ) 3 2 2 1 6g x x x x x = + + + - vi ( ) 0x ẻ +Ơ Tacú ( ) ( ) 2 2 5 1 ' 3 1 0, 0 x g x x x x + = + + > " ẻ +Ơ . Suyra ( ) g x ngbi ntrờn ( ) 0+Ơ Doú: ( ) ( ) ( ) 4 1 1g x g x = = 0.25 Vi 1 1 2 x y = ị = Vyhphngtrỡnhcúnghim ( ) x y l 1 1 2 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0.25 9 (1,0im) Chocỏcsthckhụngõma, b,cthamón { } min , ,c a b c = .Tỡmgiỏtrnhnhtcabiu thc 2 2 2 2 1 1 P a b c a c b c = + + + + + + . Tacú: 2 2 2 2 2 2 4 2 c c a c a ac a ac a ổ ử ữ ỗ + Ê + Ê + + = + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Tngttacú 2 2 2 2 c b c b ổ ử ữ ỗ + Ê + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0.25 DoútacútheobtngthcCụsithỡ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 2 2 a c b c c c a b c a b + + + + ổ ử ổ ử + + ữ ữ ỗ ỗ + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ Vynờntacú 0.25 ( ) 2 8 P a b c a b c ³ + + + + + ♥ Đặt t a b c = + + với 0t > Xéthàm số 4 8 ( )f t t t = + trên (0; ) +¥ .Ta có: 5 5 5 32 32 '( ) 1 0 2 t f t t t t - = - = = Û = . Bảngbiếnthiên t 02 +¥ ( ) 'f t - 0 + ( ) f t 5 2 0.25 ♥ DựavàoBBTsuyra ( ) ( ) ( ) 0; 5 min 2 2 f t f +¥ = = .Dođó 5 2 P ³ .Dấuđẳngthứcxảyra khivàchỉkhi 2 2t a b = Û = = và 0c = Vậygiát rịnhỏnhấtcủaP là 5 2 ,đạtđượckhi 2a b = = và 0c = 0.25 Cảm ơnthầyHuỳnhChíHàochủnhân http://boxmath.vn/forum đãchiasẻđến www.laisac.page.tl .  Thísinhkhôngđượcsửdụngtàiliệu.Cánbộcoithikhônggiảithíchgìthêm. Họvàtênthísinh: ;Sốbáodanh:  31 SỞGD&ĐTĐỒNGTHÁPĐÁPÁN –THANGĐIỂM THPTChuyênNguyễnQuangDiêuĐỀTHITHỬTHPTQUỐCGIANĂM2015