PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học: 2010-2011 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 ( 2 điểm). Chọn một trong hai câu sau: a/ Tìm các số nguyên tố đôi một khác nhau m, n, p thỏa mãn: 3(m + n + p) = mnp b/ Tìm số chính phương có dạng: aabb . Câu 2 ( 4 điểm): a/ Phân tích các đa thức sau ra thừa số: ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 3 x 4 x 5 24+ + + + − b/ Giải phương trình: 3 2 2 2 0x x x − + − = Câu 3 ( 3 điểm): Cho tam giác ABC (góc A nhỏ hơn 90 0 ). Trên đường cao BD, CE lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho hai góc AMC và ANB vuông. Chứng minh rằng: AM = AN. Câu 4 (1 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A. M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM. H là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N; BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác ABN. 1 PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: / 4/ 2011 Câu Đáp án Điểm Câu 1 (2 đ) Câu 2 (4 đ) a/ Tìm các số nguyên tố đôi một khác nhau m, n, p thỏa mãn: 3(m + n + p) = mnp HD: Không mất tính tổng quát nếu giả sử rằng m n pp p ; Khi đó ta có: 9 9mnp p mn ⇒ p p Do m, n là các số nguyên tố và m np , nên chỉ xét các cặp số sau: (m; n) = (2; 3), Thay m = 2, n = 3 ta tìm được p = 5 thỏa mãn. Đáp số: (m, n, p) = ( 2; 3; 5) và các hoán vị của nó. b/ Tìm số chính phương có dạng: aabb ? HD: Đặt aabb = 2 k , trong đó k là số nguyên dương. Đưa về dạng: 2 k = 11.aOb Từ đó, lập luận aOb chia hết cho 11, suy ra a + b chia hết cho 11; kết hợp với các chữ số tận cùng của số chính phương suy ra a = 7, b = 4. Thử lại aabb = 7744 = 88 2 . a/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: Ta cã: ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x 2 + 7x + 11 - 1)( x 2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x 2 + 7x + 11) 2 - 1] - 24 = (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2 = (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)( x 2 + 7x + 16) b/ Giải phương trình: 3 2 2 2 0x x x − + − = Đưa về dạng: 2 ( 1)( 2) 0x x+ − = Do 2 1 0;x x+ ∀f 2 1 0;x x + ∀ f nên suy ra x = 2. Cho tam giác ABC ( góc A nhỏ hơn 90 0 ). Trên đường cao BD, CE lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho hai góc AMC 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 2 PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: / 4/ 2011 Câu Đáp án Điểm Câu 3 (3 đ) Câu 4 (1đ) và ANB vuông. Chứng minh rằng: AM = AN. HD: Xét ba cặp tam giác vuông đồng dạng theo trường hợp (g, g): 1/ AMC và ADM (g, g). 2/ ANB và AEN (g, g). 3/ ADB và AEC (g, g). Rồi rút ra các tỷ số bằng nhau. Suy ra: 2 2 AM AN = Từ đó suy ra điều phải chứng minh. E D B C A M H N HD: Ta thấy hai tam giác vuông MHD và CMD đồng dạng (g,g). Suy ra: HD HM MD CM = hay HD HM AD BM = Mặt khác, ta có: · · · 0 90ADH DMH BMH= + = Suy ra: HDA∆ đồng dạng với HMB∆ (c,g,c). Do đó: · · AHD BHM= . 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,25 0,25 3 Cho tam giác ABC cân tại A. M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM. H là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N; BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác ABN. PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: / 4/ 2011 Câu Đáp án Điểm Từ đó: · · 0 90AHB DHM= = hay BH ⊥ AN. Kết hợp với AM ⊥ BC ta suy ra E là trực tâm của tam giác ABN (đpcm). 0,25 0,25 4 . kết hợp với các chữ số tận cùng của số chính phương suy ra a = 7, b = 4. Thử lại aabb = 7744 = 88 2 . a/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: Ta cã: ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 =. tâm của tam giác ABN. 1 PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: / 4/ 2011 Câu Đáp án Điểm Câu 1 (2 đ) Câu 2 (4 đ) a/ Tìm các số nguyên. PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học: 2010-2011 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 ( 2 điểm). Chọn một trong hai câu sau: a/ Tìm các số nguyên