I)- GTLN-GTNN BằNG PHƯƠNG PHáP HàM Số: Tìm gí trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: * Cách làm: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của HS trên [ a,b ] + Tìm các điểm tới hạn x 1 , x 2 . x n ( điểm tới hạn là điểm có đạo hàm bằng 0 tại đó hoặc không có đạo hàm ) + Tính { f(x) , , f(x n ), f(a) , f(b) } + So sánh và tìm ra giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( Đ/n: + y = f(x 0 ) , x 0 D gọi là giá trị lớn nhất , nhỏ nhất )trong D : f(x 0 ) f(x) ( f(x 0 ) f(x) ) , Dx Kí hiệu : max Dx f(x) ( min Dx f(x) ) VD 1: Tìm max , min của : y = x 3 3x 2 9x + 35 trên [- 4; 4 ] Ta có : y = 3x 2 6x 9 = 0 <-> x = - 1 x = 3 y(- 1) = 40 ; y(3) = 8 ; y(- 4) = - 41 ; y(4) = 15 Vậy [ ] Max x 4,4 y = 40 khi x = -1 [ ] Min x 4,4 y = - 41 khi x = - 4 (*) Phải chỉ rõ giá trị của x để f(x) đạt max , min VD 2: Tìm max , min của y = | x 2 - 3x +2 | trên [- 10, 10] Vì y = | x 2 - 3x +2 | = x 2 - 3x +2 với x > 1 x < 2 - x 2 +3x -2 với x ( 1 ; 2) * Vậy ta có các điểm tới hạn : ( **) + x = 1 , x = 2 + (x 2 - 3x +2) = 0 <-> 2x -3 = 0 <-> x = 3/2 + y(1) = y (2) = 0 y(-10) = 132 y(2/3) = 4/9 y( 10) = 72 + Vậy [ ] Max x 10,10 y = 132 khi x = 10 [ ] Min x 10,10 y = 0 khi x = 1 hoăc x = 2 (**) Chú ý : Hàm có giá trị tuyệt đối thì tại x 0 : y (x 0 )= 0 x 0 điểm tới hạn (không có đạo hàm) Có thể chia [- 10, 10] làm 3 đoạn để tính [ - 10;1] , [ 1 ; 2 ] , [ 2 ; + 10] VD 3: Tìm max; min của : [ ] [ ] 3 2 3 2 ) 3 9 27 , 2;4 ) 3 72 90 , 5;5 a y x x x x b y x x x x = + = + + VD 4: Tìm min , max của y = xx + 42 TXĐ : 2 x 4 Nhận xét : y > 0 - > [ ] Max x 4;2 y = [ ] 2 max 4;2 y x (***) [ ] Miny x 4;2 y = [ ] 2 min 4;2 y x Ta có : y 2 = 2 + 2 86 2 + xx Xét 086 2 += xx trong [ 2 , 4] t = 2 = 86 2 + xx -> t = - 2x + 6 = 0 <-> x= 3 [ ] 4,2 Ta có: t( 2) = t(4) = 0 , t(3) = 1 -> min t = 0 , max t = 1 Rõ ràng y đạt max , (min ) <->t đạt max , min Vậy : max y = 2 khi x = 3 Min y = 2 khi x = 2 hoặc x = 4 (***) Chú ý : Nếu [ ] bax , mà f(x) > 0 Ta chỉ cần xét g(x) = - f (x)< 0 nh đã làm VD 5: Tìm max của y = x 4 6bx 2 + b 2 với x [ ] 1,2 Đặt t = x 2 -> ( [ ] [ ] 4,01,2 tx ) Nhận xét: y = ax 2 + bx + c ( a> 0) a > 0 : [ ] Max x , y = max (y(a) , y(b)) a < 0 : [ ] Min x , y = min (y(a) , y(b)) Dùng đồ thị : a > 0 : a < 0 : Khi đó : y = t 2 6bt + b 2 y ( 0 ) = b 2 y ( 0 ) = b 2 -24 b + 16 [ ] 4,0x Max y đợc xác định là 1 trong 2 giá trị y(0) & y(4) <+> b 2 > b 2 24b + 16 <-> b > 2/3 <+> b 2 < b 24b + 16 <-> b < 2/3 Vậy với b > 2/3 : [ ] 1,2 max x y = b 2 khi x = 0 b < 2/3 [ ] 1,2 max x y = b 2 24b + 16 khi x = -2 Chú ý: KHi tìm GTLN-GTNN của hàm phân thức 2 ẩn x,y thì ta xết 2 tr- ờng hợp y=0 , khi y khác 0 chia tử và mẫu cho y và đặt t=x/y và xét hàm f(t). Ví dụ 6:Cho: x 2 +y 2 =1, tìm GTLN-GTNN: ( ) 2 2 2 2 2 1 xy y S xy x + = + + Giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 3 2 2 2 0 0. 2 1 3 6 2 6 2 6 0 , ' 0 3 2 1 3 2 2 xy y xy y S x xy y xy x x y y S t x y S t S x S t t y + + = = + + + + + + = = + + + = = = = + + Chú ý: Khi tìm GTLN-GTNN của hàm số lợng giác trên toàn trục số (giống nh tìm cực đại cực tiểu ) ta chỉ lập bảng biến thiên trên một chu kỳ cơ sở. Ví dụ 7:Tìm GTLN:F=x 2 -xy+ 2 y cho:x 2 +xy+ 2 y 2 : Ví dụ 8: GTLN-NN : y=2sinx+sin2x. Ví dụ 9: a. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s 2 sin x 1 y sin x sin x 1 + = + + . Gii t 2 t 1 t sin x y , t [ 1; 1] t t 1 + = = -ị ẻ + + 2 / / 2 2 t 2t y y 0 t 0 [ 1; 1] (t t 1) - - = = = -ị ẻ + + ( ) ( ) 2 y( 1) 0, y 0 1, f 1 3 - = = = . Vy min y 0 sin x 1 x k2 , k 2 p = = - = - + pẻ Z max y 1 sin x 0 x k , k= = = pẻ Z . b. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s 3 y x 3x 2= - + trờn on [ 3; 2]. Gii Hm s 3 y x 3x 2= - + liờn tc trờn on [ ] 3; 2- . t 3 f(x) x 3x 2= - + liờn tc trờn on [ ] 3; 2- . / 2 f (x) 3x 3 0 x 1 [ 3; 2]= - = = - ẻ . f( 3) 16, f( 1) 4, f(1) 0, f(2) 4- = - - = = = 16 f(x) 4 x [ 3; 2]- " -ị Ê Ê ẻ 0 f(x) 16 x [ 3; 2]" -ị Ê Ê ẻ 0 y 16 x [ 3; 2]" -ị Ê Ê ẻ . Vy max min y 16, y 0= = . Giải: Vì hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở 2 nên ta chỉ xết trên đoạn 0 ; 2 . [ ] 1 5 ' 0 ; ; 0;2 1 3 3 2 cosx y x cosx = = = = Lập bảng biến thiên trên đoạn 0 ; 2 ta sẽ có: 3 3 3 3 2 2 y . Ví dụ 10 GTNN : P=x+y+z+1/x+1/y+1/z ; x,y,z>0 v : x+y+z 2 3 Do: ( x+y+z)( 1/x+1/y+1/z ) 9 (1/x+1/y+1/z ) zyx ++ 9 P 2 15 min 2 15 )( 2 3 0);( 9 =<=+ Ptfttf t t ( Thay x=sinA/2) Ví dụ 11 : GTLN-GTNN: f(x)=x 6 +4(1-x 2 ) 3 ; 11 x t : t=x 2 M axf=4 v minf=4/9 Ví dụ 12: : GTLN-GTNN P=3 2x+y +3 y ; 10; 4 9 3min31;3; 3 3 31;0; 3 2 ===+==+ MfttPyxyx x x x Ví dụ13: GTLN-GTNN : xxy cos1sin1 +++= : y > 0 - > [ ] Max x 4;2 y = [ ] 2 max 4;2 y x ; [ ] Miny x 4;2 y = [ ] 2 min 4;2 y x 224;1)1(Fmin y min 121'22cossin; 2 1 122 2 2 +===== ++=+= ++++== MaxFMaxyF tFtxxt t ttyF Vớ d 14. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht (nu cú) ca hm s 2 x 1 f(x) x 1 + = + . Gii Hm s f(x) liờn tc trờn R. Ta cú: / / 2 2 1 x f (x) f (x) 0 x 1 (x 1) x 1 - = = =ị + + ( ) x x x 2 1 x 1 x lim f(x) lim lim f(x) 1 1 x 1 x Ơ Ơ Ơđ đ đ + = = ị + Bng bin thiờn Vy hm s khụng t min v x R max f(x) 2 x 1 ẻ = = . Nhn xột: 2 x m x 1 1 0- + + = cú nghim thc 1 m 2- < Ê . Vớ d 15. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht (nu cú) ca hm s 2 f(x) x x 2x 2= - - + . Gii Hm s f(x) liờn tc trờn Ă . Ta cú: / 2 2 x 1 f (x) 1 0 x 2x 2 x 1 x 2x 2 - = - = - + = - - + 2 2 x 1 x 2x 2 (x 1) ỡ ù ù ớ ù - + = - ù ợ (vụ nghim). Vy hm s khụng t min v max (vỡ khụng cú im dng). Vớ d 16. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s 2 x y x 2 1 = + - . Gii Ta cú 2 2 x 2 2 1 x 2 1 0 D+ > + - > = ị ị Ă . ( ) 2 2 2 / 2 2 x x 2 1 x 2 y x 2 1 + - - + =ị + - ( ) 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 1 - + = + + - ( ) / 2 y 0 x 2 2 x 2 y 2 2= + = = = ị , Gii hn x x x 2 x lim y lim lim y 1 2 1 x 1 x x Ơ Ơ Ơđ đ đ = = ị ổ ử ữ ỗ + - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Vy max min y 2, y 2= = - . * Bài tập: 1. Tìm max , min y = x45 x [ ] 1;1 2. y = 4/3 2 36 )(12 + x axx 3. y = 3 u + 3 v ( u, v > 0 , u + v = 1 ) 4. [ ] 5,3 max x /x 3 + 3x 2 72x + 90 / 5. y = 11 + + + u v v u u, v > 0 u + v = 1 y= 1)( 3 2 ; 4 1 0, 2 22 )( 4 1 22 22 2 ≤≤≤≤ + − =⇒= + ≤=⇒ + − tft t t tf vu uvt uv uv 6. Max y = 5cos x – 5 sin x trong [ - 4 ; 4 ππ ] 7. Max y = sinx xxx sincoscos + 8. Max, min y = xx cossin 4 − 9. Max , min y = x + cos 2 x (0 ; 4 π ) 10. Min y = sinx + x 2 sin2 − 11. Max, min y = x x cos2 sin + [ 0; π ] 12. T×m m ®Ó | 4x 3 + mx | ≤ 1 ; [ ] 1;1−∈∀x CÇn: x = 1 -> | m + 4 | ≤ 1 <-> -5 ≤ m ≤ -3 => m = -3 x = 1/2 -> | m + 4 | ≤ 2 <-> -3 ≤ m ≤ 1 §ñ : m = -3 -> -> | 4x 3 + 3x | = 1sin3sin3sin4 3 ≤=− ααα 13. T×m m ®Ó | 4x 3 + ( m+ 3)x 2 + mx | ≤ 1 [ ] 1;1−∈∀x 14)Max P= 2 2 2 2 2 2 sin sin sin cos cos cos A B C A B C + + + + ;t=sin 2 A+ sin 2 B+ sin 2 C ; 0<t ≤ 9/4 17)y= 2 cos 4 3 cos 4 x x+ 15)y= sin .cos , 0; 2 p q x x x π ∈ 18)y=2sinx-4/3sin 3 x 16)y= 1 1 4 4sinx cosx − + − 19)y=-sin3x-3sin 3 x 20)y= 2 3 ln , 1; x x e x ∈ 21)y= 2 2 1 lg lg 2 x x + + min 22)A= 2 2 2 2 4 x y x xy y + + + 23)B=x 2 -2xy+3y 2 cho x 2 +xy+y 2 =2 24)Cho x,y>0 vµ x+y=1 min: P= 1 1 x y x y + − − (x= 2 2 sin , cosu y u= ) 25) GTLN-GTNN: 5 5 ; ; 4 4 y cosx cos x π π = − − 26)GTLN-GTNN: 4 2 4 2 3cos 4sin 3sin 2cos x x y x x + = + 27)GTNN:y=x(1-x)(x-3)(4-x) 28) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 72 90 ; ? , 5;5 { 5 ; 4 ; (5)} 400; 86 ;70 400. f x x x x Maxf x x f x g x Maxf x Max g x Max g g g Max = + − + = ∈ − = ⇒ = = − = = 28)Cho : 2 2 2 .x xy y+ + ≤ T×m GTLN: P= 2 2 x xy y− + 29) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 : ; : ; ; 0;1 ; 2 1 3 1 1 : . 1 1 1 0 3 4 2 2 5 3 5 5 3 2 0 4 4 4 4 4 GTNN P cos x y z cho x y z x y z Do x y z x y z x y z xy yz zx x y z xyz xyz x y z x y z xy yz zx x y z cos P cos π = + + ∈ + + = + + ≥ + + = − − − ≥ ⇒ + + ≥ + + + = + ≥ ⇒ + + = + + − + + ≤ ⇒ < ≤ + + ≤ < ⇒ ≤ ≤ 30) 2 2 2 2 4 2 : ; 0. 1 1 2 ; 0. 0 1 2 cos 2 1 .( 1 cos 1) ; ' 4 1 0 . 1 2 x x GTLN GTNN y cos cos x x x x t x t y cos t t z z cos t z y z ydb x π − = + > ÷ ÷ + + = > ⇒ ≤ ≤ < ⇒ = + = + − ≤ = ≤ = + > ⇒ + 31)Trong c¸c nghiÖm (x;y) cña : ( ) 2 2 log 1. x y x y + + ≥ T×m nghiÖm cã ; x+2y lín nhÊt (®Ò 34) 32) : sin cos ; 0; ; 3 . 2 33) : 24 12 3sin8 ; ; 6 6 n n GTLN GTNN y x x x n N GTLN GTNN y x cos x x x π π π − = + ∈ ≤ ∈ − = − − ∈ − 34) xx xx y 44 66 cossin1 cossin1 ++ ++ = 38) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 sin cos 2 :0 ; ; : 1. : 3 3 2 10 y x x y x x y x x Cho a b c R a b c Tim GTNN M a b c b a c ab bc ca a b c B = + = + = + + + = = + + + + + + + + II) Tìm GTLN-GTNN BằNG PHƯƠNG PHáP BấT ĐẳNG THứC 4-ứng dụng của bất đẳng thức tìm GTLN và GTNN a) Định nghĩa: Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên tập D R . Nếu tồn tại x 0 D sao cho f(x) f(x 0 ) ( hoặc f(x) f(x 0 ) ) x D thì số M = f(x 0 ) ( hoặc m= f(x 0 ) ) đợc gọi là GTLN (hoặc GTNN) của hàm số y= f(x) trên tập D. Kí hiệu : maxf(x) =M ; min f(x) =m x D x D GTLN (GTNN) của một biểu thức chứa hai biến hoặc nhiều biến đợc định nghĩa tơng tự. b) Hệ quả của bất đẳng thức CÔ-SI: Giả sử có n số không âm thay đổi : a 1 ,a 2 , ,a n mà a 1 +a 2 + +a n = S không đổi thì tích P = a 1 a 2 a n đạt GTLN a 1 =a 2 = =a n Giả sử có n số không ẩm thay đổi a 1 , a 2 , ,a n mà a 1 a 2 a n = P không đổi thì tổng S = a 1 +a 2 + +a n đạt GTNN a 1 =a 2 = =a n . Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số y= x 2 (1-x) trong [0;1]. Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức F(x,y) = (3-x)(4-y)(2x+3y) với 0 x 3; 0 y 4 Ví dụ 3: Tìm GTNN của hàm số 2 1 y x x = + với x >0 VÝ dô 4: T×m GTNN cña hµm sè 4 1 x y x x = + − víi 0 <x<1. VÝ dô 5: Cho c¸c hµm sè x,y,z d¬ng vµ x+y+z =1. T×m GTLN cña biÓu thøc: F = xy+yz+zx VÝ dô 6: Cho c¸c sè x,y,z d¬ng vµ x+y+z =1. T×m GTNN cña biÓu thøc : . x y F xyz + = VÝ dô 7: Cho c¸c sè kh«ng ©m x,y,z vµ x+y+z=1. T×m GTLN cña …………… 1 1 1F x y z= + + + + + VÝ dô 8: Cho 2x+5y =7. T×m GTNN cña biÓu thøc F =2x 2 +5y 2 . VÝdô:9: GTNN: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 n m m m m m n m n n n m n x x x y x x y n m x n n mx mx n m x + = + > = + + + + + ≥ + = ÷ ÷ ÷ VÝ dô 10GTNN F=(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) víi x,y,x>0 vµ x+y+z=1. VÝ dô 11: GTNN : F=x+ ( ) 1 0.x y xy x y > > − V×: ( ) ( ) 2 2 4 3 3 1 4 4 4 4 2 4 3 3 3 27 y x y x x x x y x y x x xy x y x x + − − ≤ = ⇒ + ≥ + = + + + ≥ ÷ − VÝ dô 12:GTNN : y=x 100 -10x 10 +10. V× : x 100 +9=x 100 +1+ +1 10 100 10 100 10 10 10 . 10 9 0 1x x x x y≥ = ⇒ − + ≥ ⇒ ≥ Bµi tËp: 1- T×m GTLN cña hµm sè: y = 2 1x x− trong [0;1]. 2- T×m GTNN cña hµm sè: y= 3 3 1 x x + víi x>0. 3- T×m GTLN cña biÓu thøc: F(x,y) = (2x-x 2 )(y-2y 2 )