Phòng GD-ĐT Đại Lộc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi TOÁN Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC: Câu 1( 6 điểm ): 1) Cho đơn thức M = 46447 20. 5 1 zyxyx − a) Thu gọn M. b) Với 2; 2 1 = − = yx . Tìm z khi M có giá trị là 162. 2) Rút gọn biểu thức sau: 2 119 768 21 2 14 2 7 +− : 2 129 1280 25 2 20 2 5 +− . Câu 2( 4 điểm ): Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu đi với vận tốc 48km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ, nếu đi với vận tốc 60km/h thì đến B sớm hơn dự định 2 giờ. Tìm quãng đường AB. Câu 3( 2 điểm ): Tìm n ∈ Z để A = + − n2011 1 2011 1 :1 có giá trị nguyên . Câu 4 ( 5 điểm ): Cho góc nhọn xOy. Ot là tia phân giác của góc xOy. Lấy các điểm A, B, I lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Ot ( A, B, I khác O ) sao cho OA = OB < OI . a) Chứng minh : IA = IB và OI ⊥ AB. b) AI cắt tia Oy tại M, BI cắt tia Ox tại N. Chứng minh AB + MN < 2AM. Câu 5( 3 điểm ): Cho tam giác DEF vuông cân tại D. Gọi N là điểm nằm giữa hai điểm E và F. Tìm vị trí của điểm N để NE 2 + NF 2 có giá trị nhỏ nhất.( NE 2 + NF 2 lần lượt là tổng các bình phương của các độ dài hai đoạn thẳng NE và NF ). Hết Phòng GD-ĐT Đại Lộc ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2010-2011 Môn TOÁN Câu Nội dung Điểm Câu 1 1) a) 1đ M = 46447 20. 5 1 zyxyx − M = 41011 4 zyx − 1,00 b) 2đ Với 2; 2 1 = − = yx . Khi M = 162 ta được: 162 = 410 11 .2. 2 1 4 z − − 162 = 410 11 2 .2. 2 1 .2 z 2z 4 = 162 z 4 = 81 z = 3 hoặc z = - 3 0,25 0,50 0,50 0,25 0,50 2) 3đ 2 119 768 21 2 14 2 7 +− : 2 129 1280 25 2 20 2 5 +− = 2 8109 2 1 2 1 2 1 7 +− : 2 8109 2 1 2 1 2 1 5 +− = 2 81098109 2 1 2 1 2 1 5: 2 1 2 1 2 1 7 +− +− = 2 5 7 = 25 49 1,00 0,75 0,75 0,50 Câu 2 4đ Gọi x ( h ) là thời gian ô tô dự định đi từ A đến B ; ( x > 2 ) Nếu đi với vận tốc 48km/h thì thời gian đi là: x - 1 Nếu đi với vận tốc 60km/h thì thời gian đi là: x - 2 Ta được ( x - 1 ) . 48 = ( x - 2 ) . 60 Suy ra : 48 2 60 1 − = − xx Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 12 1 4860 21 48 2 60 1 = − +−− = − = − xxxx 12 1 60 1 = −x . Tính được x = 6 Tính được AB = 240 km. 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu 3: 2đ Để tồn tại A thì: 0 2011 1 2011 1 ≠ + − n ; 2011+n ≠ 0 ⇒ n ≠ 0; n ≠ -2011 A = + − n2011 1 2011 1 :1 = )2011(2011 20112011 :1 n n + −+ = )2011(2011 :1 n n + 0,50 0,50 A = n n )2011(2011 + = n n20112011 2 + = 2001 2011 2 + n Kết luận được A có giá trị nguyên khi n { } 22 2011;2011;2011;1;1 −−∈ 0,50 0,50 Câu 4: a) 3đ a) Chứng minh : IA = IB và OI ⊥ AB Hình vẽ Chứng minh ∆ OAI = ∆ OBI ( c-g-c ) Suy ra: IA = IB ( hai cạnh tương ứng ) Gọi K là giao điểm của OI và AB. Chứng minh ∆ AKI = ∆ BKI ( c-g-c ) Suy ra : IKA ˆ = IKB ˆ IKA ˆ + IKB ˆ = 180 0 ( kề bù ) Suy ra: IKA ˆ = IKB ˆ = 90 0 Suy ra : OI ⊥ AB 0,25 0,50 0,25 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 b) 2đ b) Chứng minh AB + MN < 2AM Chứng minh AI + BI > AB ( bđt tam giác IAB ) IM + IN > MN ( bđt tam giác IMN ) AI + IM + BI + IN > AB + MN AM + BN > AB + MN Chứng minh AM = BN Suy ra: 2AM > AB + MN 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 Câu 5: 3đ Hình vẽ Từ N vẽ các đường vuông góc NH, NK lần lượt đến DE và DF Chứng minh được NF 2 = 2 NK 2 , NE 2 = 2NH 2 Chứng minh được NE 2 + NF 2 = 2DN 2 DN có độ dài bé nhất ⇔ DN ⊥ EF ⇔ N là trung điểm của EF 0,25 0,50 1,00 0,50 0,75 D E F N H K K t x y M N B I O A * Lưu ý: 1) Học sinh làm theo cách khác đáp án mà đúng giáo viên nghiên cứu cho điểm . 2) Câu 1b: - Học sinh thực hiện tính các luỹ thừa đúng vẫn cho điểm; - Học sinh dùng MTBT ghi ngay kết quả của 2 119 768 21 2 14 2 7 +− hoặc 2 129 1280 25 2 20 2 5 +− thì không ghi điểm. 3) Câu 2: HS không đặt điều kiện cho thời gian x thì tha. 4) Câu 5 học sinh không cần dùng dấu ⇔ mà dùng dấu ⇒ ở câu ”DN có độ dài bé nhất ⇔ DN ⊥ EF ⇔ N là trung điểm của EF ” vẫn cho điểm. Hết