PHẦN ĐẠI SỐ. I. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.Đồ thò hàm số : Đồ thò của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trò tương ứng (x;y) trên mặt phẳng tọa độ 2.Đồ thò hàm s ố y = ax(a ≠ 0) Đồ thò của hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ * Cách vẽ đồ thò hàm số y = ax(a ≠ 0) +Vẽ mặt phẳng tọa độ Oxy +Xác đònh điểm A(1;a) +Vẽ đường thẳng đi qua O và A. * Bài tập: Bài 1: Vẽ đồ thò hàm số a) y = 3x b) y = - x 2 Bài 2: Cho hàm số y = 2x, những điểm nào sao đây thuộc đồ thò hàm số: A(2;1), F (1;2) G(-2; -1) H(-1; -2) Bài 3: a) Vẽ đồ thò của hàm số y = - 2x b) Điểm M(1;2) có thuộc đồ thò hàm số không ? vì sao ? Bài 4: Đồ thò hàm số y = ax đi qua điểm M(- 2;-3) . Hãy tìm hệ số a và vẽ đồ thò hàm số với a vừa tìm được. Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = 3x – 1 a) Tính f(0); f(1); f(-1); f( 1 2 ); f( - 1 2 ) b) Tính giá trò của x khi y = -1; y = 0; y = 2,5. ]II. THỐNG KÊ 1) Dấu hiệu là vấn đề hay hiện tượng mà người điều tra quan tâm ( thường kí hiệu là X ) 2) Điều tra về một dấu hiệu (gồm nhiều đơn vò điều tra) công việc của người điều tra là: a) Thu thập số liệu và lập bảng số liệu thống kê ban đầu (mỗi đơn vò điều tra có một số liệu, số liệu đó là một giá trò của dấu hiệu ) b) * Tần số của một giá trò là số lần xuất hiện của giá trò đó trong dãy các giá trò của dấu hiệu. * Từ bảng số liệu thống kê ban đầu lập bảng tần số: - Cấu tạo: Gồm 1 khung hình chữ nhật có 2 dòng. Dòng trên ghi các giá trò khác nhau của dấu hiệu theo thứ tự tăng dần. Dòng dưới ghi tần số tương ứng với mỗi giá trò đó. ( Có thể chuyển bảng ngang thành bảng dọc ) Chú ý:Số các giá trò của dấu hiệu bằng tổng các tần số , kí hiệu là N -Tiện lợi:Bảng tần số giúp người điều tra dễ có những nhận xét về sự phân phối các giá trò của dấu hiệu và tiện lợi cho việc tính toán sau này. c) Từ bảng tần số * Lập biểu đồ đoạn thẳng: -Cách lập: +Dựng hệ trục tọa độ (hoành độ biểu diễn các giá trò x, tung độ biểu diễn tần số n ). +Vẽ các điểm có tọa độ cho trong bảng. +Vẽ các đoạn thẳng nối mỗi điểm đó với điểm trên trục hoành có cùng hoành độ. -Ý nghóa: Cho một hình ảnh về dấu hiệu * Tính số trung bình cộng của dấu hiệu: Cách tính: +Nhân từng giá trò với tần số tương ứng +Cộng tất cả các tích trên +Chia tổng đó cho số các giá trò. Công thức: X= 1 1 2 2 k k x n x n x n N + + + Trong đó : x x x là k các giá trò khác nhau n n n là n tần số tương ứng N là số các giá trò Ý nghóa: Số trung bình cộng thường dùng làm đại diện cho dấu hiệu, đặc biệt khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại. ( Khi các giá trò có khoảng chênh lệch rất lớn thì số trung bình cộng không dùng làm đại diện cho dấu hiệu ) *Tìm mốt của dấu hiệu Mốt của dấu hiệu là giá trò có tần số lớn nhất trong bảng tần số, kí hiệu là M III. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ. 1. Khái niệm về biểu thức đại số Biểu thức đại số là biểu thức gồm các số và chữ liên hệ với nhau bởi các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và nâng lũy thừa * Các chữ đại diện cho những số tùy ý nào đó gọi là biến số 2. Giá trò của một biểu thức đại số Để tính giá trò của một biểu thức đại số tại những giá trò cho trước của biến, ta thay giá trò cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện phép tính 3.Đơn thức: Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến hoặc một tích giữa các số và các biến 4.Đơn thức thu gọn: Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương 5. Bậc của đơn thức Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó - Số thực khác 0 là đơn thức bậc không - Số 0 là đơn thức không có bậc 6.Nhân hai đơn thức: Muốn nhân hai đơn thức ta nhân hệ số với nhau, và nhân các phần biến với nhau. 7.Đơn thức đồng dạn: Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến * Chú ý : Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng 8 Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến 9.Đa thức :Đa thức là một tổng của những đơn thức. - Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó - Để cho gọn người ta kí hiệu đa thức bằng chữ cái in hoa A, B, C , * Chú ý : Mỗi đơn thức được coi là đa thức * Muốn thu gọn đa thức: Ta thu gọn những đơn thức đồng dạng với nhau. 10. Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó • Chú ý : - Số 0 là đa thức không và không có bậc - Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức đó 11. Cộng, trừ hai đa thức * Muốn cộng M + N, ta có thể làm như sau: + Thực hiện bỏ dấu ngoặc (trước dấu ngoặc là dấu “ +”) + Thu gọn các hạng tử đồng dạng * Muốn tính P – Q, ta có thể làm như sau: + Thực hiện bỏ dấu ngoặc (trước dấu ngoặc là dấu “ -”) + Thu gọn các hạng tử đồng dạng. 12.Đa thức một biến: là tổng của những đơn thức có cùng một biến Chú ý: - Mỗi số được coi là một đa thức - Bậc của đa thức 1 biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến * Sắp xếp một đa thứcù : Để sắp xếp các hạng tử của đa thức trước hết ta phải thu gọn đa thức đó 13.Cộng, trừ hai đa thức một biến:Thu gọn những đơn thức đồng dạng với nhau. Có hai cách cộng trừ hai đa thức một biến Cách 1: “Cộng, trừ ngang Cách 2:”Cộng, trừ dọc” 14. Nghiệm của đa thức một biến: Nếu tại x = a đa thức P(a) có giá trò bằng 0 thì ta nói x = a là nghiệm của đa thức P(x) * Chú ý Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, 2 nhgiệm, hoặc không có nghiệm (vô nghiệm) Số nghiệm của đa thức (khác đa thức không) không vượt quá số bậc * Muốn kiểm tra một số a là nghiệm của đa thức A(x) + Tính giá trò biểu thức với x = a + Nếu giá trò của biểu thức bằng 0, thì a là nghiệm của đa thức. * Để tìm nghiệm của một đa thức: + Cho đa thức bằng 0 + Giải tìm giá trò của biến Bài tập: 1) Cho đa thức P(x) = 3x 2 -5x 3 +x +x 3 – x 2 + 4x 3 -3x -4 a) Thu gọn đa thức P(x) b) Tính giá trò của đa thức trên lần lượt tại x= 0; x = 1; x = -1. Bài 2: Cho M(x) = x 2 – 3x +x – 1 và N(x) = 3x 2 -4x + 2 -2x 2 a) Tính M(x) – N(x) b) Tìm x để M(x) = N(x) Bài 3: Cho đa thức A(x) = 7x 3 -3x 2 +x + 4 và B(x) = 7x 3 +3x + 2 -3x 2 a) Tính B(x) – A(x) b) Tìm x để B(x) – A(x) = 0 Bài 4: Cho M(x) = 3x 3 + 3x 2 +x +2 +2x 3 – 4x và N(x) = -7x 3 +2+x + x 2 +6+2x 2 +12x 3 –x a) Thu gọn hai đa thức b) Tính M(x) – N(x) c) Tìm x để M(x) = N(x). Bài 5: Cho hai đa thức M = 5x 2 y – 5xy 2 + xy và N = xy – x 2 y 2 +5xy 2 Tính M + N; M – N ; N – M. Bài 6: a) Tính giá trò của biểu thức xy + x 2 y 2 + x 3 y 3 , tại x = -1 y = 1 b) Tính giá trò của biểu thức 2xy – y 2 , tại x = 0 và y = -1. 1) Điểm bắn súng của một vận động viên được ghi ở bảng sau: 8 9 10 9 9 10 8 7 9 8 10 7 10 9 8 10 8 9 8 8 a) lập bảng tần số. b) Tìm số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu 2) Một giáo viên theo dõi thời gian làm bài tập ( thời gian tính theo phút ) của 30 hs ( ai cũng làm được ) và ghi lại như sau: 10 5 8 8 9 7 8 9 14 8 5 7 8 10 9 8 10 7 14 8 9 8 9 9 9 9 10 5 5 14 a) Dấu hiệu ở đây là gì ? b) Lập bảng tần số và nhận xét c) Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu d) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng. 3) Số điểm kiểm tra của 16 học sinh ở một lớp học được ghi ở bảng sau: 4 3 9 8 7 10 5 7 8 8 6 10 8 4 9 7 a) Dấu hiệu ở đây là gì ? b) Lập bảng tần số c) Tính số trung bình cộng. Tìm mốt của dấu hiệu. PHẦN HÌNH HỌC TAM GIÁC Hai tam giác bằng nhau Hình vẽ C B A P N M Đònh nghóa ∆ABC = ∆MNP µ µ µ µ µ $ AB MN;AC MP;BC NP A M;B N;C P = = = ⇔ = = = Các trường hợp bằng nhau và đồng dạng của giác 1. AB MN;AC MP;BC NP= = = ⇒ ∆ABC = ∆MNP (c – c – c) 2. µ µ AB MN;AC MP A M = = = ⇒ ∆ABC=∆MNP (c – g – c) 3. µ µ µ µ AB MN A M;B N = = = ⇒ ∆ABC = ∆MNP (g – c – g) Hình vẽ C B A P N M Các trường hợp bằng nhau và đồng dạng của giác vuông. 1. AB MN;BC NP= = ⇒ ∆ABC = ∆MNP 2. BC = NP; µ µ B N = ⇒ ∆ABC = ∆MNP 3. AB MN;AC MP= = ⇒ ∆ABC = ∆MNP 1. Tam giác cân * Đònh nghóa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau * Tính chất Đònh lý 1:Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Đònh lý 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân 2. Tam giác vuông cân: là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau 3.Tam giác đều:Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Hệ quả • Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 60 0 • Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều • Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60 0 thì tam giác đó là tam giác đều 4.Đònh lí Pytago: Trong một tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông ∆ABC vuông tại A ⇒ BC 2 = AC 2 + AB 2 * Đònh lý pitago đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông ∆ABC, có : BC 2 = AC 2 + AB 2 ⇒∆ABC vuông tại A 5. Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác. * Góc đối diện với cạnh lớn hơn Đònh lý 1 : Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. *Cạnh đới diện với góc lớn hơn Đònh lý 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn Nhận xét - Trong tam giác tù, góc tù lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù lớn nhất - Trong tam giác vuông, góc vuông lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông (cạnh huyền) lớn nhất. 6. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên B H d C A Đònh lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất Chú ý: Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Đònh lí 2:Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó: a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau. Ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 7. Bất đẳng thức trong tam giác: Đònh lí 1: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại * Đònh lí 2: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại * Nhận xét : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại 8. Đường trung tuyến của tam giác Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 3 2 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó 3 2 === CF CG BE BG AD AG Điểm G gọi là trọng tâm của ∆ABC 9.Đònh lý về tính chất các điểm thuộc tia phân giác * Đònh lý 1( đl thuận) Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Nếu · xOy , Ô 1 = Ô 2 , M ∈ Oz, MA ⊥ Ox, MB ⊥ Oy Thì MA = MB Đònh lý 2 ( đònh lý đảo) Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó Nếu · xOy , MA = MB, MB ⊥ Oy, MA ⊥ Ox Thì OM là tia phân giác của · xOy * Nhận xét Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó 10.Đường phân giác của tam giác: là đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh và chia góc đó thành 2 góc bằng nhau AM là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của ABC * Tính chất : Trong 1 tam giác cân , đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy * Tính chất ba đường phân giác của tam giác -Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua 1 điểm. -Điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác đó (tâm đường tròn nội tiếp tam giác ) 11. Đònh lý về tính chất các điểm thuộc đường trung trực * Đònh lý ( thuận) Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó d là đường trung trực của AB, M ∈ d ⇒ MA = MB * Đònh lý đảo: Điểm cách đều hai mút của đọan thẳng thì nằm trên đường trung trực của đọan thẳng đó Đoạn thẳng AB , MA = MB ⇒M thuộc đường trung trực của AB * Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đọan thẳng đó. Đường trung trực của tam giác: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này. Tính chất ba đường trung trực của tam giác Đònh lý : Ba đừơng trung trực của một tam giác cùng đi qua 1 điểm .Điểm này cách đều ba đỉnh của 1 tam giác đó ABC, b là đường TT của AC; c là đường TT của AB; b cắt c tại O ⇒ O nằm trên đường trung trực BC * Chú ý: Giao điểm O của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 12. Tính chất ba đường cao của tam giác - Ba đường cao của tam giác cùng đi qua 1 điểm (đồng quy). Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác Điểm H gọi là trực tâm của ABC * Trong tam giác cân:đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy * Trong tam giác đều: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng nhau Bài 1: Cho tam giác ABC, đườg cao AH. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB. Nối dài HE về phía E, lấy điểm M sao cho EM = EH. a) Chứng minh tam giác HAM là tam giác cân. b) Chứng minh góc AMB bằng 90 0 c) Biết AE = 8cm, AH = 10cm. Tính MH. Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau, b) Chứng minh AM ⊥ BC c) Biết AB = AC = 13cm, BC = 10cm. Tính AM. Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường vuông góc với AB, AC lần lượt kẻ tại B và C cắt nhau ở M. a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau. b) Gọi I là giao điểm của AM và BC. Tính BC biết AC = 5cm và AI = 4cm. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng: a) Hai tam giác ABE và HBE bằng nhau. b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH. c) EK = EC d) AE < EC. . cạnh và góc trong tam giác. * Góc đối diện với cạnh lớn hơn Đònh lý 1 : Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. *Cạnh đới diện với góc lớn hơn Đònh lý 2: Trong một tam. xiên bằng nhau. 7. Bất đẳng thức trong tam giác: Đònh lí 1: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại * Đònh lí 2: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai. cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn Nhận xét - Trong tam giác tù, góc tù lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù lớn nhất - Trong tam giác vuông, góc vuông lớn nhất nên cạnh đối diện với