THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THTT SỐ 401-11/2010 ĐỀ SỐ 02 Thời gian làm bài 180 phút PHẦN CHUNG Câu I: Cho hàm số: 3 2 y 2x 3x 1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. Câu II: 1) Giải hệ phương trình: 2 2 xy 18 12 x 1 xy 9 y 3 2) Giải phương trình: x x 4 x 12 2 11 x 0 Câu III: Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m. Câu IV: Tính tích phân: 5 0 I x cosx sin x dx Câu V: Cho tam giác ABC, với BC = a, AC = b, AB = c thỏa mãn điều kiện 2 2 a a c b b b a c Chứng minh rằng: 1 1 1 a b c . PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho đường thẳng (d) :3x 4y 5 0 và đường tròn (C): 2 2 x y 2x 6y 9 0 . Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. www.MATHVN.com www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho hai mặt phẳng (P 1 ): x 2y 2z 3 0 , (P 2 ): 2x y 2z 4 0 và đường thẳng (d): x 2 y z 4 1 2 3 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 ). Câu VII.a: Đặt 4 2 3 2 12 0 1 2 12 1 x x x a a x a x a x . Tính hệ số a 7 . B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2 x 1 y 3 1 và điểm 1 7 M ; 5 5 . Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2 x y z 2x 4y 2z 5 0 và mặt phẳng (P): x 2y 2z 3 0 . Tìm những điểm M thuộc (S), N thuộc (P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. Câu VII.b: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: 3 0 , x 0 f x 1 3x 1 2x , x 0 x tại điểm x 0 = 0. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN CHUNG Câu I: 1) Tự giải 2) 3 2 y 2x 3x 1 2 y' 6x 6x Gọi 0 0 M x ;y Phương trình tiếp tuyến: 2 0 0 0 0 y 6x 6x x x y Hay 2 3 2 3 2 0 0 0 0 0 0 y 6x 6x x 6x 6x 2x 3x 1 Tiếp tuyến này có tung độ bằng 8 3 2 3 2 0 0 0 0 6x 6x 2x 3x 1 8 Giải ra được: 0 0 x 1 y 4 Vậy M 1; 4 Câu II: 1) ĐK: x 2 3,xy 0 www.MATHVN.com www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Nếu xy 18 thì ta có hệ: 2 2 2 2 xy 18 12 x xy 30 x (1) 1 3xy 27 y (2) xy 9 y 3 Lấy (2) trừ (1): 2 2 2 2xy 3 x y x y 3 x y 3 Với x y 3 y x 3 , thay vào (1): 2 2 5 3 x x 3 30 x 2x 3x 30 0 x 2 (loại) hoặc x 2 3 (nhận) Nghiệm 2 3; 3 3 Với x y 3 y x 3 , thay vào (1): 2 2 5 3 x x 3 30 x 2x 3x 30 0 x 2 (loại) hoặc x 2 3 (nhận) Nghiệm 2 3;3 3 - Nếu xy 18 thì từ (1) suy ra: x 2 3 , từ (2) suy ra: y 3 3 xy 18 xy 18 Vô nghiệm. Hệ có 2 nghiệm 2 3;3 3 , 2 3; 3 3 . 2) x x x x x 4 x 12 2 11 x 0 4 12.2 11 x 2 1 0 x x x x x x x 2 11 2 1 x 2 1 0 2 11 x 2 1 0 2 1 x 0 2 11 x 0 x 3 Phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 3. Câu III: Gọi M là trung điểm BC AM BC,SM BC BC (SAM) Trong (SAM) dựng MN SA MN là khoảng cách SA và BC. MN = m 2 2 2 2 3a AN AM MN m 4 Dựng đường cao SO của hình chóp. 2 2 2 2 MN SO m SO 2 3ma SO AN AO a 3 3a 3 3a 4m m 3 4 www.MATHVN.com www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 3 ABC 2 2 2 2 1 1 2 3ma a 3 ma V SO.S . . 3 3 4 3 3a 4m 6 3a 4m Câu IV: 5 5 2 4 0 0 0 0 0 J K I x cosx sin x dx xcosxdx xsin xdx xcosxdx x 1 2cos x cos x sinxdx 0 J xcosxdx Đặt u x du dx dv cosxdx v sin x 0 0 0 J xsin x sin xdx cosx 2 2 2 0 K x 1 cos x sin xdx Đặt u x du dx 2 4 3 5 2 1 dv 1 2cos x cos x sin xdx v cosx cos x cos x 3 5 3 5 3 5 0 0 3 5 0 0 0 2 1 2 1 K x cosx cos x cos x cos x cos x cos x dx 3 5 3 5 8 2 1 cosxdx cos xdx cos xdx 15 3 5 0 0 cosxdx sin x 0 3 3 2 0 0 0 sin x cos xdx 1 sin x cos xdx sin x 0 3 5 2 4 3 5 0 0 0 2 1 cos xdx 1 2sin x sin x cosxdx sin x sin x sin x 0 3 5 8 K 15 8 I 2 15 . Câu V: www.MATHVN.com www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 2 a a c b (1) b b a c (2) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên: a c b Từ (1) suy ra: 2 ab b a b b a 0 Ta có: (1) ac b a b a Từ (2) suy ra: 2 ac b c ab bc ac bc a b c b a Từ đó: 1 b c 1 1 1 a bc a b c (đpcm). PHẦN RIÊNG A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) M thuộc (C) có vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại M cùng phương vectơ pháp tuyến (d) và gần (d) nhất. 2 2 (C) : x 1 y 3 1 phương trình tiếp tuyến tại 0 0 M x ;y : 0 0 x 1 x 1 y 3 y 3 1 0 0 0 0 4 x 1 3 y 3 0 4x 3y 5 0 (1) 2 2 0 0 0 0 M x ;y C x 1 y 3 1 (2) Giải (1), (2) ta được: 1 2 2 11 8 19 M ; ,M ; 5 5 5 5 1 2 2 2 11 3. 4. 5 5 5 d M ,(d) 1 3 4 2 2 2 8 19 3. 4. 5 5 5 d M ,(d) 3 3 4 Tọa độ điểm M cần tìm là 2 11 M ; 5 5 . N là hình chiếu của tâm I của (C) lên (d). 1 x IN (d) 4 x 1 3 y 3 0 5 N (d) 7 3x 4y 5 0 y 5 www.MATHVN.com www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tọa độ điểm N cần tìm là 1 7 N ; 5 5 . 2) I (d) I 2 t; 2t;4 3t (S) tiếp xúc (P 1 ) và (P 2 ) 1 2 d I, P d I, P R 2 2 2 2 2 2 t 1 2 t 4t 8 6t 3 4 2t 2t 8 6t 4 9t 3 10t 16 t 13 1 2 2 2 1 2 Với t 1 2 2 2 2 1 I 1;2;1 ,R 2 (S ): x 1 y 2 z 1 2 Với t 13 2 2 2 2 2 I 11;26; 35 ,R 38 (S ): x 11 y 26 z 35 38 Câu VII.a: Đặt 4 2 3 2 12 0 1 2 12 1 x x x a a x a x a x . Tính hệ số a 7 . Ta có: 4 4 4 2 3 2 1 x x x 1 x . 1 x 4 2 0 2 1 4 2 6 3 8 4 4 4 4 4 4 1 x C x C x C x C x C 4 0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 1 x C xC x C x C x C Suy ra: 2 3 1 3 7 4 4 4 4 a C C C C 6.4 4.4 40 B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) N là giao điểm của MI và (C) với MN lớn nhất. 6 8 MI ; 5 5 vectơ chỉ phương đường thẳng MI a 3;4 Phương trình đường thẳng MI: x 1 3t y 3 4t 2 2 2 1 N MI (C) 1 3t 1 3 4t 3 1 25t 1 t 5 1 2 8 19 2 11 N ; , N ; 5 5 5 5 1 2 MN 3,MN 1 So sánh: 1 2 MN MN Tọa độ điểm N cần tìm là 8 19 N ; 5 5 2) www.MATHVN.com www.MATHVN.com www.MATHVN.com (S): 2 2 2 x 1 y 2 z 1 1 (P): x 2y 2z 3 0 M (P'): x 2y 2z d 0 Khoảng cách từ tâm (S) đến (P’) bằng R 2 2 2 d 0 1 4 2 d d I,(P') R 1 d 6 1 2 2 1 2 (P ') : x 2y 2z 0 (P ') : x 2y 2z 6 0 Phương trình đường thẳng đi qua I vuông góc với (P 1 ’), (P 2 ’): x 1 t : y 2 2t z 1 2t M 1 là giao điểm và (P 1 ) 1 1 2 4 5 1 t 4 4t 2 4t 0 t M ; ; 3 3 3 3 M 2 là giao điểm và (P 2 ) 2 1 4 8 1 1 t 4 4t 2 4t 6 0 t M ; ; 3 3 3 3 1 2 2 2 2 8 10 3 3 3 3 d M ,(P) 1 1 2 2 2 2 2 2 4 16 2 3 3 3 3 d M ,(P) 3 1 2 2 Tọa độ điểm M là 2 4 5 M ; ; 3 3 3 N là giao điểm và (P) 2 1 2 7 1 t 4 4t 2 4t 3 0 t N ; ; 3 3 3 3 Câu VII.b: 3 3 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 f x f 0 1 3x 1 x 1 2x 1 x 1 3x 1 2x f ' 0 lim lim lim lim x 0 x x x 3 2 3 2 x 0 x 0 2 2 2 3 3 2 2 x 0 3 3 1 3x 1 x 3x x lim lim x x 1 3x 1 3x. 1 x 1 x 3 x lim 1 1 3x 1 3x. 1 x 1 x www.MATHVN.com www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 2 2 x 0 x 0 x 0 1 2x 1 x x 1 1 lim lim lim x 2 1 2x 1 x x 1 2x 1 x 1 1 f ' 0 1 2 2 www.MATHVN.com www.MATHVN.com www.MATHVN.com . 2) I (d) I 2 t; 2t;4 3t (S) tiếp xúc (P 1 ) và (P 2 ) 1 2 d I, P d I, P R 2 2 2 2 2 2 t 1 2 t 4t 8 6t 3 4 2t 2t 8 6t 4 9t 3 10t 16 t 13 1 2 2 2 1 2 . Với t 1 2 2 2 2 1 I 1 ;2; 1 ,R 2 (S ): x 1 y 2 z 1 2 Với t 13 2 2 2 2 2 I 11 ;26 ; 35 ,R 38 (S ): x 11 y 26 z 35 38 . và (P 2 ) 2 1 4 8 1 1 t 4 4t 2 4t 6 0 t M ; ; 3 3 3 3 1 2 2 2 2 8 10 3 3 3 3 d M ,(P) 1 1 2 2 2 2 2 2 4 16 2 3 3