GIỚI HẠN-ĐẠO HÀM(Dạy thêm)

GV. Atr Pro 0989.888.999 Chuyên đề: Giới hạn – Đạo hàm của hàm số BUỔI 1. PHẦN 1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Chú ý. + Thuật chia Hoocne: + Biểu thức liên hợp: 2 2 ( )( )A B A B A B− + = − 2 2 3 3 ( )( )A B A B AB A B− + + = − + Giới hạn: 0 a → ∞ , 0 a → ∞ + Hằng đẳng thức: 2 2 ( )( ).a b a b a b− = − + Dạng 1. Giới hạn của hàm số khi 0 x x→ . Phương pháp 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài 1. Tính các giới hạn sau: a) 2 2 2 3 2 lim 2 x x x x → − − − b) 3 2 2 1 3 5 3 lim 1 x x x x x → − + − − c) 2 2 2 2 lim 4 4 x x x x x →− + + + d) 3 2 4 2 3 5 3 9 lim 8 9 x x x x x x → − + + − − e) 4 3 2 1 1 lim 2 3 x x x x →− − − + f) 3 2 2 1 1 lim 3 2 x x x x x x → − − + − + g) 2 2 1 2 3 lim 2 1 x x x x x → + − − − h) 3 2 2 3 2 lim 4 x x x x →− − + − i) 6 5 2 1 4 5 1 lim 1 x x x x → − + − Phương pháp 2. Nhân liên hợp. Bài 2. Tính các giới hạn sau: a) 4 5 3 lim 4 x x x → + − − b) 0 1 1 lim x x x x → + − − c) 2 7 2 3 lim 49 x x x → − − − d) 2 2 4 1 3 lim 4 x x x → + − − e) 2 2 lim 4 1 3 x x x x → + − + − f) 4 3 5 lim 1 5 x x x → − + − − g) 1 2 3 2 lim 3 3 x x x x →− + − + + h) 3 2 1 2 7 4 lim 4 3 x x x x x → + + − − + i) 2 1 lim 1 x x x x → − − Bài 3. Tính các giới hạn sau: a) 3 3 0 lim 8 8 x x x x → − − + b) 5 3 3 1 2 lim 1 x x x x →− + + + c) 3 0 lim 1 1 x x x → − − d) 2 3 2 0 1 1 lim 2 x x x → + − Phương pháp 3. Thêm bớt số hạng, biểu thức. Bài 4. Tính các giới hạn sau: a) 3 2 4 4 lim 5 4 x x x x x → + − − + b) 3 2 3 5 2 10 lim 9 x x x x →− − + + − c) 3 2 10 2 lim 2 x x x x → − − + − d) 3 2 2 6 2 lim 4 x x x x → + − + − e) 3 2 2 8 11 7 lim 3 2 x x x x x → + − + − + Thất bại vì ngại thành công…. 1 GV. Atr Pro 0989.888.999 BTVN. Tính các giới hạn sau: 1) 1 1 lim 3 2 x x x → − + − 2) 2 2 lim 4 1 3 x x x x → + − + − 3) 1 3 2 7 lim 3 2 x x x → − + + − 4) 2 1 1 1 lim 1 x x x x + → − + − − 5) 3 2 1 3 2 lim 1 x x x x → − − − 6) 2 3 1 3 3 lim 1 x x x x x → + + − − 7) 2 1 3 3 lim 2 1 x x x x + → − − + 9) 2 3 2 4 lim (2 3 10)( 2) x x x x x − → − − − − 10) 2 2 1 2 3 lim 2 1 x x x x x → + − − − 11) 2 2 lim 7 3 x x x → − + − 12) 2 3 3 lim 2 3 x x x x →− + + − 13) 3 0 (1 ) 1 lim x x x → + − 14) 5 5 lim 5 x x x → − − 15) 2 2 5 3 lim 2 x x x →− + − + 16) 1 1 lim 3 2 x x x → − + − 17) 2 2 0 1 1 lim ( 1) 1 x x x → − + 18) 3 2 2 8 lim 11 18 x x x x →− + + + 19) 3 2 3 2 3 2 5 2 3 lim 4 13 4 3 x x x x x x x → − − − − + − 20) 3 0 ( 3) 27 lim x x x → + − 21) 2 4 0 3 lim 2 x x x x → + 22) 2 ( 2) 2 lim 3 2 x x x x x + → − + + + 23) 3 1 1 3 lim( ) 1 1 x x x → − − − 24) 3 3 1 1 1 lim( ) 3 ( 3) x x x → − − 25) 4 2 ( 2) 4 3 lim 2 3 2 x x x x + → − − + − 26) 2 2 2 3 2 6 2 6 lim 4 3 x x x x x x x → − + − + − − + 27) 2 3 3 lim 3 6 x x x x − → − − − 28) 3 0 1 2 1 lim x x x x → + − + 29) 3 1 2 1 lim 2 1 x x x x x → − − − − 30) 3 0 3 8 2 lim 5 x x x → + − Dạng 2. Giới hạn của hàm số khi x → ∞ . Phương pháp 1. Chia cho x mũ cao nhất. Bài 1. Tính các giới hạn sau: a) 2 2 2 10 lim 2 1 x x x x x →+∞ − + + − b) 2 3 2 2 3 lim 3 1 x x x x x →−∞ + − − − c) 4 2 3 2 5 lim 2 16 x x x x x →+∞ + − − + c) 4 2 lim (2 5 6) x x x →+∞ − + d) 3 lim ( 3 5 7) x x x →−∞ − + − e) 3 lim ( 4) x x x →+∞ − + − Bài 2. Tính các giới hạn sau: a) 6 3 2 lim 2 1 x x x →+∞ + − b) 6 3 2 lim 3 1 x x x x →−∞ + − c) 2 3 2 2 lim 8 3 x x x x x →+∞ + − + a) 2 lim 2 1 x x x x x →+∞ − + b) 2 lim 3 5 x x x →−∞ − c) 3 5 2 2 lim 3 x x x x x x →+∞ + − + Thất bại vì ngại thành công…. 2 GV. Atr Pro 0989.888.999 Phương pháp 2. Nhân liên hợp và thêm bớt số hạng. Bài 3. Tính các giới hạn sau: a) lim ( 1 ) x x x →+∞ + − b) 2 2 lim ( 4 ) x x x x →−∞ + − + c) 2 2 lim 2 3 x x x x x →+∞ + − + d) 2 lim ( 5 ) x x x x →+∞ + − e) 3 2 2 3 lim ( 4 3 ) x x x x →+∞ + − + f) 2 2 lim 2 3 x x x x x →+∞ + − + BTVN. Tính các giới hạn sau: 1) 3 2 lim( 1) x x x x →−∞ − + − + 2) 3 3 2 2 3 4 lim 1 x x x x x →+∞ + − − − + 3) 2 2 4 1 lim 3 2 x x x x x →−∞ − − + − 4) 2 lim( 4 2 ) x x x x →−∞ − + 5) 3 3 1 2 3 lim 9 x x x x →+∞ − + − 6) 2 5 7 ( 1)(1 2 ) lim 1 x x x x x →−∞ − − + − 7) 2 3 lim 2 x x x x →−∞ − + 8) 2 lim( 1) x x x x →±∞ + − + 9) 2 2 lim( 1) x x x x →±∞ − − + 10) 2 3 lim 1 3 x x x →+∞ − − 11) 3 2 6 5 2 7 3 lim 3 2 3 x x x x x →−∞ − + + − 12) 2 2 3 lim 2 3 x x x →−∞ + − 13) 3 2 2 1 lim 3 2 x x x x x →+∞ + + + 14) 3 3 lim 1000 x x x →−∞ − 15) 4 2 2 1 lim 2 x x x x x →−∞ − − + + 16) 2 5 2 lim 2 1 x x x x →−∞ − + + 17) 2 3 (2 5)(1 ) lim 3 1 x x x x x →+∞ − − − + 18) 2 2 (2 1) 3 lim 5 x x x x x →−∞ − − − 19) 4 2 3 2 lim ( 1)(3 1) x x x x x →+∞ + + + − 20) 2 2 3 lim 1 x x x x →−∞ − + − 21) 3 1 lim( 2) x x x x x →+∞ − + + Thất bại vì ngại thành công…. 3 GV. Atr Pro 0989.888.999 BUỔI 2. PHẦN 2. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ. I. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Chú ý. + 0 sinx lim 1. x x → = + 2 2sin 1 cos . 2 x x= − sin sin 2sin os . 2 2 a b a b a b c + − + = Bài 1. Tính các giới hạn sau: a) 0 sinx lim 2 x x → b) 2 1 s ( 1) lim 1 x in x x → − − c) 2 2 0 s 2 lim x x in x → d) 0 1 cos lim .sin x x x x → − e) 2 2 0 1 sin cos lim sin x x x x → + − f) 4 sin cos lim 4 x x x x π π → − − Bài 2. Tính các giới hạn sau: a) 0 cos( ) cos( ) lim x a x a x x → + − − b) 0 1 sin cos lim 1 sin cos x x x x x → + − − − c) 2 cos lim 2 x x x π π → − d) 2 6 2sin 1 lim 4cos 3 x x x π → − − . II. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI ĐIỂM 0 x . Chú ý. + Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm 0 x 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → ⇔ = . + Nếu 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L + − → → = = thì 0 lim ( ) . x x f x L → = Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) 3 2 6 2 2 ( ) 11 2 3 x x khi x x x f x khi x − −  ≠   − − =   =   , tại 0 2x = b)  + ≠   =   =   x - khi x x f x khi x 1 1 0 ( ) 1 0 2 , tại 0 0.x = Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) 3 2 1 ( ) 1 7 3 1 x x khi x f x x x khi x + −  >  = −   − ≤  , tại 0 1.x = b) 3 3 0 2 ( ) 1 1 0 1 1 x khi x f x x khi x x  + ≤   =  + −  >  + −  , tại 0 0.x = Thất bại vì ngại thành công…. 4 GV. Atr Pro 0989.888.999 Bài 5. Tìm a để hàm số sau liên tục tại 0 x : a) 3 2 2 3 1 ( ) 1 1 x x khi x f x x a khi x + −  ≠  = −   =  , tại 0 1x = . b) 1 1 0 ( ) 4 0 2 x x khi x x f x x a khi x x  − − + <   =  −  + ≥  +  ,tại 0 0x = . III. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TOÀN BỘ ¡ . Bài 6. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn bộ ¡ : a) 2 2 3 10 khi x 2 4 2x 3 ( ) khi 2 x 5 x 2 3x 4 khi x 5 x x x f x + −  <  −  +  = ≤ ≤  +  − >    b) 1 2x 3 khi x 2 f (x) 2 x 1 khi x 2  − − ≠  =  −  =  Bài 7. Tìm a để hàm số sau liên tục trên ¡ : 3 3 2 2 2 2 ( ) 1 ax+ 2 4 x khi x x f x khi x  + − >   − =   ≤   Dạng 3. Ứng dụng của tính liên tục để xét nghiệm của pt ( ) 0f x = . Chú ý. Pt ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a,b) nếu: + f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. + f(a).f(b) < 0. Bài 8. Chứng minh phương trình 3 1 0x x+ + = có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. Bài 9. Chứng minh phương trình cos3 3 1x x= − có nghiệm. BTVN. Bài 1. Tính các giới hạn sau: a) 0 lim x tgx x → b) 0 s 5 lim 3 x in x tg x → c) 0 1 cos lim .sin x x x x → − d) 0 1 cos lim 1 cos3 x x x → − − e) 3 0 sin lim x tgx x x → − f) 2 0 cos cos3 lim sin x x x x → − g) 3 0 1 cos lim .sin 2 x x x x → − h) 4 0 1 cos lim .sin3 x x x x → − i) 3 2 0 1 cos lim sin x x x → − k) 2 0 1 cos cos2 lim x x x x → − l) 0 1 1 lim( ) sin x x tgx → − m) 0 1 1 1 lim( ) sin sin3 x x x x → − n) 2 0 1 cos lim x x tg x → − p) 3 0 1 cos2 lim .sin x x tg x x x → − + q) 4 2sin 1 lim 2 cos 1 x x x π → − − Thất bại vì ngại thành công…. 5 GV. Atr Pro 0989.888.999 r) 4 1 lim 1 cot x tgx gx π → − − s) 2 1 lim( ) cos x tgx x π → − t) 2 lim(1 cos2 ) x x tgx π → + u) 0 sin( ) sin( ) lim ( ) ( ) x a x a x tg a x tg a x → + − − + − − v) 2 2 0 ( ) ( ) lim x tg a x tg a x tg a x → + − − z) 6 2sin 1 lim 2cos 3 x x x π → − − w) 3 3 3 lim cos( ) 6 x tg x tgx x π π → − + . Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) 3 2 2 3 khi x 1 ( ) 1 5 khi x 1 x x f x x + −  ≠  = −   =  , tại 0 1x = b) 3 2 3 2 khi x >1 1 ( ) 2 khi x 1 3 x x x f x  − −   − =  −  ≤   , tại 0 1x = . c) 3 2 1 cos2 khi 0 sin 2 ( ) khi 0 3 1 1 1 khi 0 6 x x x f x x x x x  − >    = =    + − + <   , tại 0 0x = . Bài 3. Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên toàn bộ ¡ : a) 3 2 2 1 khi x >1 1 ( ) ax b khi -3 x 1 4 3 khi x <-3 9 x x f x x x x  −  −   = + ≤ ≤   + +  −   b) 2sin khi 2 ( ) sin khi 2 2 cos khi 2 x x f x a x b x x x π π π π  − ≤    = + − < <    ≥   Bài 4. Chứng minh phương trình 3 2 6 1 0x x− + = có 3 nghiệm phân biệt. BUỔI 3. PHẦN 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ. Thất bại vì ngại thành công…. 6 GV. Atr Pro 0989.888.999 I. Đạo hàm của hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm số chứa căn. Bài 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số : 3 y x= . Từ đó, nêu công thức tính đạo hàm của hàm số n y x= . Bài 2. Cho hàm số 2 3 2 2 ( ) 2 1 2 x x khi x f x x khi x − +  ≠  = −   =  . Tính '(2).f Bài 3. Xét tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số 3 2 9 0 ( ) 1 0 3 x khi x x f x khi x  − + >   =   ≤   tại x = 0. Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 4 3 2 3 2 4 3 5 x x x y x= − + + − c) 3 ( 3 1)(1 2 )y x x x= − + − b) 2 3 2 5 1 3 x y x x= − + − d) 4 2 2 ( 3 2)(2 5)(3 2 )y x x x x= + − − − Bài 5. Giải các bất phương trình sau: a) ' 0y ≥ với 2 2 2 1 x x y x + + = + b) ' 0y < với 2 2 3 4 1 x x y x x − + = − + . Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 3 2 1 x y x + = − b) 2 32 ( )y x x= − c) 2 1x y x + = d) 3 5 5 ( ) 1 x x y x + = − . Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 5 3 (2 3) 1 2 x y x x − = + − b) 3 4 ( ) . 1 2y x x x= − − c) 2 3 5 ( 1)(3 2 ) ( ) x x y x x + − = − d) 2 3 4 2 1 (3 5) x x y x + = + BTVN. Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số: Thất bại vì ngại thành công…. 7 GV. Atr Pro 0989.888.999 a) 4 3 1 2 2 5 3 y x x x= − + − b) 3 2 ( 2)(1 )y x x= − − c) 2 1 1 3 x y x + = − d) 2 3 3 1 x x y x − + = − e) 2 2 1 1 x x y x x + − = − + f) 2 2 5 2y x x= − + g) 2 ( 2) 3y x x= − + g) ( ) 3 1 1 2y x= + − . Bài 2. Cho hàm số 2 ( ) 2f x x x= − . Hãy giải các bất phương trình sau: a) '( ) 0.f x ≤ b) '( ) ( ).f x f x≤ Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 5 1 ( 1) y x x = − + b) 2 3 2 2 ( 1) ( 1)y x x x x= − + + + ; c) 2 1 y x x   = −  ÷   ; d) 2 1 2y x x= + − e) 2 2 1 1y x x= + − − ; g) y x x x= + + h) 3 3 3 1y x x= − + ; i) 2 3 2 1 3 x y x −   =  ÷ +   k) ( ) 5 2 1y x x= + + BUỔI 4. II. Đạo hàm của hàm số lượng giác. Thất bại vì ngại thành công…. 8 GV. Atr Pro 0989.888.999 Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 (sin cos )y x x= + b) tan coty x x= + ; c) = + + 3 5 2 1 tan2 tan 2 tan 2 3 5 y x x x d) ( ) 2 3 tan sin cos 2y x   =   Bài 2. Giải phương trình ' 0y = với hàm số: a) 2 cos 3sinx.y x x= − − b) 3sin 2 4 os2 10 .y x c x x= + + Bài 3. Cho hàm số ( ) x x xf sin1 cos + = . Tính ( ) ( )             4 '; 2 ';';0' ππ π ffff . III. Vi phân. Đạo hàm cấp hai. Bài 4. Tìm vi phân của các hàm số sau: a) 2 3 5 1 x x y x − + = − ; b) ( ) ( ) 2 3 1 2 3y x x x= + − c) 3 2 1 tan cot 3 2 y x x= − . Bài 5. Tìm đạo hàm (4) ', '', '',y y y y của các hàm số sau: a) = − + − + 4 3 2 1 2 5 4 7 4 3 y x x x x b) = − 3 3y x x Bài 6. Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: a) 3 2 khi1 0 2y y y x x ′′ + = = − ; b) ( ) ( ) 2 2 2 khi2 1 0 .tanx y x y y y x x ′′ − + + = = . Bài 7. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) 1 1 y x = + b) sinxy = c) cosy x= . d) 4 1 2 1 x y x + = − e) 2 3 5 1 x x y x − + = + f) 4 4 sin cosy x x= + . BTVN. Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: b) 3 3 sin cos sin cos x x y x x + = + ; c) xx xx y 2cos2sin2 2cos2sin − + = ; d) 4sin cos5 .sin 6y x x x= ; e) sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 x x y x x + = − f) sin cos cos sin x x x y x x x − = − ; g) 1 tan 2 x y + = h) tan 3 cot 3y x x= − ; i) 2 2 1 tan 1 tan x y x + = − ; k) 2 cot 1y x= + ; l) 4 4 cos siny x x= + ; m) 3 )cos(sin xxy += ; n) xxy 2cos2sin 33 = o) ( ) sin cos3y x= ; p) ( ) 2 2 sin cos cos3y x   =   ; q) 2 5 2 3 cot cos 2 x y x   −   =    ÷ +       . Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau : a) ( ) 2 ' sin " 0xy y x xy− − + = nếu xxy sin= ; Thất bại vì ngại thành công…. 9 GV. Atr Pro 0989.888.999 b) ( ) 0"1218 =+− yy nếu xy 3cos 2 = ; c) 0" =+yy nếu xx xx y cossin1 cossin 33 − + = ; d) [ ] 4 2 4 40y xy y ′′′ ′′ + − = nếu ( ) 2 2 1y x= − ; Bài 3. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau : a) 2 1 2 x y x − = + ; b) 2 3 2 y x x = − − ; c) 2 2 2 1 x y x x + = − + ; d) 2 2 4 5 3 2 3 1 x x y x x − + = − + ; e) 8sin .sin 2 .sin3y x x x= ; BUỔI 5. IV. Ứng dụng của đạo hàm. Thất bại vì ngại thành công…. 10 [...]... b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1,-3) 0 Dạng 2 Dùng đạo hàm tính giới hạn dạng vô định 0 f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) f '( x0 ) = f '( x0 ) = Chú ý + lim + lim x→ x x→ x x − x0 g ( x) − g ( x0 ) g '( x0 ) 0 0 Bài 4 Tính các giới hạn sau: x3 + 3x − 4 x8 − x 7 − 128 a) lim b) lim 2 x →1 x →2 x −1 x + 2x − 8 2 3 (1 + 3x)10 − (1 + 5 x)10 1 + 2 . + Giới hạn: 0 a → ∞ , 0 a → ∞ + Hằng đẳng thức: 2 2 ( )( ).a b a b a b− = − + Dạng 1. Giới hạn của hàm số khi 0 x x→ . Phương pháp 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài 1. Tính các giới. GV. Atr Pro 0989.888.999 Chuyên đề: Giới hạn – Đạo hàm của hàm số BUỔI 1. PHẦN 1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Chú ý. + Thuật chia Hoocne: + Biểu thức liên hợp:. x → − − − − 30) 3 0 3 8 2 lim 5 x x x → + − Dạng 2. Giới hạn của hàm số khi x → ∞ . Phương pháp 1. Chia cho x mũ cao nhất. Bài 1. Tính các giới hạn sau: a) 2 2 2 10 lim 2 1 x x x x x →+∞ − + +